強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念運(yùn)用 提高問題解決能力

【摘 要】數(shù)學(xué)概念是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心。在課堂教學(xué)中，教師可以通過習(xí)題講解深化學(xué)生對概念的理解，提高學(xué)生把握題目本質(zhì)的能力、簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和解決實(shí)際問題的能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;解題教學(xué);解決問題

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2022）11-0044-03

【作者簡介】李青，南京市第一中學(xué)（南京，210001）教師，一級教師。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的起點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教與學(xué)中具有舉足輕重的地位。正確理解概念，可以讓學(xué)生在問題解決的過程中很快地把握問題的本質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)知識，提高處理問題的能力。因此，在平時(shí)的教學(xué)過程中，要以數(shù)學(xué)知識為載體，重視對數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用，以此提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容，貫穿高中數(shù)學(xué)的始終，是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一。學(xué)好函數(shù)知識有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力，為其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。而深刻理解函數(shù)中的相關(guān)概念對學(xué)好函數(shù)至關(guān)重要，理解數(shù)學(xué)概念往往是解決問題的第一步。掌握概念不應(yīng)該僅僅是對定義、定理的死記硬背，更應(yīng)該是對解題工具的深刻理解與靈活應(yīng)用。在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷并感受建立函數(shù)相關(guān)概念的過程，準(zhǔn)確把握函數(shù)的本質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用函數(shù)思想去分析和處理實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與探究、理性思維、分析和解決問題等數(shù)學(xué)能力。

本文以函數(shù)問題的解題教學(xué)為例，說明如何在教學(xué)解題方法的過程中強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用，提高其解決問題的能力。

一、引導(dǎo)學(xué)生觀察問題結(jié)構(gòu)，提高其準(zhǔn)確把握題目本質(zhì)的能力

對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，看清題目的本質(zhì)往往比問題本身的結(jié)果更重要。而只有認(rèn)真讀題，仔細(xì)觀察問題結(jié)構(gòu)，才能深刻領(lǐng)悟題意，理解問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，快速找到切入點(diǎn)。下面，筆者以一道例題的講解，說明在習(xí)題講解的過程中如何引導(dǎo)學(xué)生提高把握問題本質(zhì)的能力。

例1：已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+1）+f（x+2）=0，且f（2）=1，求f（2021）。

師：大家觀察題目可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字2021較大，通過一次次迭代求得f（2021）的值這個(gè)想法不現(xiàn)實(shí)。既然條件中沒有函數(shù)解析式，只有遞推式，而f（2021）又可求，那么f（2021）有沒有可能等于某個(gè)較小的x處的函數(shù)值？

生：有可能！那么函數(shù)f（x）應(yīng)該是一個(gè)周期函數(shù)，只要找到它的最小正周期即可。

師：請同學(xué)們回顧一下函數(shù)周期性的定義，結(jié)合定義想一想如何從題目中的已知條件推出f（x）是周期函數(shù)？它的最小正周期又是多少呢？

生：由f（x）+f（x+1）+f（x+2）=0可得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）=0，進(jìn)而得到f（x）=f（x+3），所以函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，它的最小正周期為3，因此f（2021）=f（3×673+2）=f（2）=1。

師：此題的本質(zhì)是求f（x）的最小正周期，只要根據(jù)函數(shù)周期性的定義，轉(zhuǎn)化已知條件，問題便可迎刃而解。

對數(shù)學(xué)概念的理解，要在不斷對其內(nèi)涵與外延的比較與辨別中，得到理性的思悟，從具體問題中理解其抽象性，從實(shí)踐中理解其簡潔性，從問題解決中欣賞其解法的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生洞察問題的敏感度與思維的主體性。

在此基礎(chǔ)上，教師可以將題目中的有關(guān)條件推廣到具有一般性的f（x+m）=-f（x）、f（x+m）= [1f（x）]、 f（x+m）= - [1f（x）]，都可以得出f（x+2m）= f（x），即函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，并可求得其最小正周期。在之后的解題中，學(xué)生便可以從函數(shù)題隱式條件的恒等變形中發(fā)現(xiàn)函數(shù)是周期函數(shù)，并且求得最小正周期。

解決此類問題的實(shí)質(zhì)，就是要對已知條件中的函數(shù)恒等式進(jìn)行變形，快速找出隱藏在條件中的函數(shù)特點(diǎn)（即周期性），從而把待求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知條件中的值的組合。如此解決，可提高學(xué)生準(zhǔn)確把握題目本質(zhì)的能力。

二、激活學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，發(fā)展其簡化運(yùn)算過程的能力

運(yùn)算能力是學(xué)生所要掌握的數(shù)學(xué)能力之一，也是解決數(shù)學(xué)問題必備的基本能力。函數(shù)問題常與大量的計(jì)算相關(guān)，直接計(jì)算會(huì)導(dǎo)致時(shí)間的浪費(fèi)和準(zhǔn)確率的下降。所以，教師在函數(shù)習(xí)題的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握并熟練運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)概念，讓運(yùn)算過程得以簡化，提升做題的速度和正確率。

例2：已知函數(shù)f（x）=（2x2-4x+3）（ex-1-e1-x）-2x+1在[0，2]上的最大值為M，最小值為m，則M+m= ? 。

師：由于函數(shù)f（x）的解析式較為復(fù)雜，我們無法通過畫圖來解決問題，觀察到條件中ex-1和e1-x這一結(jié)構(gòu)以及函數(shù)f（x）的定義域，我們可不可以試著把解析式中的x-1看成一個(gè)整體t，利用換元，得到一個(gè)形式上簡單一點(diǎn)的新函數(shù)？

生：可以！這時(shí)f（x）可轉(zhuǎn)化為f（x）=[2（x-1）2+1]（ex-1-e1-x）-2（x-1）-1。令t=x-1，則t的取值范圍為[-1，1]，于是得到新函數(shù)g（t）=（2t2+1）（et-e-t）-2t-1，t∈[-1，1]。

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察這個(gè)函數(shù)有何特點(diǎn)。

生：這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，我們可以嘗試從函數(shù)的奇偶性這一性質(zhì)入手來解決問題。令G（t）=（2t2+1）（et-e-t）-2t，則G（t）=g（t）+1。因?yàn)镚（-t）=-G（t），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得G（t）為奇函數(shù)，所以G（t）在[-1，1]上的最大值與最小值之和為零，即得M+m=-2。

師：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，解決與此有關(guān)的問題時(shí)要特別注意觀察題目中所給函數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，挖掘隱藏條件，還原函數(shù)原本的面目。因此，同學(xué)們處理數(shù)學(xué)問題時(shí)一定要學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，這樣往往可以避免煩瑣的計(jì)算。

在這個(gè)問題中，教師激活了學(xué)生關(guān)于函數(shù)奇偶性的知識，通過換元以及恒等變形，簡化了運(yùn)算，同時(shí)也強(qiáng)化了學(xué)生對概念的運(yùn)用。數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵在于解題方法的選擇、過程的簡潔和答案的正確。運(yùn)算能力的提高，一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)目標(biāo)，教師可以通過設(shè)置各種不同的問題情境，不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識，從不同的途徑和渠道提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)其轉(zhuǎn)化與化歸的能力

數(shù)學(xué)概念的形成經(jīng)歷了歸納、概括、抽象的過程，呈螺旋上升性。因此，在問題中呈現(xiàn)概念將會(huì)使學(xué)生對概念的理解上升到一個(gè)新的高度，從感性到理性，從對書本的靜態(tài)認(rèn)識到直觀、動(dòng)態(tài)化思維，更好地領(lǐng)悟并建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而在探究分析問題時(shí)靈活應(yīng)用，化非常規(guī)為常規(guī)，化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，提高解決問題的能力。

例3：已知函數(shù)f（x）=x-asinx，對任意的x1，x2∈（-∞，+∞），且x1≠x2，不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ? ?。

師：題目已知條件中的不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a是一個(gè)含雙變量的不等式，請大家觀察它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，想一想，你準(zhǔn)備如何轉(zhuǎn)化這個(gè)條件？

生：因?yàn)閷θ我獾膞1≠x2，這個(gè)不等式恒成立，我們不妨設(shè)x1>x2，則不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a可變形為f（x1）-ax1>f（x2）-ax2。

師：這樣變形的目的是什么？

生：這樣我們就可以構(gòu)造出新函數(shù)g（x）=f（x）-ax=x-ax-asinx，因?yàn)閷θ我獾膞1>x2都有g(shù)（x1）>g（x2），所以g（x）在R上為增函數(shù)，即g′（x）=1-a-acosx≥0恒成立，整理得（1+cosx）a≤1，再用分類討論和參變分離的方法即可求出a的范圍。

師：本題我們利用雙變量同形構(gòu)造出了一個(gè)新函數(shù)g（x），由函數(shù)單調(diào)性的定義得到該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，再根據(jù)定義的等價(jià)形式將所求問題轉(zhuǎn)化成“g′（x）≥0在單調(diào)區(qū)間上恒成立”的問題來求解，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性。

諸如此類的問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中很多，由于數(shù)學(xué)具有應(yīng)用廣泛性以及思維靈活性等特點(diǎn)，對問題的解決方法就不局限于一種，但總的思維模式是應(yīng)用相關(guān)概念來對欲求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化為有利于問題解決的一面。

在課堂教學(xué)中，利用練習(xí)題深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，從解題、聽題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣;從多方面、多渠道進(jìn)行思考，使學(xué)生的思維獲得全面的發(fā)展;教師幫助學(xué)生從不同的角度重新審視數(shù)學(xué)的應(yīng)用性與分析問題、解決問題的靈活性，使學(xué)生在問題的解決中獲得心理滿足感，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與問題解決的能力。

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