應(yīng)用題中利用畫圖的策略，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

倪建毅

在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題學(xué)習(xí)中，畫圖策略是一項(xiàng)學(xué)生必須重視并加以掌握的技巧。一方面，小學(xué)生的想象力豐富、邏輯能力不足，利用畫圖可以將抽象的問題具體化、直觀化，達(dá)到“四兩撥千斤”的效果，幫助小學(xué)生真正解決較為困難的應(yīng)用題;另一方面，數(shù)學(xué)本身就是一門與圖形、圖形密不可分的學(xué)科，在應(yīng)用題中這一特點(diǎn)更是體現(xiàn)得淋漓盡致，很多應(yīng)用題需要學(xué)生去畫線段圖、平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計(jì)圖，然后據(jù)此分析題目、理解數(shù)量關(guān)系、解決實(shí)際問題。為了進(jìn)一步發(fā)揮畫圖策略在應(yīng)用題教學(xué)中的價(jià)值，教師應(yīng)該從將知識化靜為動、將知識化繁為簡、實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、增強(qiáng)學(xué)生畫圖興趣四個(gè)維度出發(fā)，讓學(xué)生掌握畫圖這種策略，直觀、正確地解決問題。

一、利用畫圖策略，將知識化靜為動

小學(xué)時(shí)期的學(xué)生正是汲取數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的起步階段，他們善于觀察，直觀思維占據(jù)主要的地位。小學(xué)階段，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，越來越多的應(yīng)用題會以純文字形式呈現(xiàn)，這些問題在語言表述上言簡意賅、邏輯性強(qiáng)，以至于直觀思維占據(jù)主要地位的小學(xué)生經(jīng)常讀不懂題意，進(jìn)而走進(jìn)誤區(qū)，即便最后解決了應(yīng)用題，也走了很多彎路。因而，在數(shù)學(xué)實(shí)際問題的教學(xué)時(shí)，教師要基于學(xué)生的形象直觀思維特點(diǎn)建構(gòu)數(shù)學(xué)理解活動的過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀思維向抽象理性思維發(fā)展。俗話說：“授人以魚，不如授之以漁?！苯處煵荒苤唤虒W(xué)生如何解題，還要交給其解題的方法，這就需要引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上進(jìn)行畫圖，利用示意圖等形式將抽象的問題具象化，在畫圖中體會方法、學(xué)習(xí)邏輯，從而還原應(yīng)用題的本來面目，讓學(xué)生更容易地解讀題目，把握其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

例如，在教學(xué)“比……多（或少）”的數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)，有的學(xué)生往往會形成習(xí)慣性思維——“遇到了多就加，遇到了少就減。”但是二者之間也是存在轉(zhuǎn)化關(guān)系的。例如，在教授“小灰兔有10只，小灰兔的只數(shù)比小白兔的只數(shù)少5只，那么小白兔有多少只呢？”首先，教師讓學(xué)生對題目進(jìn)行兩遍閱讀，而后找出已知條件：①小灰兔的只數(shù)是10只;②比小白兔少5只，問題：小白兔有多少只。接著，教師指導(dǎo)學(xué)生將問題中的已知條件與問題用直觀的線段圖進(jìn)行建構(gòu)（如圖1）。

圖1

繼而讓學(xué)生說出自己的想法，如何解決這道題。最后，教師進(jìn)行小結(jié)，并板書：小白兔的只數(shù)=小灰兔的只數(shù)+5只，即10+5。通過線段圖直觀觀察，學(xué)生能輕松地從習(xí)慣性思維中轉(zhuǎn)變過來，清晰地理解題意，輕松地理清條件與問題之間的等量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的高效性解決。同時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常進(jìn)行作圖練習(xí)，小學(xué)生利用畫圖不足的原因往往是找不到畫圖的思路、想不到畫圖，這就需要教師在應(yīng)用題教學(xué)中加強(qiáng)畫圖意識的滲透，讓學(xué)生先從簡單的層次入手，如對會做的應(yīng)用題進(jìn)行畫圖，利用畫圖來檢驗(yàn)自己的解題過程和結(jié)果，再逐步提升，對畫圖的方法和規(guī)律進(jìn)行充分掌握，使其切實(shí)利用好“畫圖”這一“利器”，從而提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、利用畫圖策略，將知識化繁為簡

在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際問題教學(xué)中，“和倍、差倍”應(yīng)用題往往是考查學(xué)生逆向性思維的習(xí)題。文字表述中的內(nèi)容較為繁雜，學(xué)生難以弄清題意，由此也帶來課堂教學(xué)的低效。所以，教師要善于引領(lǐng)學(xué)生利用畫圖的策略，將條件與條件之間的關(guān)系化繁為簡，促使學(xué)生輕松地找出數(shù)量之間的等量關(guān)系，進(jìn)而能輕松解決數(shù)學(xué)的實(shí)際問題。

例如，教授“小明與他爸爸的歲數(shù)一共是48歲，爸爸的歲數(shù)比小明的3倍還多了4歲，今年小明有多少歲呢？”顯然，年齡問題中的條件增多了，學(xué)生的思考難度增大了。讓學(xué)生嘗試解決，常常發(fā)現(xiàn)他們對這一問題無從下手，不知道利用什么運(yùn)算方法，往往會列出48÷3+4的算式。此時(shí)，教師可以引領(lǐng)學(xué)生自主繪制出線段圖，進(jìn)行已知條件與問題之間的關(guān)系建構(gòu)。如下圖。

學(xué)生就可以直觀地看出從爸爸的年齡中減去4歲，這時(shí)爸爸的年齡正好是小明年齡的3倍。同時(shí)發(fā)現(xiàn)了：如果把小明的年齡看作1份，那么爸爸的年齡就是3份還多4歲。通過對線段圖的直觀觀察與數(shù)量間的關(guān)系建構(gòu)，學(xué)生很快明白了：小明的年齡+小明的年齡×3+4歲=48歲，即小明的年齡+爸爸的年齡=48歲。依據(jù)數(shù)量間的相等關(guān)系，學(xué)生自然能列出正確的算式，并有效地完成問題解答。

同時(shí)，要對畫圖解題和一般解題的過程、效率進(jìn)行對比，讓學(xué)生切實(shí)看到畫圖的化繁為簡的能力。如高年級學(xué)生的邏輯能力已經(jīng)得到了一定程度的發(fā)展，也這就要求教師做好有效對比，讓他們切實(shí)體驗(yàn)畫圖解題的高效性，激發(fā)對學(xué)習(xí)畫圖策略的積極性。

三、利用畫圖策略，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

“按圖索驥”是利用畫圖的策略可以讓學(xué)生直觀形象地將素材中的條件與問題建立等量關(guān)系，輕松地厘清解題的正確思路，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而促進(jìn)學(xué)生將知識更好地鞏固與內(nèi)化。圖形的繪制操作不僅培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力，也促進(jìn)了學(xué)生對解題模型性的初步建構(gòu);圖形的解釋也培養(yǎng)了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，與此同時(shí)激起了學(xué)生善于動腦的主觀能動性，鍛煉了數(shù)學(xué)思維能力，在潛移默化中發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合素養(yǎng)。在利用畫圖策略解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的過程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

（一）學(xué)會層次性畫圖

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決中，教師要積極指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫圖，提升小學(xué)生的畫圖能力。小學(xué)一、二年級的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)皆為數(shù)形結(jié)合式的例題與習(xí)題教學(xué)，多為直觀式解決數(shù)學(xué)問題。然而到了高年級階段，用文字語言敘述的數(shù)學(xué)問題逐漸增多，由低年級的直觀理解逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)楦吣昙壍某橄笮岳斫狻榱藢⒅庇^思維更好地向抽象思維的發(fā)展，教師就要讓學(xué)生學(xué)會自主地將數(shù)學(xué)文字語言與圖形語言建立對應(yīng)關(guān)系，學(xué)會從圖形的直觀層面理解抽象的數(shù)學(xué)實(shí)際問題。在具體畫圖學(xué)習(xí)中，教師授以學(xué)生各種畫圖的方法，要依據(jù)不同的題型進(jìn)行。

例如，在學(xué)習(xí)“……比……多（或少）”的線段圖時(shí)，首先要確定用一條線段表示標(biāo)準(zhǔn)量，而后再畫出增加或減少的部分，以此表示比較量，最后再表示兩種數(shù)量間的關(guān)系。例如，在解決行程類應(yīng)用題時(shí)，首先要用一條線段表示兩地的距離，而后分別表示兩種交通工具在兩地行駛的速度、時(shí)間等，將路程、速度與時(shí)間這三個(gè)量建構(gòu)好直觀關(guān)系。要讓學(xué)生畫好線段圖，教師就要積極采用以下的路徑進(jìn)行：一是要讓學(xué)生會說如何畫，思考畫圖;二是要讓學(xué)生跟著教師畫，模仿畫圖;三是要讓學(xué)生自主畫，嘗試畫圖。

在具體的畫圖中，教師還應(yīng)讓學(xué)生做好以下幾個(gè)方面：一是讀題、審題，找出應(yīng)用題中數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系;二是理清所作線段圖的各個(gè)部分的長度關(guān)系，分清畫圖順序;三是有序畫圖;四是標(biāo)注好線段圖上的關(guān)鍵性條件與問題;五是學(xué)會檢查，看線段圖與原題之間的吻合關(guān)系，依據(jù)題意，合理修改，完善好線段圖。

（二）學(xué)會用畫圖解決問題

學(xué)習(xí)畫圖最終的目的是解決問題。在學(xué)生完成數(shù)學(xué)線段圖的制作后，教師要讓學(xué)生說出關(guān)鍵的已知條件與問題，將各個(gè)條件與問題之間建構(gòu)好數(shù)量間的等量關(guān)系，從而利用數(shù)量間的等量關(guān)系進(jìn)行列式，解答應(yīng)用題。例如，在教授“甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合開一條720米長的隧道，同時(shí)各從一端開鑿，經(jīng)過24天開通。甲隊(duì)每天開鑿14.5米，乙隊(duì)每天開鑿多少米？”這道題時(shí)，首先，教師給予學(xué)生畫線段的時(shí)間，讓學(xué)生用線段圖表示本題中的已知條件與所求問題;接著，讓學(xué)生厘清“甲隊(duì)共開鑿的米數(shù)”“乙隊(duì)共開鑿的米數(shù)”與“720米”之間的運(yùn)算關(guān)系;最后，讓學(xué)生利用好線段圖，提取主要關(guān)鍵詞，明白算理：“合開的隧道長度一甲隊(duì)開鑿的米數(shù)，即得出乙隊(duì)開鑿的米數(shù);然后用乙隊(duì)開鑿的米數(shù)除以開鑿的天數(shù)，即得到乙隊(duì)每天開鑿的米數(shù)?！崩煤镁€段圖的直觀性，學(xué)生就能輕松挖掘數(shù)量間的一層又一層關(guān)系，從而能清晰發(fā)現(xiàn)問題解決的路徑，實(shí)現(xiàn)問題的正確解答。

（三）學(xué)會以畫圖認(rèn)知概念

學(xué)生初步看到應(yīng)用題目后，在進(jìn)行畫圖一定會是以自己的思維為主導(dǎo)，再進(jìn)一步繪制圖形后解決問題，這也是學(xué)生逐步形成適合自身的數(shù)學(xué)概念的重要路徑。借助這種“文字獲取-圖形轉(zhuǎn)化-問題解答”的閉環(huán)反饋過程，學(xué)生能夠不斷提升自身的數(shù)學(xué)建模思想，進(jìn)而形成空間概念能力。這其中的圖形轉(zhuǎn)化是閉環(huán)樞紐，也是最為有效的教學(xué)手段。教師要善于利用多種多樣的教學(xué)方式和媒介，最大限度地幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念框架，答疑解惑，盡快完成“授人以魚”到“授人以漁”的轉(zhuǎn)變。例如，學(xué)習(xí)圓錐、圓柱、球的概念時(shí)，單以平面圖形表述，學(xué)生在認(rèn)知上會有困惑：為什么畫球體就是用圓和橢圓畫？為什么圓柱和圓錐畫起來像長方形和三角形？即便教師提前引入三視圖的概念，學(xué)生的理解還是會有偏差，造成“失真”。因此，教師需要用三維呈現(xiàn)這幾種圖形，充分發(fā)揮多媒體教學(xué)工具的作用，在三維角度將圖形特點(diǎn)展現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生構(gòu)建三維空間的概念框架。

四、利用畫圖策略，激發(fā)學(xué)生興趣

興趣是最好的老師。要想讓學(xué)生熟練掌握畫圖這種策略，不斷提升解題能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的不斷發(fā)展，就要利用各種方式增進(jìn)學(xué)生對畫圖策略解題的興趣。教師在課堂上進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要緊扣教學(xué)實(shí)際要服務(wù)教學(xué)目標(biāo)這一原則，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，心理發(fā)展個(gè)性，將單純枯燥重復(fù)的畫圖策略變換成符合學(xué)生“口味”的教學(xué)方式，讓學(xué)生在輕松愉悅的環(huán)境中開展畫圖策略解題的過程，調(diào)動學(xué)生的積極性，從“我要學(xué)著畫”到“原來這樣畫”，再到“我要主動畫”，最終達(dá)到事半功倍的培養(yǎng)效果。

首先，要引導(dǎo)學(xué)生感受畫圖策略的多樣性，畫圖形式多種多樣，除了前文所述的線段圖、平面圖、立體圖，學(xué)生還可以根據(jù)自己的理解畫實(shí)物圖、示意圖，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多嘗試各種畫圖形式，大膽提出自己的不同見解，從而真實(shí)感受到畫圖解題的價(jià)值和趣味。例如，在進(jìn)行數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)解決問題的教學(xué)中，由于各種數(shù)量關(guān)系復(fù)雜多元，且每道題都對應(yīng)著更深刻的理解，因此學(xué)生的解題和學(xué)習(xí)過程都較為枯燥，而此時(shí)如果能引導(dǎo)學(xué)生采用多樣性的畫圖策略，就能達(dá)到事半功倍、一目了然的效果，并增強(qiáng)學(xué)生的興趣。教師可以設(shè)計(jì)一組扇形圖作為表達(dá)對象的思維訓(xùn)練，即讓學(xué)生把自己的理解利用扇形圖“解釋”出來，例如，100x1/4就是將一個(gè)面積為100的圓形平均分成4份，其中點(diǎn)一份就是100x1/4。也可以設(shè)計(jì)一組趣味圖，例如，5x1/5就可以設(shè)計(jì)成5個(gè)西瓜，從中取一個(gè)西瓜。在畫的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生去看應(yīng)用題與畫圖表達(dá)的意思是否一致，教師再對相關(guān)算式進(jìn)行講解。隨后，教師可以要求學(xué)生進(jìn)行一定的“潤色”，遇到一些較難的應(yīng)用題及相關(guān)算式，可以在畫圖上多增加一些文字信息，圖文結(jié)合，使表達(dá)更具有邏輯性和清晰度。最后，還可以讓學(xué)生進(jìn)行“看圖編題”，即利用現(xiàn)在所作的圖，學(xué)生出一道應(yīng)用題給自己，如“學(xué)校有20個(gè)籃球，10個(gè)足球，籃球比足球多出幾分之幾”，讓學(xué)生從畫圖回歸數(shù)學(xué)思維，再經(jīng)歷一次由具體到抽象的解釋過程，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、知識內(nèi)化程度的提升。

其次，要發(fā)掘畫圖的無限魅力，畫圖的價(jià)值在于一目了然，可以直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生快速掌握解題重點(diǎn)，因此，教師要重視對“圖”意識的正確滲透，引導(dǎo)學(xué)生多畫一些草圖，通過草圖正確表達(dá)自己的想法。很多應(yīng)用題來自生活，學(xué)生在畫草圖的過程中可以瞬間找到熟悉的感覺，把文字信息還原成生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生在這種“由里及表”的表達(dá)訓(xùn)練中發(fā)掘畫圖的無限魅力，養(yǎng)成畫圖解題的思維方式。例如，針對這一題目“成本2.5元的中性筆1200只，按照期望獲得40%的利潤定價(jià)出售，當(dāng)賣出80%后，剩下的中性筆打折扣，最終獲得預(yù)定利潤的86%，請問剩下的中性筆打了多少折扣？”在這一應(yīng)用題難度很高，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去畫草圖，而教師在講解時(shí)也應(yīng)利用思路分析的草圖，把題中原本的信息用畫草圖的方式進(jìn)行表達(dá)，更快速地解決此題。而在此過程中，可以讓學(xué)生模仿教師的畫圖，從而直觀地看到復(fù)雜的問題被簡單化。

總之，數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身具備數(shù)結(jié)合的特征，“畫圖策略”應(yīng)貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)中。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生的直觀性思維向抽象思維能力發(fā)展的特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，在應(yīng)用題的解決中利用好畫圖策略，解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決中，讓學(xué)生學(xué)會分析問題、有序思考、善于歸納，不斷提升數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力。

（邱瑞玲）

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