試從歐式幾何視角談中學(xué)數(shù)學(xué)幾何及其教學(xué)

王天姿

(黑龍江省哈爾濱師范大學(xué) 150025)

1 平面幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，除了涉及到一些關(guān)于平面幾何的學(xué)習(xí)，大部分都是在進行“數(shù)”的運算和學(xué)習(xí)，有且只有平面幾何這一部分是涉及到了“形”的學(xué)習(xí).幾何的學(xué)習(xí)對于學(xué)生的“邏輯推理”、“直觀想象”的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的地位是不容置疑的，可以說，學(xué)習(xí)幾何的優(yōu)勢在某種程度上更能體現(xiàn)“數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)的本質(zhì).中學(xué)平面幾何以直線和圓為要素，引出了一系列的平面幾何的公理和定理，與高中立體幾何相比趣味性和技巧性更強，更能培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2 歐式幾何在幾何學(xué)中的地位

2.1 歐式幾何的歷史地位

世界上第一本幾何教科書，當(dāng)屬再版次數(shù)最多，流傳最為廣泛的歐幾里得的《幾何原本》了.《幾何原本》的廣泛流傳，歐式幾何占領(lǐng)中學(xué)幾何課堂幾千年而歷久不衰，不僅說明歐幾里得的幾何學(xué)在科學(xué)領(lǐng)域的巨大成就，更說明了其在幾何教學(xué)領(lǐng)域的威望.

2.2 歐式幾何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位

幾何，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的地位，它與代數(shù)的，分析的，組合的方法相輔相成.對于每一個熱愛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的青少年來說，大多首先是幾何的愛好者.幾何的學(xué)習(xí)是幾何圖形的直觀性和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯的嚴謹性的二重奏，對于青少年來說，這不僅有利于左右腦智力的開發(fā)，也能增加學(xué)習(xí)效率，完善智慧，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力.

3 從歐式幾何角度談幾何學(xué)習(xí)困難

3.1 容易迷路的“歐式幾何”園林

如果將一門課程的學(xué)習(xí)，比作游覽一個城市.而課程的邏輯體系就好比城市的交通系統(tǒng)，一個好的交通系統(tǒng)，應(yīng)該有一個“放射型”的交通中心，從中心出發(fā)，可以四通八達，站在中心，就可以有去任何地方的可行性方案.如果把幾何的學(xué)習(xí)比作一次旅行的話，幾何就好比一個瑰麗精致的古代園林，在園林中有目不暇接的美景，但卻容易迷路，因為找不到四通八達的車站，沒有一個“放射型”的交通中心.

3.2 串聯(lián)式的幾何學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性的學(xué)科，關(guān)聯(lián)性極強，在數(shù)學(xué)幾何知識的學(xué)習(xí)過程中，每一步都顯得那么重要，如果其中有一步?jīng)]走好，那么幾何學(xué)往前走的路也就斷了.筆者認為，歐式幾何的弊端在于，沒有一個俯瞰全局的制高點，它的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)式的.

3.3 孤立的幾何系統(tǒng)

幾何教學(xué)是整個學(xué)生教育的子系統(tǒng).在研究數(shù)學(xué)教育的過程中，我們不禁要想，它和大系統(tǒng)匹配的如何呢？大系統(tǒng)有沒有對其提供盡可能的環(huán)境的支持？幾何系統(tǒng)為大系統(tǒng)做了什么貢獻呢？歐式幾何確實是一個美麗的系統(tǒng)，但其卻是一個相對封閉的系統(tǒng).它既不會以學(xué)生們在小學(xué)階段所掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為起點進行繼續(xù)學(xué)習(xí)，也不像代數(shù)那樣，能用有關(guān)方程的知識作為解題的銳利武器，雖然幾何擁有豐富多彩的習(xí)題，但其并沒有為其并肩的系統(tǒng)提供復(fù)習(xí)、鞏固、提高的用武之地.同時，也并未對將來要學(xué)習(xí)的解析幾何和高等數(shù)學(xué)起到鋪墊的作用，這確實令人遺憾.從數(shù)學(xué)這個大系統(tǒng)這個全局的需要的角度來考慮，對于幾何，應(yīng)當(dāng)建立起更合理，更容易學(xué)習(xí)，更能夠和歐幾里得體系相競爭且足以吸引學(xué)生的幾何體系.

4 中學(xué)生平面幾何的學(xué)情分析

4.1 已有幾何知識分析

在義務(wù)教育階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的《圖形與幾何》內(nèi)容主要有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的概念、性質(zhì)和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影，平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標(biāo)描述圖形的位置和運動等等.

4.2 已有學(xué)習(xí)能力分析

學(xué)生在掌握《圖形與幾何》的基礎(chǔ)知識，基本技能的同時，空間觀念得到了一定的發(fā)展，在借助圖形思考問題的過程中，初步建立了幾何直觀.能夠?qū)ζ矫鎯?nèi)一些基本圖形的性質(zhì)進行邏輯推理和簡單證明，掌握了一些基本的數(shù)學(xué)符號和基本思想方法.

4.3 相關(guān)生活經(jīng)驗分析

在現(xiàn)實生活中，學(xué)生能夠?qū)ι钪械奈矬w進行抽象，并能夠明辨基本圖形.對生活中物體和物體的位置關(guān)系有一個感性認識.

4.4 幾何的教學(xué)目標(biāo)

4.4.1 經(jīng)驗與知識相互轉(zhuǎn)化

學(xué)生作為課堂的主人，絕不是一個單純的接受知識的機器.而是一個個帶著已有的經(jīng)驗的個體.而這些日常生活經(jīng)驗，有的是在以往的學(xué)習(xí)中通過內(nèi)化知識而來的，還有的是以自在地狀態(tài)存在于學(xué)生的腦海中.這些自由存在的經(jīng)驗，就需要教師的輔助得以喚醒、改造，使學(xué)生能夠自覺地進入教學(xué)，這既能對當(dāng)前的教學(xué)起到輔助的作用，又能對新的知識的學(xué)習(xí)得到進一步的提升.

4.4.2 活動與體驗

學(xué)生學(xué)習(xí)的知識是人類認識的“起點”，具有高起點性，也就是說學(xué)生學(xué)習(xí)的過程并不是知識發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的過程，并不會像發(fā)現(xiàn)或發(fā)明過程一樣由錯誤到正確、有片面到全面一樣去經(jīng)歷一次，而是直接學(xué)習(xí)某一個內(nèi)容的最高成就.由于學(xué)生認識的直接對象并不是客觀事物本身，可能只是某種符號化的表達，因此教學(xué)其實走的是一條捷徑，雖然很快獲得結(jié)果，但這個過程是一個困難的過程.而學(xué)生的學(xué)習(xí)活動也并不是自主的，需要教師進行啟發(fā)、引領(lǐng)，伴隨著在活動中與老師、同學(xué)的交流、溝通、合作，體會知識及符號表達發(fā)現(xiàn)的過程，進而建立所學(xué)知識與客觀事物之間的聯(lián)系.

4.4.3 掌握知識本質(zhì)

瑞典學(xué)者馬飛龍指出：“我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)結(jié)果與教師對教學(xué)內(nèi)容的處理和組織有著較大的關(guān)系.最關(guān)鍵的是教師對教學(xué)中相同點與不通點、變與不變內(nèi)容的呈現(xiàn)和處理.”學(xué)生是有已有經(jīng)驗的個體，但學(xué)生的某些已有經(jīng)驗是具有片面性的.教師此時可以通過舉例子的方式去引起學(xué)生的認知沖突，進而引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)和探索知識的本質(zhì)特征.恰當(dāng)?shù)恼胬佑兄诮處熞龑?dǎo)學(xué)生呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生迅速理解核心內(nèi)涵.除了標(biāo)準(zhǔn)正例以外，還可以用一些非標(biāo)準(zhǔn)的正例和反例來揭示知識的關(guān)鍵屬性，有助于學(xué)生全面把握所學(xué)知識的本質(zhì)特征.

5 對幾何教學(xué)的展望

對于歐式幾何內(nèi)容的弊端，我們并不是責(zé)備，而是，作為一個教育者，我們?nèi)绾问箯V大的中學(xué)生更容易地繼承先輩留下的遺產(chǎn).今天，我們比歐幾里得的時代擁有了更多的知識，比古人站的更高，望得更遠，我們能不能使廣大中學(xué)生降低幾何學(xué)習(xí)的難度變?yōu)楝F(xiàn)實呢？

5.1 對教材內(nèi)容的展望

首先，幾何的教材內(nèi)容應(yīng)該直觀，生動，內(nèi)容豐富，在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)設(shè)置從易到難的豐富練習(xí)題，并且用引人入勝的方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決一系列有難度的數(shù)學(xué)題目，包括一些古典名題，以建立起幾何學(xué)足夠的吸引力，和歐幾里得體系競爭.

5.2 與其他課程關(guān)系的展望

幾何學(xué)在和其他課程的關(guān)系上，應(yīng)該與其他子系統(tǒng)應(yīng)建立瞻前顧后的關(guān)系.比如，在小學(xué)幾何知識的基礎(chǔ)上，怎么利用這些知識引導(dǎo)學(xué)生進行進一步的學(xué)習(xí)呢？如何利用學(xué)生學(xué)習(xí)過的其他知識如代數(shù)方程來為幾何知識提供幫助呢？對于學(xué)生在不就得將來將要學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)，有一種如沐春風(fēng)的感覺呢？回憶初中所學(xué)習(xí)的幾何知識，有一種受益非淺的感覺呢？這些都是作為數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該注重的關(guān)鍵點.

5.3 對幾何推理手法的展望

幾何的推理手法應(yīng)當(dāng)是非常簡潔的，教科書的邏輯體系相比歐幾里得體系的大加刪減.

幾何推理手法也理當(dāng)是嚴密的，應(yīng)當(dāng)有自己的公理體系作為后盾.如果僅僅滿足于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)材料，用拼盤的方法搞數(shù)學(xué)幾何教學(xué)，幾何的教學(xué)是無法前進的.

6 對幾何教學(xué)的一些思考

6.1 在呈現(xiàn)方式上的自然親切

經(jīng)過對初中平面幾何內(nèi)容的分析，作為或即將作為教育者，是否可以在呈現(xiàn)方式上，做到親切自然，激起中學(xué)生對于一些幾何知識的學(xué)習(xí)的信心和決心？因此，我們應(yīng)該做的就是在數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式上做到自然而親切，這樣更加有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高學(xué)習(xí)的有效性.

6.2 對幾何教學(xué)過程的思考

不僅是在平面幾何，在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，應(yīng)該不僅僅只是簡單的傳遞過程，而學(xué)生不應(yīng)該是對于上課內(nèi)容的復(fù)制粘貼的簡單記錄，而是對于新知有一種主動學(xué)習(xí)的心理過程.作為教育工作者，如何去引導(dǎo)學(xué)生主動求知，使其將課堂上所學(xué)習(xí)的內(nèi)容順應(yīng)或同化到學(xué)生已有的經(jīng)驗系統(tǒng)，是應(yīng)該積極關(guān)注和解決的重要課題.基于此，在設(shè)計教學(xué)過程時，應(yīng)當(dāng)充分考慮到學(xué)生的過去學(xué)習(xí)過的頭腦中的已有知識，從而安排有利于學(xué)生知識正遷移的教學(xué)素材，防止負遷移.

綜上所述，基于歐式幾何的學(xué)科特點，似乎學(xué)生的畏難情緒有了一定的“緣由”，然而，將看似已經(jīng)熟悉得不能再熟悉的幾何的性質(zhì)定理，如何將其變幻出新鮮的花樣，優(yōu)化幾何教學(xué)的效果，需要我輩等繼續(xù)努力.路途遙遠，來日方長，希望能通過不斷的溝通和討論中優(yōu)化中學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，隨著時間的流逝，在各種數(shù)學(xué)交流活動中引起更多的思考，淘盡泥沙見真金.