基于類比推理思維的高中數(shù)學(xué)解題探究

劉廣申

(山東省濟(jì)南市平陰縣第一中學(xué) 250499)

1 引言

數(shù)學(xué)思維的拓展一直是高中數(shù)學(xué)教育的一個重點(diǎn)問題，數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)含著解決數(shù)學(xué)問題的思維和探索方式.從數(shù)學(xué)教育本質(zhì)來看，數(shù)學(xué)課程希望通過教師的教學(xué)努力向?qū)W生傳授用數(shù)學(xué)思維來看待數(shù)學(xué)問題，希望學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)思維能力之后可以獨(dú)立解決生活和工作中的問題.類比推理思維方式是數(shù)學(xué)思維中典型的邏輯推理思維方式，熟練掌握類比推理思維方式對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識框架有著重要的指導(dǎo)作用.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，涉及的眾多知識點(diǎn)都適合使用類比推理思維方式來整理，解題時更是需要該項(xiàng)思維方式作為解題的鑰匙.同時，類比推理是建立在探究性的數(shù)學(xué)研究之上的，這種方法雖然目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，但是還是有一些老師在這種方法的使用方面存在著一些問題.將類比推理的方法合理的應(yīng)用，能夠有效地提升高中數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量.

2 類比推理簡介

2.1 類比推理的含義

本文中所提到的高中數(shù)學(xué)教育中的類比推理的方法是將兩個知識點(diǎn)加以比較，找出這兩個知識點(diǎn)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用中，通過尋找知識的異同，能夠?qū)?shù)學(xué)知識融會貫通，久而久之，形成數(shù)學(xué)思維，從而達(dá)到真正掌握數(shù)學(xué)知識的目的.類比推理思維既體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)中，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)各類習(xí)題的解題過程中.

2.2 在高中數(shù)學(xué)中的作用

類比推理在高中教育中普及是十分必要的，對于高中的數(shù)學(xué)教育來說也是非常重要的.類比推理方法可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和發(fā)散思維.學(xué)生在使用類比思維的方法去解答數(shù)學(xué)問題時可以對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，對重點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識記憶得更加牢固.其次，在高中的數(shù)學(xué)教育中，有很多的知識是十分瑣碎和籠統(tǒng)的，例如數(shù)列的相關(guān)知識點(diǎn)，但是運(yùn)用類比的方法，可以將這類籠統(tǒng)的知識和其他的知識相關(guān)聯(lián)，同時還有利于增強(qiáng)學(xué)生的理解能力.使用類比推理還能累積學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，增強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和熱情.

3 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中類比推理思維的具體應(yīng)用中存在的問題

3.1 忽視對學(xué)生的研究意識培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科，其實(shí)是一門集演繹歸納為一體的學(xué)科，但很多高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中往往都忽視了對學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng).即使演繹推理已經(jīng)可以為學(xué)生解決很多的問題，但是如果教師不借助發(fā)現(xiàn)問題的優(yōu)勢，僅僅借助類比推理的方法來解決數(shù)學(xué)題目，還是會忽視了對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).這種狀況最終就會使得很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中出現(xiàn)自我認(rèn)知意識較弱，且不具備創(chuàng)新思維能力的狀況.另外，在目前的高中數(shù)學(xué)教材中涉及到類比推理的內(nèi)容是非常少的.唯一的一部分，就是選修部分的“推理與證明”一章.而在講授這一章內(nèi)容時，教師往往都是將重點(diǎn)放在了“證明”上.在長期的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師都表現(xiàn)出對類比推理思維的忽視，缺乏一種根本上的研究意識，最終導(dǎo)致在實(shí)際的教學(xué)過程中，學(xué)生并沒有掌握到類比推理的數(shù)學(xué)思維能力.

3.2 類比推理能力局限于數(shù)學(xué)解題講解中

目前，有很多的高中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的過程中依舊采用的是傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)，以此來應(yīng)對應(yīng)試教育為高中數(shù)學(xué)帶來的壓力.類比推理思維方式不應(yīng)該僅在簡單的重復(fù)習(xí)題之間尋找類似點(diǎn)，更應(yīng)當(dāng)運(yùn)用在解剖數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)中，以此來幫助學(xué)生理解各個知識點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性.同時，通過類比推理思維訓(xùn)練可以幫助學(xué)生理解習(xí)題中的解題方法.在這一過程中，不僅可以幫助學(xué)生解答數(shù)學(xué)題目，還可以幫助學(xué)生將這種方法進(jìn)行類比推理，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的整體提升.

3.3 學(xué)生的整體類比推理水平較弱

目前，有很多的高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，并沒有養(yǎng)成一種成熟的發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的創(chuàng)新意識.這也就導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中并沒有一種系統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法，只會一味地模仿教師教的方法，通過套用教學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).還有很多時候，很多學(xué)生會掌握一些學(xué)習(xí)方法，也能夠有效地解決數(shù)學(xué)問題，但他們并不能借助類比推理來進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的深化，只能夠掌握一些最為簡單的概念與原理.在這種狀況的影響下，類比推理的學(xué)習(xí)思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用度還是非常低的，學(xué)生的類比推理水平較低，對類比推理的屬性判斷不夠清晰，這也就導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中無法做到知識點(diǎn)的深化理解.另外，很多學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中對類比推理的基本概念并沒有完善的理解，這也就導(dǎo)致學(xué)生在解決問題時只能夠?qū)㈩}目中的詞句結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比，并不能從根本上進(jìn)行題目的類比加工.

4 類比推理方法的實(shí)際應(yīng)用

4.1 通過實(shí)際解題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維

高中數(shù)學(xué)教師在給學(xué)生教類比推理的學(xué)習(xí)方法時要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維方式.數(shù)學(xué)題的解答，數(shù)學(xué)的邏輯思維是必不可少的.學(xué)生在研究數(shù)學(xué)問題時要學(xué)會去設(shè)想、假設(shè)、論證、解答等，進(jìn)而掌握類比推理的方法.此外老師也可以在數(shù)學(xué)課堂上舉一些生活中較為實(shí)用的問題，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.例如，在學(xué)習(xí)與規(guī)律有關(guān)的章節(jié)時，老師可以設(shè)計這樣的題：圓的一條弦把圓分成兩部分，兩條弦把圓分成四部分，三條弦把圓分成七部分，四條弦把圓分成幾部分呢？那十九條弦呢？

解設(shè)弦有k條，能將圓分成s部分

k=1,s=2;k=2,s=4;k=3,s=7;k=4,s=11……;k=n,s(n)=n+s(n-1)=……=1+ (n+1)n/2;k=4,s=11;k=19,s=191.

學(xué)生在解答完這道題后，老師可以根據(jù)這個題為原型，再編一道類似的題，例如：一條線可以將圓分成兩部分，兩條線可以將圓分成四部分，N條線可以把圓分成( )部分，( )條線可以將圓分成904部分讓學(xué)生去解答，學(xué)生再去解答的時候，就會發(fā)現(xiàn)這道題就和原來的題十分相似，或許只是將數(shù)字變了，或者是同一道題的不同設(shè)問，因此學(xué)生會不自覺地就將兩道題放到一起做類比，然后找出解答方式.

4.2 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

現(xiàn)在社會和時代都在飛速地發(fā)展著，所以社會所需要的人才也在發(fā)生改變，創(chuàng)新型人才是當(dāng)前社會所急需的，所以在學(xué)校教育和培養(yǎng)過程中，要注重學(xué)生的創(chuàng)新思維的培養(yǎng).在對學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新培養(yǎng)時，老師不僅僅要充分利用好教材上的知識，還要為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境和氛圍.老師在講解數(shù)學(xué)知識時要讓學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上，還要讓學(xué)生學(xué)會，在面對一道數(shù)學(xué)題時，尋找合適的解題思路，充分利用已經(jīng)掌握的知識，將數(shù)學(xué)問題解決.在沒有充分的，相關(guān)知識的儲備時，要學(xué)會旁博引證，類比推理，尋找相似題型來參考，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.面對問題時要靈活地處理，而不是只會應(yīng)用一種方法去解決.

例如，《立體幾何初步》這一單元的教學(xué)過程中，教師可以用一些鐵棒去搭建空間幾何體，讓學(xué)生動手一起搭建，從平面變成立體，學(xué)生也能夠更好的去想像問題，和在黑板上進(jìn)行畫作比起來能夠更好的在學(xué)生腦內(nèi)創(chuàng)造模型的建設(shè).并且在創(chuàng)新搭建立體幾何模型的過程中，對比不同幾何體之間的異同點(diǎn).在動手創(chuàng)建立體模型之后，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在立體幾何模型中探索習(xí)題考察知識點(diǎn)的關(guān)聯(lián)程度.具體而言，教師可以在模型中增加一根直線，去詢問這個夾角的角度問題，增加互問互答環(huán)節(jié)，教師不給出具體的解法，讓學(xué)生自主的去思考，利用不同的方法推導(dǎo)出答案.并且在整理不同方法的過程中，用類比推理的思維方式集合各個學(xué)生的答題思路.

4.3 類比推理方法，讓學(xué)生舉一反三

類比的方法就是讓學(xué)生在兩個或者多個題中找相似，推理就是結(jié)合不同的題，找出當(dāng)前題目的解題方法.例如在空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和幾何體的三視圖的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以找出兩個知識點(diǎn)的相似之處，將兩者的知識融會貫通，在學(xué)習(xí)幾何體的三視圖時，把幾何體結(jié)構(gòu)的知識運(yùn)用到其中，從而畫出幾何體的三視圖，掌握幾何體三視圖的相關(guān)知識.學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，可以將新的知識和已經(jīng)學(xué)過的或者自己掌握的知識進(jìn)行對比，然后根據(jù)之前的知識，總結(jié)出學(xué)習(xí)新知識的方法.這樣既有利于學(xué)習(xí)新的知識，又有利于對之前的知識進(jìn)行溫習(xí).

例如，《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》中的教學(xué)，教師應(yīng)該結(jié)合習(xí)題練習(xí)將變式教學(xué)融入其中，達(dá)到拋磚引玉的作用，指導(dǎo)學(xué)生掌握圓錐曲線類型題目的解題方法.在習(xí)題變式教學(xué)中，教師在課堂上可以指導(dǎo)學(xué)生對變式習(xí)題按一定邏輯歸納，運(yùn)用類比推理思維整理變式中涉及到的橢圓及其方程的知識點(diǎn)脈絡(luò)，支持學(xué)生更高效地掌握其中的數(shù)形結(jié)合的要點(diǎn).通過類比推理和分類指導(dǎo)，學(xué)生理解橢圓與方程的知識體系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和課堂教學(xué)質(zhì)量.最終讓學(xué)生在解題過程中，體會到運(yùn)用所學(xué)到的知識和解題技巧的樂趣.在變式教學(xué)應(yīng)用類比推理思想的過程中，教師可以利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程取代縱軸與橫軸的坐標(biāo)，將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)取值范圍的問題，從廣義的角度把類比推理思維與變式教學(xué)組合，更深入地理解數(shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)解題的影響，這樣解決這類題目也相對容易，學(xué)生解決難題之后能夠獲得成就感和滿足感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

類比推理的學(xué)習(xí)方法在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很重要的作用，不僅僅能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新思維，而且還能幫助學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)知識，及時復(fù)習(xí)之前的知識，學(xué)會舉一反三.因此高中的數(shù)學(xué)老師應(yīng)該注重傳授學(xué)生類比推理的方法，使得學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識不再那么困難，幫助學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時，能夠有一個正確的思路和解題方法.