線性代數(shù)課程的線上線下混合式教學(xué)研究

范 靜

（上海第二工業(yè)大學(xué)文理學(xué)部 上海 201209）

引言

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是行列式、矩陣、向量、向量空間、線性變換和線性方程組。它是“矩陣論”“泛函分析”的基礎(chǔ)。線性代數(shù)是描述和研究量子系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)等的強(qiáng)有力工具。其理論已經(jīng)應(yīng)用于許多學(xué)科分支，如運(yùn)籌學(xué)、博弈論、金融數(shù)學(xué)等，而且在工程技術(shù)、生物技術(shù)、計(jì)算機(jī)、多媒體網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中都有著極其廣泛的應(yīng)用。[1]線性代數(shù)課程的基本概念、理論和方法具有較高的抽象性、較強(qiáng)的邏輯性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。因而，線性代數(shù)這門公共基礎(chǔ)課程是每個(gè)理工科學(xué)生必修的課程。[2]

在傳統(tǒng)的線下線性代數(shù)教授過(guò)程中，授課教師即便用盡渾身解數(shù)，在上課之初就提出主要內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)，介紹授課方式，并在理論學(xué)習(xí)后提出知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及與專業(yè)課的聯(lián)系，但仍有不少學(xué)生只抓期末考試，考罷即拋之腦后，只留下對(duì)行列式、矩陣等概念的一些模糊印象。隨著時(shí)代發(fā)展，線性代數(shù)的教學(xué)在不斷地進(jìn)行改革，教學(xué)一線的老師們一直在關(guān)注如何提高學(xué)生的積極性，如何提升學(xué)習(xí)效果等。

梁靜[3]提出將學(xué)科思維導(dǎo)圖引入教學(xué)中，以提高學(xué)生的邏輯思維能力；楊優(yōu)美等[4]等提出研究式課堂教學(xué)方式，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲；張軍等[5]提出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)的教學(xué)中，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。雖然教師和學(xué)生面對(duì)面進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)，教師主觀上想運(yùn)用各種改革方式調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性，發(fā)揮他們的主動(dòng)作用，但是很多客觀條件限制了實(shí)施效果，如大班教學(xué)人數(shù)多、課程的學(xué)時(shí)數(shù)有限、考核方式不注重過(guò)程、考核內(nèi)容比教學(xué)內(nèi)容范圍小等。在信息技術(shù)的深入影響下，傳統(tǒng)的教學(xué)模式不斷暴露出不同程度的問(wèn)題，各種新興教學(xué)技術(shù)的出現(xiàn)，使得線性代數(shù)的教學(xué)改革有了新的方向。[6]

1 線上線下混合式教學(xué)的開展基礎(chǔ)

疫情期間，線性代數(shù)線上授課完全取代了線下講課，授課教師為線上教學(xué)設(shè)計(jì)了完整的教學(xué)方案，重構(gòu)了教學(xué)內(nèi)容，完善了教學(xué)資源，增加了預(yù)習(xí)模塊、互動(dòng)答疑、回放鞏固、及時(shí)檢測(cè)等過(guò)程。但純粹的在線教學(xué)也存在很多問(wèn)題。客觀方面，如學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定、終端硬件損壞等不能保障課程順利開展，主觀方面，如學(xué)生學(xué)習(xí)走神、不參與互動(dòng)等使得在線教學(xué)效果較線下教學(xué)大打折扣。在高校線下教學(xué)活動(dòng)恢復(fù)正常的后疫情時(shí)期，所有的線上教學(xué)資源不應(yīng)曇花一現(xiàn)，教師們辛勤工作的結(jié)果應(yīng)加以更好的利用，也值得具有更持久的生命。這為開展新的教學(xué)模式奠定了初步的資源基礎(chǔ)。

2020 年7 月15 日，國(guó)家發(fā)展改革委、中央網(wǎng)信辦、教育部等部門聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于支持新業(yè)態(tài)新模式健康發(fā)展激活消費(fèi)市場(chǎng)帶動(dòng)擴(kuò)大就業(yè)的意見》。[7]《意見》要求，要把支持線上線下融合的新業(yè)態(tài)新模式作為經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型和促進(jìn)改革創(chuàng)新的重要突破口，并由教育部牽頭負(fù)責(zé)大力發(fā)展融合化在線教育，構(gòu)建線上線下教育常態(tài)化融合發(fā)展機(jī)制，形成良性互動(dòng)格局。這里的線上是指利用互聯(lián)網(wǎng)的視頻課等，學(xué)生在自主選擇的時(shí)間進(jìn)行自學(xué)；線下是指在固定時(shí)間內(nèi)，在面對(duì)面的課堂中，教師針對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)講解，通過(guò)師生互動(dòng)解決不同學(xué)生的問(wèn)題。線上線下混合就是要將線上自學(xué)與線下翻轉(zhuǎn)進(jìn)行有機(jī)、有效的結(jié)合。這為后疫情時(shí)期線上與線下混合的教學(xué)模式奠定了政策基礎(chǔ)。

目前，全國(guó)各大高校圍繞建設(shè)“金課”開展了線上線下混合式教學(xué)改革。周小燕等[8]對(duì)高等農(nóng)林院校線性代數(shù)課程的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)實(shí)踐以及過(guò)程性考評(píng)活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，建立以學(xué)生“學(xué)”為中心的線上線下混合式“金課”；周勇強(qiáng)等[9]將線上線下教學(xué)深度融合，把抽象理論與數(shù)學(xué)文化、中國(guó)傳統(tǒng)文化、實(shí)際工程背景等有機(jī)結(jié)合；鄭文斌等[10]對(duì)應(yīng)用效果進(jìn)行分析，結(jié)果顯示：無(wú)論是學(xué)生的主觀滿意度，還是客觀考核成績(jī)，線上線下混合式教學(xué)模式在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用效果更佳；吳延紅等[11]構(gòu)建了一種“線上+線下”的混合式教學(xué)模式，以提高學(xué)生課堂教學(xué)的參與率和學(xué)習(xí)積極性。這些研究成果為線性代數(shù)課程進(jìn)行線上與線下混合的教學(xué)模式奠定了理論基礎(chǔ)。

2 線上線下混合式教學(xué)的實(shí)施

2.1 線上授課

為了實(shí)施線性代數(shù)課程線上線下混合式教學(xué)，我們需要從以下四個(gè)方面入手，才能使教學(xué)目標(biāo)正確、方式恰當(dāng)。

2.1.1 重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，育人于無(wú)形

將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)充，并根據(jù)難易程度分為線上內(nèi)容與線下內(nèi)容。將初步的、基礎(chǔ)的、易激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的知識(shí)，通過(guò)錄制10 分鐘左右的視頻課，并結(jié)合擴(kuò)充內(nèi)容，放在學(xué)習(xí)網(wǎng)站上，供學(xué)生進(jìn)行課前預(yù)習(xí)、課后鞏固。期間，如果可以將課程思政內(nèi)容很好地融入的話，還能在無(wú)形中實(shí)現(xiàn)“三全育人”。

例如，矩陣的概念是比較簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容，就可以作為線上內(nèi)容，通過(guò)短視頻課進(jìn)行學(xué)習(xí)。在視頻中，除了講解矩陣是數(shù)表這個(gè)本質(zhì)外，還可以舉閱兵式中的隊(duì)列為例，讓學(xué)生通過(guò)各兵種的隊(duì)列圖片了解不同行列數(shù)的矩陣，還可以領(lǐng)略中國(guó)人民解放軍嚴(yán)格的紀(jì)律和過(guò)硬的軍風(fēng)，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感、培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情操。

2.1.2 擴(kuò)充教學(xué)案例，育人于應(yīng)用

線下教學(xué)往往受限于有限的教學(xué)時(shí)間，教學(xué)案例的選擇有限，無(wú)法進(jìn)行詳細(xì)的、分類別的講解。因此，線性代數(shù)的多數(shù)應(yīng)用案例就可以在線上通過(guò)視頻課、練習(xí)題進(jìn)行學(xué)習(xí)，這既能增加課程的趣味性，又能啟發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的思維。

例如，直觀的閱兵隊(duì)列可以用矩陣來(lái)表示，而且實(shí)際生活中的航班路線也可以用矩陣來(lái)表示。如果從城市A到城市B、城市C 有航班，城市B、城市C 到城市A 也有航班，但城市B 與城市C 之間沒有航班。這三個(gè)城市間的航班表就可以表示為一個(gè)三階方陣，第1-3 行表示從城市A、城市B、城市C 出發(fā)的航班，第1-3 列表示到達(dá)城市A、城市B、城市C 的航班。若用數(shù)字1 表示有航班，用數(shù)字0 表示沒有航班，因此，此方陣中第1 行的第2、3 列元素及第1列的第2、3 行元素為數(shù)字1，其余元素均為0。

2.1.3 增加軟件操作，育人于實(shí)際

在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有限維的向量、矩陣、線性方程組等的維數(shù)都很小，但在實(shí)際領(lǐng)域內(nèi)，維數(shù)一般大大超出了手動(dòng)計(jì)算的范圍。同時(shí)，計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，為學(xué)習(xí)線性代數(shù)提供了一個(gè)科學(xué)的現(xiàn)代化環(huán)境。把MATLAB軟件引入到線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，借助命令、程序進(jìn)行運(yùn)算，通過(guò)視頻課演示與鞏固練習(xí)，可以提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

例如，利用MATLAB 軟件創(chuàng)建矩陣時(shí)，不僅要講直接輸入數(shù)字創(chuàng)建矩陣，還要講利用查找、賦值等方法產(chǎn)生新的矩陣；不僅要講矩陣的分塊，還要講矩陣的拼接；不僅要講數(shù)字矩陣的運(yùn)算，還要講符號(hào)矩陣的運(yùn)算；不僅要講矩陣與行列式、向量的理論運(yùn)算聯(lián)系，還要講它們各自在軟件中的獨(dú)特運(yùn)算。

2.1.4 設(shè)計(jì)個(gè)性方案，育人于精準(zhǔn)

線上的教學(xué)完全以學(xué)生為主體，在無(wú)人監(jiān)督的情況下，應(yīng)盡量增加師生、人機(jī)互動(dòng)，設(shè)計(jì)個(gè)性化的考核方案，以保證線上學(xué)習(xí)的有效性。

例如，教師在線上發(fā)布征詢矩陣的實(shí)際生活應(yīng)用案例或?qū)I(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用案例，由學(xué)生通過(guò)查找資料列舉更多的案例，并進(jìn)行打分及評(píng)論。再例如，在矩陣學(xué)習(xí)初期，很多學(xué)生會(huì)與行列式的寫法混淆，可以設(shè)計(jì)層級(jí)的多選題，在第一個(gè)多選題中選出正確的矩陣，如果正確，則結(jié)束；否則再?gòu)棾鲆粋€(gè)類似的多選題，直至選擇正確才結(jié)束。

2.2 線下授課方式的調(diào)整

在線下的課堂教學(xué)中，在師生面對(duì)面的交流中，教師作為主導(dǎo)，應(yīng)從線上內(nèi)容的反饋入手，講評(píng)線上學(xué)習(xí)的問(wèn)題，進(jìn)行總結(jié)后，導(dǎo)入到翻轉(zhuǎn)思考、引導(dǎo)學(xué)習(xí)的階段。因此，我們需要在線下從以下兩方面進(jìn)行調(diào)整，才能做到及時(shí)鞏固、效果良好。

調(diào)整教學(xué)方法，轉(zhuǎn)變教學(xué)思路。在新模式教學(xué)中，教師需要綜合運(yùn)用小組合作、以問(wèn)題為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)方法，進(jìn)行啟發(fā)式、探究式、研討式的講授，通過(guò)生講生評(píng)，生講師評(píng)，及時(shí)對(duì)學(xué)生的課堂表現(xiàn)進(jìn)行反饋。

設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，把控教學(xué)節(jié)奏。在新模式教學(xué)中，對(duì)教師的要求有增無(wú)減，不僅要按照教學(xué)進(jìn)度安排教學(xué)內(nèi)容，還要設(shè)計(jì)不同的分組討論主題，使不同程度的學(xué)生既可以在討論中有收獲，還能突破一定的難度。

2.3 師資培訓(xùn)及教學(xué)評(píng)價(jià)要緊跟新模式的步伐

對(duì)于線上線下混合式教學(xué)的開展，還需要以下兩方面工作的配合調(diào)整，才能從全方位形成老師與學(xué)生間的新教學(xué)生態(tài)。

加強(qiáng)教師培訓(xùn)，增加交流學(xué)習(xí)。授課教師除了要具備熟練的課程講授能力之外，還需要對(duì)線上平臺(tái)足夠熟悉，可以熟練進(jìn)行任務(wù)發(fā)放、答疑評(píng)論等。另外，教師還需要學(xué)習(xí)先進(jìn)的教學(xué)方法，提高自身的素質(zhì)。因此，教師需要進(jìn)行各方面的培訓(xùn)和學(xué)習(xí)，以及本校及校間交流和切磋。

改變教學(xué)評(píng)價(jià)，權(quán)衡線上線下。改變以往平時(shí)成績(jī)過(guò)低的評(píng)價(jià)方式，制定全新的評(píng)價(jià)方式，以綜合考慮學(xué)生線上表現(xiàn)和線下表現(xiàn)，結(jié)合課前、課中和課后的學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)效果，通過(guò)學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)成績(jī)，設(shè)置合理的權(quán)值，使得最終評(píng)定的成績(jī)與學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)狀況保持一致。

3 結(jié)束語(yǔ)

目前，很多高校針對(duì)線性代數(shù)課程進(jìn)行了線上線下混合式教學(xué)探索和實(shí)踐。本文著重從開展線上線下混合式教學(xué)的基礎(chǔ)出發(fā)，探討了構(gòu)建新教學(xué)模式所需的調(diào)整和改變，包括線上的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)案例、軟件操作及個(gè)性化方案；線下的教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容；并配以教師培訓(xùn)與改變教學(xué)評(píng)價(jià)。通過(guò)線上與線下全方位的配合，多樣性的結(jié)合，在達(dá)到學(xué)習(xí)線性代數(shù)理論知識(shí)、實(shí)際案例、軟件應(yīng)用等學(xué)習(xí)目標(biāo)的同時(shí)，能夠充分尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性化，有利于學(xué)生建立學(xué)習(xí)的自信，主導(dǎo)自我的發(fā)展，從而改善學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，提升教學(xué)成效。