改進(jìn)混沌粒子群算法的四旋翼PID姿態(tài)控制

張智軒，李 濤，伍鵬飛，趙宏生

(南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210000)

0 引言

四旋翼無人機(jī)由于成本低、機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，近年來被廣泛應(yīng)用于多種場(chǎng)景，例如空中測(cè)繪、空中航拍、農(nóng)業(yè)植保和地面物體跟蹤等。四旋翼飛行控制系統(tǒng)作為四旋翼飛行器的控制中心，如何對(duì)四旋翼飛行器進(jìn)行有效控制是當(dāng)前國際多旋翼飛行控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。姿態(tài)控制是四旋翼飛行控制系統(tǒng)的重要組成部分，是平穩(wěn)飛行的前提。PID控制操作簡(jiǎn)單，可以有效地控制四旋翼無人機(jī)，但其性能對(duì)參數(shù)的依賴較大[1-2]，所以參數(shù)的選擇至關(guān)重要。針對(duì)PID參數(shù)整定問題的智能優(yōu)化算法有很多，如雞群算法[3]、遺傳算法[4]與粒子群算法[5-6](Particle Swarm Optimization，PSO)等。粒子群算法是一種新興的基于群體智能的啟發(fā)式全局搜索算法、操作簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。而PID需要調(diào)節(jié)的參數(shù)只有3個(gè)，維數(shù)較少，因此，本文采用PSO算法求得最佳參數(shù)值，并將得到的參數(shù)值應(yīng)用于PID控制器對(duì)四旋翼飛行器的姿態(tài)(翻轉(zhuǎn))和高度控制。

近年來，國內(nèi)外很多學(xué)者為了提高傳統(tǒng)PID參數(shù)整定技術(shù)的性能，各自利用粒子群算法對(duì)PID的參數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。胡文華等[7]為了解決控制參數(shù)優(yōu)化問題，提出了一種變權(quán)重與雜交的粒子群優(yōu)化算法：首先，根據(jù)迭代過程中粒子群中粒子與全局最優(yōu)粒子間的距離大小動(dòng)態(tài)改變慣性權(quán)重；其次，引入雜交進(jìn)化增加粒子多樣性，避免陷入局部最優(yōu)；結(jié)果表明，該優(yōu)化算法對(duì)參數(shù)的整定是有效的，能使四旋翼飛行器的控制品質(zhì)得到保證和優(yōu)化,提升設(shè)計(jì)效率。RAZA等[8]將PSO算法用于上肢康復(fù)機(jī)器人的PID控制驗(yàn)證了PSO算法的有效性和穩(wěn)定性；胡丹丹等[9]將控制器的參數(shù)作為粒子群中的粒子進(jìn)行迭代尋優(yōu)，同時(shí)在傳統(tǒng)的PSO算法基礎(chǔ)上參考遺傳算法，對(duì)適應(yīng)度函數(shù)值較差的粒子進(jìn)行交叉保優(yōu)，仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后的控制器超調(diào)更小，調(diào)節(jié)時(shí)間更短；RONI等[10]采用遺傳算法(GA)和PSO算法對(duì)三相MG系統(tǒng)的PID控制器進(jìn)行優(yōu)化；LI等[11]為了提高船舶跟蹤自動(dòng)駕駛儀的性能，提出了一種基于PSO優(yōu)化的滑模變結(jié)構(gòu)PID控制策略。

本文以X型變距、變轉(zhuǎn)速四旋翼飛行器為研究對(duì)象，考慮到混沌序列擺脫停滯的出色表現(xiàn)，首先構(gòu)造Logistic混沌序列代替粒子位置隨機(jī)初始化，其次對(duì)粒子群算法的權(quán)重參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，增加了粒子多樣性。比較其他混沌PSO算法，本文改進(jìn)混沌PSO算法避免了算法陷入局部最優(yōu)，改進(jìn)了搜索速度和精度，并且構(gòu)造簡(jiǎn)單。在四旋翼PID控制器參數(shù)調(diào)節(jié)的應(yīng)用上，避免了人工調(diào)節(jié)參數(shù)的隨機(jī)性，提高了控制器的可靠性。

1 四旋翼飛行器建模

為實(shí)現(xiàn)對(duì)小型四旋翼飛行器的有效控制，必須準(zhǔn)確建立其在各種飛行狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型。飛行器在飛行過程中不僅同時(shí)受到多種物理效應(yīng)[12]的作用(空氣動(dòng)力、重力、陀螺效應(yīng)和旋翼慣量矩等)，還很容易受到氣流等外部環(huán)境的干擾。四旋翼飛行器通常有兩種模式，即“十”字型與X型[13]。本文選用X型四旋翼建立動(dòng)力學(xué)模型，建立如圖1所示的慣性坐標(biāo)系E(oxyz)和四旋翼機(jī)體軸坐標(biāo)系B(oxByBzB)。慣性坐標(biāo)系取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)o，oz軸為沿地球自轉(zhuǎn)軸方向，ox軸為赤道平面和本初子午面的交線，oy軸按右手規(guī)則確定。四旋翼機(jī)體坐標(biāo)系以飛機(jī)重心為原點(diǎn)o，oxB軸為沿飛機(jī)橫軸向右，oyB軸為沿飛機(jī)縱軸向前，ozB軸為沿飛機(jī)立軸(航向軸)向上。

圖1 慣性坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系Fig.1 Inertial coordinate system and body coordinate system

四旋翼飛行器采用4個(gè)螺旋槳作為驅(qū)動(dòng)，螺旋槳對(duì)稱地分布在機(jī)身周圍,其推力可以通過改變電機(jī)轉(zhuǎn)速來實(shí)現(xiàn)。四旋翼飛行器可以沿著機(jī)體的3個(gè)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或平移運(yùn)動(dòng)，因此在每個(gè)軸向上有兩個(gè)自由度。四旋翼飛行器有6種飛行狀態(tài)，即垂直運(yùn)動(dòng)、俯仰運(yùn)動(dòng)、滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、偏航運(yùn)動(dòng)和前、后運(yùn)動(dòng)。

四旋翼飛行器建立合理準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，是飛行姿態(tài)精確控制的首要前提。因此，通常對(duì)飛行器進(jìn)行一些合理假設(shè)：1)假設(shè)四旋翼飛行器為剛體，結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱，將地面坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系；2)假設(shè)沒有其他阻力影響和重力變化，阻力、重力始終保持不變；3)假設(shè)陀螺效應(yīng)和空氣動(dòng)力扭矩效應(yīng)均被抵消?；谝陨霞僭O(shè)，四旋翼飛行器模型可簡(jiǎn)化為

(1)

式中：φ，θ，ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角，是機(jī)體相對(duì)于慣性坐標(biāo)系產(chǎn)生的角度；m為四旋翼飛行器的質(zhì)量；Ix，Iy，Iz為飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；g為所在地重力加速度；l為各個(gè)旋翼到機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)的長度；U1～U4為各個(gè)通道的控制量，其表達(dá)式為

(2)

式中：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4為對(duì)應(yīng)電機(jī)的旋翼升力；Ω1，Ω2，Ω3，Ω4為對(duì)應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速；k1，k2分別為四旋翼的升力系數(shù)和阻力系數(shù)。

2 改進(jìn)混沌粒子群算法

2.1 粒子群算法

粒子群算法是一種基于進(jìn)化計(jì)算技術(shù)的優(yōu)化算法，是由魚群學(xué)和鳥群學(xué)的研究發(fā)展而來的，由于其參數(shù)簡(jiǎn)單、收斂速度較快，而得到廣泛應(yīng)用。

PSO算法中，每一個(gè)粒子都被視為D維空間中的一個(gè)點(diǎn)[14]。粒子i的位置可以表示為Xi={xi1，xi2，…，xiD}；粒子i的速度可以表示為Vi={vi1，vi2，…，viD}；粒子i的個(gè)體最優(yōu)解表示為Pi={pi1，pi2，…，piD}；粒子i的全局歷史最優(yōu)解為Pg={pg1，pg2，…，pgD}?？筛铝Ｗ訛?/p>

(3)

式中：i為粒子個(gè)數(shù)；viD為粒子i在D維空間的速度；xiD為粒子i在D維空間的位置；k為迭代次數(shù)；D為粒子的維度；c1，c2為粒子的學(xué)習(xí)因子；ω為粒子慣性權(quán)重；r1，r2為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

本文算法的適應(yīng)度函數(shù)選取ITAE誤差準(zhǔn)則，依照此準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的振蕩性小，且對(duì)參數(shù)具有良好的選擇性。ITAE能夠較好地抑制長時(shí)間存在的誤差，其值越低，性能越好，其表達(dá)式為

(4)

式中：f為算法適應(yīng)度函數(shù)，即ITAE誤差方程；favg為算法適應(yīng)度平均值；fmin為算法適應(yīng)度最小值。

2.2 粒子群算法自適應(yīng)慣性權(quán)重

KENNEDY和EBERHART于1995年首次提出原始版本粒子群算法之后，1998年ANGELINE又提出了一種改進(jìn)的粒子群算法，增加了慣性權(quán)重ω這個(gè)新參數(shù)。

慣性權(quán)重對(duì)粒子群算法的性能至關(guān)重要，它負(fù)責(zé)平衡粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力。大慣性權(quán)重有助于探索，但會(huì)使粒子長時(shí)間無法收斂到一個(gè)點(diǎn)；反之，較小的慣性權(quán)重會(huì)使粒子快速收斂，但有時(shí)會(huì)導(dǎo)致局部最優(yōu)。在搜索過程中，每個(gè)粒子都會(huì)動(dòng)態(tài)地改變其位置，因此，每個(gè)粒子都處于不同的復(fù)雜環(huán)境中，面臨著不同的情況。因此，每個(gè)維度上的每個(gè)粒子在全局搜索能力和局部搜索能力之間存在著不同的權(quán)衡。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于平均目標(biāo)值的微粒，其對(duì)應(yīng)的慣性權(quán)重因子較小，從而保護(hù)了該微粒，反之，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)值差于平均目標(biāo)值的微粒，其對(duì)應(yīng)的慣性權(quán)重因子較大，使得該微粒向較好的搜索區(qū)域靠攏。動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重的精細(xì)策略可以提高粒子群算法的性能。本文采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)公式，其表達(dá)式為

(5)

式中，ωmax，ωmin分別為權(quán)重最大值和最小值，ωmax=0.9，ωmin=0.4。

2.3 Logistic混沌序列引入

混沌映射可以描述為一個(gè)具有確定性動(dòng)力學(xué)行為的有界非線性系統(tǒng)，具有遍歷性和隨機(jī)性，它對(duì)于初始條件和參數(shù)非常敏感。也就是說，混沌的因果與初值的微小差異不成正比，這就產(chǎn)生了所謂的“蝴蝶效應(yīng)”，即初值的微小變化會(huì)導(dǎo)致多次迭代后解的巨大差異。此外，混沌變量的軌跡可以遍歷整個(gè)搜索空間。本文利用Logistic混沌映射方法生成均勻分布的初始粒子，以提高初始粒子群的質(zhì)量，并在粒子群趨于停滯時(shí)重新初始化一定數(shù)量的粒子。

作為基礎(chǔ)的混沌方法之一，Logistic映射在過去幾十年中受到了研究者們的廣泛關(guān)注。Logistic映射的分岔圖見圖2，其表達(dá)式見式(6)。

圖2 Logistic映射分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of Logistic equation

Li+1=μLi(1-Li)i=0，1，2，…

(6)

式中：Li表示第i個(gè)混沌變量，Li∈(0，1)；初始值L0∈(0，1)；μ為常數(shù)，也稱為分叉系數(shù)，取值為4。

首先生成Li，根據(jù)式(6)更新Li，然后根據(jù)Xi=xi1+Li(xiD-xi1)，將混沌序列映射到待優(yōu)化的解空間。

3 改進(jìn)粒子群算法PID控制器

改進(jìn)粒子群算法的流程如下所述。

1) 初始化粒子群，隨機(jī)產(chǎn)生所有粒子的位置和速度，并確定粒子的慣性權(quán)重。

2) 按照粒子群速度與位置公式更新粒子的速度和位置。

3) 將每個(gè)粒子代入仿真模型并計(jì)算對(duì)應(yīng)的ITAE值。

4)計(jì)算所有粒子ITAE值的算術(shù)平均值，取偶數(shù)個(gè)ITAE值小于平均值的粒子直接進(jìn)入下一次迭代。剩余粒子進(jìn)行交叉選擇，生成相同數(shù)量的子代，并與父代一起進(jìn)行排序，取ITAE值更小的一半進(jìn)入下一次迭代。

5) 將每一個(gè)粒子的適應(yīng)值與該粒子所經(jīng)歷過的最優(yōu)位置的適應(yīng)值進(jìn)行比較，如果更好，則將該粒子作為新的；對(duì)每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與整個(gè)粒子群所經(jīng)歷過的最優(yōu)位置的適應(yīng)值進(jìn)行比較，如果更好，則將該粒子作為新的；

6) 如果沒有滿足最終條件(適應(yīng)值小于預(yù)設(shè)閾值或者超過最大迭代次數(shù))，則返回步驟2);否則，退出算法，輸出尋優(yōu)過程曲線和最優(yōu)解。

利用改進(jìn)混沌粒子群算法對(duì)PID的3個(gè)參數(shù)進(jìn)行整定,再用整定之后的PID控制器來控制四旋翼飛行器，得到實(shí)際輸出值與輸入階躍信號(hào)值的差值，通過計(jì)算ITAE(即函數(shù)適應(yīng)度值)來判斷是否滿足算法的停止條件，若滿足則計(jì)算過程結(jié)束，若不滿足則循環(huán)操作，直到得到滿足設(shè)定條件的數(shù)值或達(dá)到最大迭代次數(shù)。改進(jìn)后的PID控制器見圖3。

圖3 改進(jìn)混沌粒子群PID控制器Fig.3 Improved chaotic particle swarm PID controller

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文仿真實(shí)驗(yàn)選取四旋翼飛行器模型，仿真通道選取滾轉(zhuǎn)通道和飛行高度通道。四旋翼飛行器參數(shù)和PSO算法初始化參數(shù)數(shù)據(jù)分別見表1和表2。

表1 四旋翼飛行器參數(shù)Table 1 Parameters of the quad-rotor flight controller

表2 PSO算法初始化數(shù)據(jù)Table 2 Initialized data of the PSO algorithm

本文采用PID控制器對(duì)四旋翼飛行器的姿態(tài)(翻轉(zhuǎn))和高度進(jìn)行控制，在Matlab 2016b中搭建PID四旋翼數(shù)學(xué)模型。

仿真實(shí)驗(yàn)以滾轉(zhuǎn)通道、高度通道為例，周期為0.01 s，滾轉(zhuǎn)角度期望值為0.8 rad(約46°)，飛行高度期望值為2 m。仿真結(jié)果分別如圖4～7、表3～4所示。

圖4 四旋翼滾轉(zhuǎn)角性能對(duì)比Fig.4 Performance comparison of quad-rotor roll angle

表3 滾轉(zhuǎn)通道性能指標(biāo)對(duì)比Table 3 Performance comparison of roll channel

從圖4、圖5和表3可以看出，在滾轉(zhuǎn)通道的仿真實(shí)驗(yàn)中，本文算法控制器超調(diào)量明顯小于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的控制器，其次，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，系統(tǒng)仿真驗(yàn)證了本文控制器的可靠性。

圖5 改進(jìn)后滾轉(zhuǎn)通道PID參數(shù)趨勢(shì)Fig.5 PID parameter trend of roll channel after improvement

從圖5可以看出滾轉(zhuǎn)通道PID參數(shù)Kp在第12次迭代后收斂，而Ki和Kd在第2次迭代后就已經(jīng)收斂；從圖7可以看出高度通道PID參數(shù)Kp和Kd在第20次迭代后收斂，而Ki在第4次迭代后就已經(jīng)收斂，由此可以看出參數(shù)的調(diào)節(jié)時(shí)間大大縮短。

通過分析圖6、圖7和表4的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，本文算法下四旋翼無人機(jī)飛行高度波動(dòng)和超調(diào)明顯小于PSO算法，且調(diào)節(jié)時(shí)間更短，能夠快速升至指定高度，具有良好的性能。

表4 飛行高度通道性能指標(biāo)對(duì)比Table 4 Performance comparison of flight altitude channel

圖6 四旋翼飛行高度性能對(duì)比Fig.6 Performance comparison of quad-rotor flight height

圖7 改進(jìn)后飛行高度通道PID參數(shù)趨勢(shì)Fig.7 PID parameters trend of flight altitude channel

5 結(jié)論

針對(duì)四旋翼PID參數(shù)整定問題，本文在原有PSO算法基礎(chǔ)上提出了結(jié)合Logistic混沌序列、自適應(yīng)動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重的PSO算法。對(duì)四旋翼飛行器的飛行高度和飛行姿態(tài)進(jìn)行控制，仿真得到的數(shù)據(jù)表明，本文算法在穩(wěn)定性、最終解的質(zhì)量和收斂速度等方面均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法。