基于逆系統(tǒng)的光電平臺(tái)非線性解耦控制

于 洋，張紅剛，高軍科，左守印

(1.光電控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471000；2.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司洛陽(yáng)電光設(shè)備研究所，河南 洛陽(yáng) 471000)

0 引言

光電穩(wěn)定平臺(tái)一般由光電載荷、陀螺儀和執(zhí)行機(jī)構(gòu)等組成，廣泛應(yīng)用于各種軍事和民用領(lǐng)域[1]。其基本功能有目標(biāo)搜索與識(shí)別、目標(biāo)捕獲與跟蹤、目標(biāo)測(cè)量等[2]，評(píng)價(jià)光電穩(wěn)定平臺(tái)性能優(yōu)劣的主要依據(jù)就是平臺(tái)視軸的穩(wěn)定精度和跟蹤精度[3]。光電穩(wěn)定平臺(tái)在機(jī)載環(huán)境應(yīng)用時(shí)，由于飛機(jī)在飛行過(guò)程中存在振動(dòng)、氣動(dòng)力等外部干擾使飛機(jī)出現(xiàn)抖動(dòng)，光電穩(wěn)定平臺(tái)的作用就是隔離這些干擾[4]。光電穩(wěn)定平臺(tái)一般是兩軸結(jié)構(gòu)，兩軸平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型是耦合且非線性的，此外，平臺(tái)加工精度和裝配誤差等因素通常會(huì)加劇耦合和非線性特性，影響了平臺(tái)視軸精度的提升，所以,實(shí)現(xiàn)光電穩(wěn)定平臺(tái)的解耦技術(shù)對(duì)于提高平臺(tái)視軸的穩(wěn)定和跟蹤精度至關(guān)重要[5]。

光電穩(wěn)定平臺(tái)常采用兩軸兩框架形式，這種平臺(tái)結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，體積較小，但是軸系之間的耦合比較嚴(yán)重[6]。針對(duì)兩軸兩框架穩(wěn)定平臺(tái)的耦合特性，已有學(xué)者研究了多種解耦控制方法。文獻(xiàn)[7]采用速度內(nèi)環(huán)的前饋補(bǔ)償方法進(jìn)行解耦；文獻(xiàn)[8]采用基于圖像的反饋控制思想，即通過(guò)測(cè)量相機(jī)繞光軸的慣性角速度來(lái)設(shè)計(jì)解耦控制器；文獻(xiàn)[9]分析了三軸擺動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)的非線性耦合干擾，基于自適應(yīng)魯棒控制實(shí)現(xiàn)抗干擾補(bǔ)償。綜合來(lái)看，多數(shù)研究者將耦合作為擾動(dòng)統(tǒng)一處理，使分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)化。但在設(shè)計(jì)過(guò)程中，需要使用許多參數(shù)，調(diào)整過(guò)程復(fù)雜，不適合工程應(yīng)用，因此提出一種基于逆系統(tǒng)方法的解耦方法。該方法不依賴于對(duì)非線性系統(tǒng)本身的求解和穩(wěn)定性分析，是一種能夠直接反饋線性化的控制方法，物理概念直觀清晰，易于工程實(shí)現(xiàn)。

本文針對(duì)兩軸兩框架光電穩(wěn)定平臺(tái)的耦合特性，通過(guò)分析，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程。然后設(shè)計(jì)逆系統(tǒng)，使原來(lái)帶有耦合非線性特性的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為兩個(gè)線性解耦子系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)光電穩(wěn)定平臺(tái)的非線性解耦控制，消除系統(tǒng)解耦控制中的非線性耦合因素，可以有效解決耦合對(duì)系統(tǒng)造成的影響，提高系統(tǒng)性能。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

1.1 建立系統(tǒng)坐標(biāo)系

本文針對(duì)兩軸兩框架平臺(tái)系統(tǒng)進(jìn)行建模，慣性空間坐標(biāo)系按照地心坐標(biāo)系，用I表示。兩軸兩框架平臺(tái)由內(nèi)外兩個(gè)框架組成，其中，外框架是方位框架，其通過(guò)基座與載機(jī)相連，內(nèi)框架是俯仰框架，兩個(gè)框架由兩個(gè)獨(dú)立電機(jī)驅(qū)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)兩自由度的隨動(dòng)[10]。當(dāng)只有方位框或俯仰框轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，理論上不會(huì)產(chǎn)生相互干擾，但因?yàn)榭蚣苤g有機(jī)械連接，使得兩個(gè)框架之間存在耦合，導(dǎo)致平臺(tái)精度下降。

建立載體基座坐標(biāo)系OXBYBZB，用B表示，方位坐標(biāo)系OXAYAZA，用A表示，俯仰坐標(biāo)系OXEYEZE，用E表示，3個(gè)坐標(biāo)系共享1個(gè)原點(diǎn)，其中，方位坐標(biāo)系是由載體坐標(biāo)系繞OZB旋轉(zhuǎn)θa后得到的，俯仰坐標(biāo)系是由方位坐標(biāo)系繞OXA旋轉(zhuǎn)θe后得到的[11]。坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系如圖1所示。

圖1 穩(wěn)定平臺(tái)各坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.1 Rotation relationship between each coordinate system of the stable platform

所以基座與方位框架、方位框架與俯仰框架的旋轉(zhuǎn)關(guān)系矩陣如下

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

在平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)，平臺(tái)基座通過(guò)物理接觸將干擾耦合到方位框架，而方位框架通過(guò)平臺(tái)軸系之間的幾何約束與摩擦約束耦合到俯仰框架[12]。兩個(gè)框架擁有獨(dú)立的電機(jī)，框架通過(guò)電機(jī)來(lái)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)，而電機(jī)依靠輸入控制信號(hào)來(lái)控制輸出角度，兩軸兩框架的動(dòng)力學(xué)模型為

(7)

(8)

其中：J是框架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;N是電機(jī)與框架的傳動(dòng)比;Mm是電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩;Md是施加在萬(wàn)向節(jié)上的不確定擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩;Kt是電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù);Ke是反電動(dòng)勢(shì)常數(shù);R是電機(jī)電阻;u是電機(jī)的輸入控制電壓。

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)方程為

(9)

對(duì)于俯仰框架：設(shè)作用在俯仰框架的合力矩為∑ME，則俯仰框架的動(dòng)力學(xué)模型為

(10)

因?yàn)楦┭隹蚣苤荒芾@XA(XE)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以俯仰框架繞XA(XE)方向的動(dòng)力學(xué)模型是

(11)

對(duì)于方位框架：設(shè)作用在方位框架的合力矩為∑MA，則方位框架的動(dòng)力學(xué)模型為

(12)

方位框架只能繞ZB(ZA)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以方位框架繞ZB(ZA)方向的動(dòng)力學(xué)模型為

(13)

式中:ME/Az指ZA方向俯仰框與方位框之間的力矩，其算式為

(14)

(15)

(16)

其中：MdEx，MdAz分別代表平臺(tái)控制系統(tǒng)中兩個(gè)主要的不可測(cè)量干擾，是萬(wàn)向節(jié)與其旋轉(zhuǎn)軸之間產(chǎn)生的摩擦以及風(fēng)阻，分別作用于俯仰框架和方位框架；另外，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量JEx，JEy，JEz和JAx，JAy，JAz不能精確測(cè)量，機(jī)械結(jié)構(gòu)中存在不平衡力矩，會(huì)引入模型不確定性。

2 基于逆系統(tǒng)的解耦控制

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

針對(duì)兩軸平臺(tái)中存在的非線性和耦合問(wèn)題，提出基于逆系統(tǒng)控制的兩自由度解耦控制方法。圖2是兩軸平臺(tái)耦合情況。

圖2 兩軸平臺(tái)耦合情況示意圖Fig.2 Coupling diagram of the dual-axis platform

根據(jù)逆系統(tǒng)理論，需要先將兩軸光電平臺(tái)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型用狀態(tài)空間方程表示為

(17)

式中：x是狀態(tài)空間向量;u是輸入;y是輸出。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(18)

式中

(19)

(20)

(21)

2.2 系統(tǒng)線性化設(shè)計(jì)

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，兩軸平臺(tái)是一個(gè)具有兩個(gè)輸入和兩個(gè)輸出的四階非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)逆系統(tǒng)需要首先判斷原系統(tǒng)的可逆性。原系統(tǒng)的可逆性需要依據(jù)系統(tǒng)的相對(duì)程度α判斷[13]。首先要將輸出y對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),即

(22)

(23)

(24)

則相對(duì)程度α=(αEαA)=(22)，所以αE+αA=4≤n，n是原系統(tǒng)狀態(tài)變量的維數(shù)，由逆系統(tǒng)相關(guān)理論，原系統(tǒng)是可逆的，可以進(jìn)行逆系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

(25)

(26)

其中,

(27)

(28)

圖3 兩軸平臺(tái)逆系統(tǒng)原理圖Fig.3 Schematic diagram of inverse system of the dual-axis platform

2.3 逆系統(tǒng)建模

由2.1節(jié)與2.2節(jié)計(jì)算得到的原系統(tǒng)狀態(tài)空間方程與逆系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，編寫Matlab函數(shù)，根據(jù)圖4所示的系統(tǒng)原理框圖進(jìn)行系統(tǒng)建模處理。從原理框圖可以看出，將逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)在整個(gè)系統(tǒng)框圖中實(shí)現(xiàn)串聯(lián)，由2.2節(jié)提出的逆系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理進(jìn)行解耦操作，將系統(tǒng)中原本對(duì)方位俯仰電機(jī)的輸入電壓與基座角速度以及方位俯仰輸出的角度與角速度當(dāng)作逆系統(tǒng)的輸入，經(jīng)函數(shù)運(yùn)算輸出電壓值，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦。

圖4 兩軸平臺(tái)逆系統(tǒng)解耦控制原理圖Fig.4 Decoupling control of inverse system for the dual-axis platform

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)在兩軸兩框架穩(wěn)定平臺(tái)上進(jìn)行，平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 平臺(tái)方位俯仰框架參數(shù)取值Table 1 Parameters of azimuth and pitch frames of the platform

本文針對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)存在的耦合進(jìn)行處理，為了觀測(cè)逆系統(tǒng)方法對(duì)系統(tǒng)解耦的影響，只給方位框架施加輸入指令電壓，讓其勻速旋轉(zhuǎn)，然后看俯仰框架的轉(zhuǎn)動(dòng)情況。

對(duì)方位電機(jī)施加10 V電壓，對(duì)俯仰框架不施加電壓，原系統(tǒng)的俯仰框架轉(zhuǎn)動(dòng)情況如圖5中紅線所示，再使用逆系統(tǒng)方法對(duì)方位與俯仰框架進(jìn)行解耦處理之后，俯仰框架的轉(zhuǎn)動(dòng)情況如圖5中藍(lán)線所示。

圖5 逆系統(tǒng)解耦前后方位框?qū)Ω┭隹虻鸟詈戏抡鎴DFig.5 Coupling of azimuth frame to pitch frame before and after inverse system decoupling

根據(jù)圖5可以看出，當(dāng)只對(duì)方位框架施加輸入電壓時(shí)，隨著方位框架勻速旋轉(zhuǎn)，俯仰框架會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)大約0.1 rad的峰值角度，之后隨著時(shí)間推移，轉(zhuǎn)動(dòng)角穩(wěn)定在0.05 rad，耦合情況極為明顯，急需解耦處理，而在對(duì)系統(tǒng)采用逆系統(tǒng)解耦方法進(jìn)行處理之后，俯仰框架總共轉(zhuǎn)動(dòng)0.04 rad的峰值角度，且俯仰框架趨于穩(wěn)定的調(diào)節(jié)時(shí)間大大縮短，由20 s縮短到2 s，穩(wěn)定時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的1/10。由此可見(jiàn)，采用逆系統(tǒng)方法對(duì)方位框架與俯仰框架之間的耦合情況進(jìn)行處理時(shí)效果非常明顯。

下面對(duì)俯仰框架施加10 V電壓，對(duì)方位框架不施加電壓，原系統(tǒng)的方位框架轉(zhuǎn)動(dòng)情況如圖6中紅線所示，再采用逆系統(tǒng)方法對(duì)俯仰與方位框架進(jìn)行解耦處理之后，方位框架的轉(zhuǎn)動(dòng)情況如圖6中藍(lán)線所示。

圖6 逆系統(tǒng)解耦前后俯仰框?qū)Ψ轿豢虻鸟詈戏抡鎴DFig.6 Coupling of pitch frame to azimuth frame before and after inverse system decoupling

根據(jù)圖6可以看出，當(dāng)只對(duì)俯仰框架施加電壓時(shí)，隨著俯仰框架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，方位框架會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)大約3×10-3rad的峰值角度，當(dāng)俯仰框架在180°范圍內(nèi)單向旋轉(zhuǎn)時(shí)，方位框架的轉(zhuǎn)動(dòng)角會(huì)維持在2.7×10-3rad，在進(jìn)行逆系統(tǒng)非線性解耦處理之后，伴隨著俯仰框架的轉(zhuǎn)動(dòng)，方位框架總共僅僅轉(zhuǎn)動(dòng)大約1×10-3rad，并且經(jīng)過(guò)逆系統(tǒng)非線性解耦處理之后，方位框架趨于穩(wěn)定的調(diào)節(jié)時(shí)間由16 s縮短到2 s，調(diào)節(jié)時(shí)間減小到原來(lái)的1/8。采用逆系統(tǒng)方法之后，俯仰框架與方位框架之間的耦合情況進(jìn)一步改善。

為進(jìn)一步驗(yàn)證逆系統(tǒng)非線性解耦方法對(duì)平臺(tái)系統(tǒng)穩(wěn)定精度的提升，對(duì)方位框和俯仰框均輸入頻率為10 Hz正弦擾動(dòng)信號(hào)，圖7為使用逆系統(tǒng)的非線性解耦方法前后俯仰框的穩(wěn)態(tài)誤差曲線圖，其中，紅線是基于逆系統(tǒng)解耦前俯仰框架的穩(wěn)態(tài)誤差曲線，藍(lán)線是對(duì)平臺(tái)系統(tǒng)使用逆系統(tǒng)解耦之后的俯仰框架的穩(wěn)態(tài)誤差曲線。

圖7 逆系統(tǒng)解耦前后穩(wěn)態(tài)誤差曲線Fig.7 Steady state error before and after decoupling of inverse system

由圖6可知，方位與俯仰框架之間的耦合關(guān)系類似于單向耦合，方位框架對(duì)俯仰框架的耦合較為嚴(yán)重，而俯仰框架對(duì)方位框架的耦合幾乎可以忽略，當(dāng)使用基于逆系統(tǒng)的非線性解耦后，系統(tǒng)的耦合情況得到了極大改善。又由圖7解耦前后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)比圖可以看出，在解耦之前，對(duì)平臺(tái)系統(tǒng)輸入10 Hz正弦擾動(dòng)信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差幅值在6×10-4rad，經(jīng)逆系統(tǒng)解耦后，穩(wěn)態(tài)誤差可以穩(wěn)定在1.2×10-4rad內(nèi)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性能隨著耦合和非線性的減小得到極大提升，比解耦前提升了5倍左右。

4 結(jié)語(yǔ)

本文將兩軸兩框架的光電平臺(tái)作為研究對(duì)象，由于兩軸光電平臺(tái)具有高度非線性、多變量、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，提出了一種基于逆系統(tǒng)的光電平臺(tái)非線性解耦方法。以此根據(jù)原系統(tǒng)和逆系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程設(shè)計(jì)函數(shù)，建立Matlab仿真模型，仿真結(jié)果表明，采用逆系統(tǒng)方法對(duì)方位、俯仰框架進(jìn)行解耦非常有效，成功實(shí)現(xiàn)兩軸光電平臺(tái)的線性化，可以明顯減小方位、俯仰之間存在的耦合影響，并提升系統(tǒng)穩(wěn)定性能。