“多題一解”思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院（723001） 嚴(yán)貴玲

一、初中數(shù)學(xué)“多題一解”的必要性

“多題一解”是指用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問題，這就要求學(xué)生在分析題目時(shí)能夠由表及里，抓住問題的本質(zhì)，找出知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生掌握“多題一解”，能將大量的數(shù)學(xué)題目化歸為一個(gè)模塊、一個(gè)專題，實(shí)現(xiàn)做少量的題也能靈活地解決各類難題。

初中階段正是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵期。隨著知識(shí)點(diǎn)的增多和學(xué)習(xí)難度的提高，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)水平開始出現(xiàn)明顯差異。學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)在于能解題、會(huì)解題。但是，很多學(xué)生都是提筆就寫、遇題就做，缺乏對(duì)不同題型求解方法的思考和總結(jié)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不盡如人意。若能將“多題一解”思想運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生在不同問題情境下對(duì)問題進(jìn)行剖析，并通過對(duì)比歸納，形成自己的解題體系，學(xué)生就會(huì)在面對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)題時(shí)，能快速反應(yīng)，選擇出合適的解題方法。這樣，既能提高學(xué)生的解題效率，又能讓學(xué)生在解題過程中加深對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的理解，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

二、“多題一解”思想在特殊三角形存在性問題中的應(yīng)用

等腰三角形和直角三角形的存在性問題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)問題。解決這兩類問題的主要方法是構(gòu)造“兩圓一線”和“兩線一圓”模型，在理解題意的基礎(chǔ)上，通過繪圖輔助，分類討論出每一種情況的結(jié)果。但此類問題的難點(diǎn)在于滿足題意的結(jié)果不止一種，學(xué)生受到定式思維的影響容易遺漏其他的結(jié)果。而且計(jì)算過程較為復(fù)雜，總體來說難度系數(shù)偏高。在教學(xué)時(shí)可將這兩大類問題歸為兩個(gè)專題，讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使他們?cè)诮忸}過程中通過類比、遷移、歸納，感悟并掌握“多題一解”思想。

（一）構(gòu)造“兩圓一線”求解等腰三角形存在性問題

［例1］如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，連接OA，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△AOP是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

圖1

分析：若使△AOP是等腰三角形，那么必有OA=OP或OA=AP或OP=AP。

解：如圖2，①當(dāng)OA=OP時(shí)，以 點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑構(gòu)造⊙O，此時(shí)⊙O與x軸 交 于P1、P2兩點(diǎn)，即。

圖2

②當(dāng)OA=AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以O(shè)A為半徑構(gòu)造⊙A，此時(shí)⊙A與x軸交于點(diǎn)O（點(diǎn)O不能構(gòu)成等腰三角形，暫不討論）和點(diǎn)P3，即P3（4,0）。

③當(dāng)OP=AP時(shí)，作OA的垂直平分線，該直線與x軸交于點(diǎn)P4。此時(shí)，設(shè)點(diǎn)P4坐標(biāo)為（x,0），利用勾股定理，可列方程x2=12+(2-x)2，得到

因此，此題共有4 個(gè)點(diǎn)能使得△AOP是等腰三角形。

對(duì)于這一類題目，通常還會(huì)有其他的問法。例如，在同樣的條件下，y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形？或者在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形？經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)解題思路和計(jì)算過程都可以類比例1。此時(shí)y軸上也有4 個(gè)點(diǎn)符合題意。同樣，當(dāng)問題是在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)P時(shí)，就要綜合點(diǎn)P在x軸和y軸上的兩種情況，共可求得8個(gè)點(diǎn)。

［例2］如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是長(zhǎng)方形，已知A（6,0），C（0,2），M是OA的中點(diǎn)，P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OMP是腰長(zhǎng)為3 的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

圖3

分析：若使△OPM為等腰三角形，可討論P(yáng)M=OM、OP=OM和OP=PM這三種情況。

解：如圖4所示，

圖4

①當(dāng)PM=OM=3 時(shí)，此 時(shí) 以 點(diǎn)M為圓心，以O(shè)M為半徑構(gòu)造⊙M，其交CB于點(diǎn)P1，P2。分 別 構(gòu) 造相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理列出方程，即可求得坐標(biāo)為

②當(dāng)OP=OM=3時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)M為半徑構(gòu)造⊙O，其與CB交于點(diǎn)P3，利用勾股定理列出方程，可得

③當(dāng)OP=PM=3時(shí)，作OM的垂直平分線，由圖可知，此時(shí)△OPM是等邊三角形，點(diǎn)P在兩圓的交點(diǎn)處，不在CB上，不符合題意，故舍去。

綜上所述，共有3個(gè)點(diǎn)成立。

［例3］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,1），B（0,1），C（-4,-3），D（6,-3），將各點(diǎn)依次連接構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD后，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。

分析：將各點(diǎn)連接之后，這是一個(gè)等腰梯形（如圖5），要使得△APB、△BPC、△CPD、△APD這4個(gè)三角形都是等腰三角形的點(diǎn)P并不好求。但是仔細(xì)分析后可以發(fā)現(xiàn)本題的突破點(diǎn)：（1）“△APB、△CPD是等腰三角形”是這4 個(gè)等腰三角形成立的先決條件。由于該四邊形是等腰梯形，AB和CD有著特殊的位置關(guān)系，當(dāng)△APB和△CPD是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P必然在AB、CD的垂直平分線上，即點(diǎn)P在直線x=1 上。（2）該四邊形是等腰梯形，則有BC=AD，考慮△BPC和△APD都是等腰三角形的條件時(shí)，只考慮點(diǎn)P使△BPC是等腰三角形即可。綜上兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，我們可以建立“兩圓一線”模型來解決這個(gè)問題。

圖5

解：對(duì)于CB=CP、BC=BP、BP=CP三種情況時(shí)，分別構(gòu)造⊙C、⊙B、BC的垂直平分線（如圖6），設(shè)點(diǎn)P（1,y）。

圖6

綜上所述，有5個(gè)點(diǎn)符合要求。

求解這一類等腰三角形的存在性問題，只要對(duì)問題進(jìn)行層層分析，將關(guān)鍵點(diǎn)分析到位，就能知道它們屬于同一類題，解題方法都是類似的。先根據(jù)題意分情況討論，再構(gòu)造“兩圓一線”模型，最后利用勾股定理和兩點(diǎn)間距離公式求解點(diǎn)P。只要熟練掌握這一類解題技巧，那么這類問題也就迎刃而解了。

（二）構(gòu)造“兩線一圓”求解直角三角形存在性問題

［例4］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,1)，B(5,3)，在x軸上找一點(diǎn)P使得△ABP是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：本題中三角形的目標(biāo)形狀是直角三角形，那么必有∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三種情況。

解：如 圖7（“兩 線 一圓”模型）所示，AB=，設(shè)P(x,0)。

圖7

①當(dāng)∠A=90°時(shí)，過點(diǎn)A作AB的垂線交x軸于點(diǎn)P，利用勾股定理AB2+AP2=BP2，列方程為20+(x-1)2+1=( 5-x)2+9，即得。

②當(dāng)∠B=90°時(shí)，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)有AB2+BP2=AP2，列方程為20+(x-5)2+9=(x-1)2+1，即得

③當(dāng)∠P=90°時(shí)，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，此時(shí)AB作為斜邊，同樣利用勾股定理BP2+AP2=AB2，列方程為(x-5)2+9+(x-1)2+1=20，即得P3(2,0),P4(4,0)。綜上所述，共有4個(gè)點(diǎn)符合要求。

［例5］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(1,4)，A(3,0)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)。若使得△PAM是直角三角形，那么有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn)P？求出該點(diǎn)坐標(biāo)。

解：如圖8（“兩線一圓”模型）所示，AM=，設(shè)P(0,y)。

圖8

綜上所述，共有4個(gè)點(diǎn)滿足題意。

［例6］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-2,2)，B（3,2），P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，若△ABP是直角三角形。問：滿足條件的點(diǎn)共有幾個(gè)？

分析：本題增加了點(diǎn)P的位置范圍，即在坐標(biāo)軸上。但是方法不變，我們依然可借助“兩線一圓”來解決這個(gè)問題。本題只用求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，不要求坐標(biāo)，降低了解題難度。

解：如圖9 所示，構(gòu)造“兩線一圓”模型。

圖9

①當(dāng)∠A=90°時(shí)，過點(diǎn)A作AB的垂線與x軸交于點(diǎn)P1；

②當(dāng)∠B=90°時(shí)，過點(diǎn)B作AB的垂線與x軸交于點(diǎn)P2；

③當(dāng)∠P=90°時(shí)，以AB為直徑構(gòu)造圓，其與x軸分別交于點(diǎn)P3，P4，與y軸分別交于點(diǎn)P5，P6。

綜上所述，共存在6 個(gè)點(diǎn)使得△ABP是直角三角形。

求解直角三角形的存在性問題，學(xué)生需要把握題目的本質(zhì)，精準(zhǔn)分析題目。先考慮到有三種直角的情況，再構(gòu)造“兩線一圓”模型，利用勾股定理列出方程即可。只要做到這一步，學(xué)生就能通過做一題會(huì)一類。通過日常的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，學(xué)生求解直角三角形存在性問題的能力就會(huì)明顯取得進(jìn)步。

解題能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一大組成部分。數(shù)學(xué)題目種類多、范圍廣，知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系緊密。如果學(xué)生缺乏“多題一解”思想，很容易被困在題海中，找不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法，喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本文以解決特殊三角形的存在性問題為例，將不同內(nèi)容的練習(xí)題編織在一起，進(jìn)行層層分析后，采用同一類方法求解，充分體現(xiàn)了“多題一解”的重要思想。在日常教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的“多題一解”思想，有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟悉程度，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握和運(yùn)用，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的，形成解題技巧，提升學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，“多題一解”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有顯著作用，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。