運用參數(shù)方程求雙曲線弦長

陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院（723001） 郝秋梅

參數(shù)方程是以參變量來表示曲線上點的運動軌跡的坐標(biāo)方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式。雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，與向量、解析幾何、直線方程等知識聯(lián)系緊密。在教學(xué)中，教師基本上只講解用公式|AB|=求解弦長，其他方法一概略過。在考試中，一旦雙曲線方程或弦所在直線方程復(fù)雜、不易化簡時，采用傳統(tǒng)解法（聯(lián)立雙曲線方程與弦所在直線方程，再利用韋達定理和兩點間距離公式）求解，會使計算難度增加，求解過程煩瑣，學(xué)生往往會因為計算量過大而半途而廢或出錯。為了解決此類問題，本文引進參數(shù)方程求解雙曲線的弦長。雖然定理證明過程比較復(fù)雜，但結(jié)論比傳統(tǒng)解法更加簡潔，同時也體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題方法的多樣性。

一、性質(zhì)推導(dǎo)

性質(zhì)1直線l：y=kx+m過雙曲線（φ為參數(shù)）的焦點F2(c,0)與雙曲線交于A，B兩點，則l被雙曲線截得的弦長。（如圖1）

證明：當(dāng)k≠0時，設(shè)A(asecφ1,btanφ1)，B(asecφ2，btanφ2)。

圖3

證明：當(dāng)m≠c時，設(shè)A(asecφ,btanφ)，B(asecφ，-btanφ)。

因為直線l與x軸交于C點，所以C(m,0)。

二、應(yīng)用提升

則由性質(zhì)1得

評注：本題是求解雙曲線的焦點弦問題，已知a,b和直線的傾斜角，求弦長|AB|。若采用傳統(tǒng)解法（聯(lián)立雙曲線方程與直線方程，再結(jié)合韋達定理求解）會導(dǎo)致計算量過大，給解決問題增加難度，但運用性質(zhì)1 求解則會降低難度，大大簡化計算過程。

［例2］已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1,F2，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點A、B間的距離為。則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ____________ 。

評注：本題求的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，實際上就是求出a,b的值，利用離心率、弦長公式以及c2-a2=b2得到有關(guān)a,b的方程組，從而解出a和b。弦長公式是解決本題的關(guān)鍵，若學(xué)生不能熟練運用弦長公式，則會加大解題難度、增加計算量。

評注：本題已知雙曲線的參數(shù)方程和弦長求直線的斜率k，值得注意的是直線l恒過點(0,1)，它是雙曲線虛軸上的一個頂點，這說明直線的斜率一定存在。運用性質(zhì)2 可求得直線l的斜率k。這樣不但能簡化計算過程，而且能提高學(xué)生的解題速度與準(zhǔn)確率，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

由于雙曲線具有3 種不同形式的參數(shù)方程，所以它的弦長公式的表達形式也各不相同。本文僅介紹了其中一種類型的雙曲線弦長公式及應(yīng)用，該弦長公式可起到化繁為簡的作用，對于提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力有一定的幫助。其中性質(zhì)1 是雙曲線的焦點弦公式（無論直線與雙曲線的哪一支相交，都可用該公式求解），它的優(yōu)點是計算量小，a,b,k及弦長d可知三求一。性質(zhì)2 適用于解決不經(jīng)過焦點的一般類弦長問題，應(yīng)用比較靈活和廣泛。性質(zhì)3 適用于直線斜率不存在時求弦長的問題，它形式簡單、容易記憶。

以上3 條性質(zhì)都有它的使用條件，在解題的過程中我們要具體問題具體分析，根據(jù)題目已知條件選擇對應(yīng)的弦長公式和解題方法，這樣既能讓學(xué)生提高解題效率，又能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運算能力。