利用方向自適應(yīng)投影統(tǒng)一運(yùn)營(yíng)鐵路坐標(biāo)系

龐遠(yuǎn)超

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司， 成都 610031)

TB 10601-2009《高速鐵路工程測(cè)量規(guī)范》中明確要求控制網(wǎng)設(shè)計(jì)時(shí)邊長(zhǎng)投影變形值不大于10 mm/km[1]，為滿足此規(guī)定，國(guó)內(nèi)各鐵路設(shè)計(jì)院通常把1條幾百公里的高速鐵路劃分為多個(gè)幾十公里的工程投影獨(dú)立坐標(biāo)系，因此在鐵路設(shè)計(jì)、施工、運(yùn)營(yíng)維護(hù)階段不可避免地需要進(jìn)行頻繁的換帶計(jì)算[2]。鐵路選線設(shè)計(jì)會(huì)在投影帶重疊區(qū)域選擇直線段來進(jìn)行搭接，由于該直線段處于前后兩個(gè)不同的投影帶中，按照不同投影帶線路交點(diǎn)坐標(biāo)等參數(shù)推算會(huì)得到兩條不同的線路設(shè)計(jì)中線，即兩條設(shè)計(jì)中線存在橫向偏差[3-4]。

換帶搭接段橫向偏差如圖1所示，前投影帶依據(jù)交點(diǎn)P1、P2和線路設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算得到P3的實(shí)際位置P′3；后投影帶依據(jù)交點(diǎn)P3、P4和線路設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算得到P2的實(shí)際位置P′2；在軌道精調(diào)[5]時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)線路搭接段上的搭接點(diǎn)(D0)按前后投影帶交點(diǎn)坐標(biāo)和線路設(shè)計(jì)參數(shù)分別計(jì)算得到的位置為D1和D2，若處理不當(dāng)，將降低軌道的平順性，給高速鐵路運(yùn)營(yíng)安全帶來隱患。

圖1 換帶搭接段橫向偏差圖

對(duì)于搭接段橫向偏差的處理及研究，李陽騰龍[6]提出了顧及重疊區(qū)和非重疊區(qū)的高速鐵路分段測(cè)量數(shù)據(jù)平順性連接方法,楊雪峰、劉成龍[7]等研究了不同測(cè)站數(shù)據(jù)之間的搭接精度指標(biāo),他們針對(duì)搭接數(shù)據(jù)的方法處理及精度指標(biāo)提出有效的約束，一定程度上降低了搭接段的橫向偏差，但由于兩個(gè)不同的投影帶坐標(biāo)系，投影變形始終是不一致的，沒有從根本上消除橫向誤差。為徹底消除換帶搭接重疊段橫向偏差、，本文提出將運(yùn)營(yíng)鐵路多個(gè)投影帶坐標(biāo)系統(tǒng)一到1個(gè)坐標(biāo)系的思路[8-9]，1條運(yùn)營(yíng)鐵路只有1個(gè)坐標(biāo)系之后，就不會(huì)存在搭接段，更不會(huì)出現(xiàn)設(shè)計(jì)中線存在橫向偏差的問題，但坐標(biāo)系統(tǒng)一后與傳統(tǒng)高斯分帶投影的線路設(shè)計(jì)參數(shù)存在不一致，是否對(duì)軌道的平順性造成影響，一直沒有深入的探究。本文采用方向自適應(yīng)投影統(tǒng)一運(yùn)營(yíng)鐵路坐標(biāo)系，同時(shí)采用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型將高斯分帶投影下運(yùn)營(yíng)鐵路的平、縱斷面線路參數(shù)轉(zhuǎn)換到方向自適應(yīng)投影坐標(biāo)系，并將坐標(biāo)系統(tǒng)一后的線路中線與高斯分帶投影的線路中線進(jìn)行平順性對(duì)比，進(jìn)一步分析采用方向自適應(yīng)投影后的線路中線為設(shè)計(jì)中線對(duì)軌道精調(diào)造成的影響。

1 求解方向自適應(yīng)投影下的交點(diǎn)坐標(biāo)

方向自適應(yīng)投影的具體過程如下[10]：

(1)通過嚴(yán)密三維平差得到控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)(B,L,H)，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換獲取原坐標(biāo)系橢球下的空間直角坐標(biāo)(X,Y,Z)。

(2)通過旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)軸方向旋轉(zhuǎn)，獲取方向自適應(yīng)橢球下的(X1,Y1,Z1)。

(3)通過大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換獲得方向自適應(yīng)橢球下的大地坐標(biāo)(B1,L1,H1)。

(4)通過投影變形計(jì)算，選擇合適的中央子午線及投影面高程，進(jìn)行方向自適應(yīng)橢球下的工程獨(dú)立坐標(biāo)的高斯投影計(jì)算。具體步驟如圖2所示。

圖2 方向自適應(yīng)投影的主要步驟圖

通過以上步驟將原設(shè)計(jì)(多個(gè)投影帶獨(dú)立坐標(biāo))的線路設(shè)計(jì)交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行方向自適應(yīng)投影變換，獲得新的橢球下的大地坐標(biāo)，最后通過高斯投影，選擇合適的投影面(以下稱“自適應(yīng)投影面”)，獲取新橢球下的工程獨(dú)立坐標(biāo)(以下稱“自適應(yīng)橢球坐標(biāo)系”)。

2 求解方向自適應(yīng)投影面上的平面和縱斷面線路參數(shù)

線路交點(diǎn)坐標(biāo)投影變換后，線路設(shè)計(jì)參數(shù)會(huì)相應(yīng)地變化，需建立嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型來計(jì)算自適應(yīng)投影面上的線路平面和縱斷面參數(shù)[11]。

2.1 自適應(yīng)投影面上的線路平面參數(shù)

自適應(yīng)投影面上的曲線半徑R′和緩和曲線長(zhǎng)l′主要受投影面高程差異的影響。投影面高程差異對(duì)半徑和緩和曲線的改正圖如圖3所示。其關(guān)系可表示為：

圖3 投影面高程差異對(duì)半徑和緩和曲線的改正圖

(1)

式中：S′——自適應(yīng)投影面上的基線長(zhǎng)度；

S0——原分帶投影面上的基線長(zhǎng)度[12]；

R——地球半徑；

H′和H0——自適應(yīng)投影面的大地高和分帶投影面的大地高。

通過式(1)計(jì)算出自適應(yīng)投影面上的曲線半徑R′和緩和曲線長(zhǎng)l′。依據(jù)轉(zhuǎn)換的交點(diǎn)坐標(biāo)及計(jì)算得到的半徑和緩和曲線長(zhǎng)，計(jì)算出自適應(yīng)投影面上的線路平面參數(shù)(包括偏角、曲線長(zhǎng)、切線長(zhǎng)、以及夾直線長(zhǎng)等)，進(jìn)而推算出各交點(diǎn)及對(duì)應(yīng)各個(gè)主點(diǎn)的里程。

2.2 自適應(yīng)投影面上的線路縱斷面參數(shù)

縱斷面線路參數(shù)主要受相鄰變坡點(diǎn)之間的高差和里程影響，相鄰變坡點(diǎn)之間的高差應(yīng)嚴(yán)格加入地球曲率對(duì)高差的改正[13]。原設(shè)計(jì)坡度表中變坡點(diǎn)的里程是分帶投影平面里程(或稱運(yùn)營(yíng)里程DK)，為了能和自適應(yīng)投影面上的平面里程(K)對(duì)應(yīng)，需建立分帶投影面里程轉(zhuǎn)換到自適應(yīng)投影面里程的精確數(shù)學(xué)模型[14]。自適應(yīng)投影面上主點(diǎn)的里程是依據(jù)投影后的曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)推算的，各個(gè)主點(diǎn)的自適應(yīng)投影里程和運(yùn)營(yíng)里程是一一對(duì)應(yīng)的，可采用以下方法計(jì)算變坡點(diǎn)的自適應(yīng)投影里程。

變坡點(diǎn)里程轉(zhuǎn)換如圖4所示，首先根據(jù)變坡點(diǎn)BP的運(yùn)營(yíng)里程判定該變坡點(diǎn)處于ZD1和ZD2之間，并計(jì)算出該變坡點(diǎn)到最近點(diǎn)ZD1的里程差L1。

圖4 變坡點(diǎn)里程轉(zhuǎn)換圖

L1=DKBP-DKZD1

(2)

然后計(jì)算主點(diǎn)間的里程變形比例因子k0。

(3)

接著計(jì)算變坡點(diǎn)在投影面上到最近主點(diǎn)(ZD1)的方向自適應(yīng)投影里程差L1′。

L1′=k0×L1

(4)

最后可得變坡點(diǎn)的投影里程KBP。

KBP=KZD1+L′1

(5)

3 分析方向自適應(yīng)投影下設(shè)計(jì)線路的平順性

依據(jù)文獻(xiàn)[15]可得線路平順性指標(biāo)為：

(6)

式中P、p分別為依據(jù)線路中線點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出投影變換前、后線路中線對(duì)應(yīng)里程的矢高，計(jì)算公式為：

(7)

其中，(x1,y1)、(x3,y3)為弦線起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，(x2,y2)為檢測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)可用參數(shù)方程計(jì)算。為分析線路參數(shù)變化對(duì)線路平順性的影響，設(shè)f=pi-pi+8，用線路參數(shù)方程帶入式(7)并得出f關(guān)于半徑和緩和曲線長(zhǎng)的方程，以圓曲線段30 m弦檢測(cè)方法為例，得到如下方程：

(8)

則：

(9)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，對(duì)半徑R求導(dǎo)，獲得f對(duì)變量R的微分：

(10)

依據(jù)文獻(xiàn)[15]結(jié)論可知，半徑變化1 m對(duì)線路30 m軌向和300 m軌向的影響隨著設(shè)計(jì)半徑的增大，影響越來越小，且都遠(yuǎn)小于相關(guān)規(guī)范對(duì)軌向限差要求。考慮到方向自適應(yīng)投影后的半徑變化遠(yuǎn)小于1 m，可認(rèn)為自適應(yīng)投影面上圓曲線段的半徑變化對(duì)線路平順性無影響。同理可以得出，自適應(yīng)投影面上緩和曲線段半徑和緩和曲線長(zhǎng)變化對(duì)線路平順性的影響遠(yuǎn)小于限差的結(jié)論，由于篇幅所限，在此不做繼續(xù)推導(dǎo)。

4 實(shí)例分析

以國(guó)內(nèi)某運(yùn)營(yíng)鐵路項(xiàng)目線路設(shè)計(jì)參數(shù)為例，該線路由于縱斷面坡度的設(shè)計(jì)要求共分為4個(gè)投影帶，具體坐標(biāo)系信息如表1所示。

表1 國(guó)內(nèi)某運(yùn)營(yíng)鐵路工程高斯獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)表

換帶處搭接段橫向偏差如圖5～圖7所示。依據(jù)文獻(xiàn)[13]中橫向偏差的計(jì)算方法，得到該鐵路3個(gè)不同坐標(biāo)系搭接段約500 m設(shè)計(jì)中線的橫向偏差。

從圖5～圖7可以看出，3個(gè)換帶搭接處線路設(shè)計(jì)中線之間存在橫向偏差范圍，且第三個(gè)搭接段的橫向誤差已經(jīng)達(dá)到了±(6～8)mm。論文采用方向自適應(yīng)投影將4個(gè)投影帶的設(shè)計(jì)參數(shù)轉(zhuǎn)換到新的自適應(yīng)投影面，得到統(tǒng)一坐標(biāo)系后的平面和縱斷面線路參數(shù)，如表2、表3所示。

圖5 第一個(gè)換帶處搭接段橫向偏差圖

圖6 第二個(gè)換帶處搭接段橫向偏差圖

圖7 第三個(gè)換帶處搭接段橫向偏差圖

表2 統(tǒng)一坐標(biāo)系后的平面線路參數(shù)與原始設(shè)計(jì)參數(shù)的較差(部分)表

由表2可知，為保證轉(zhuǎn)換后的線路參數(shù)與原設(shè)計(jì)參數(shù)的一致性，統(tǒng)一坐標(biāo)系后的平面線路參數(shù)與原始設(shè)計(jì)的線路參數(shù)存在較小的較差。

由表3可知，坐標(biāo)系統(tǒng)一后變坡點(diǎn)方向自適應(yīng)投影里程和轉(zhuǎn)換前的連續(xù)里程存在較小的偏差，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)高程計(jì)算出轉(zhuǎn)換后的坡度，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)換后的坡度變化較小(小于1/100萬)，可忽略不計(jì)；根據(jù)文獻(xiàn)[11]軌面里程的定義可知，對(duì)于同一條線路從不同投影面推算的變坡點(diǎn)軌面里程應(yīng)該是相同的，均是線路沿著軌道平面的實(shí)際里程，但從表3可知轉(zhuǎn)換前后變坡點(diǎn)軌面里程會(huì)不同，這恰好說明方向自適應(yīng)投影后的線路與原始設(shè)計(jì)線路并不是完全等價(jià)的，而是存在變形的，需分析轉(zhuǎn)換后的線路在水平面和豎直面上的平順性變化[16]；相鄰變坡點(diǎn)之間的坡度變化可忽略，投影后直線段線路平順性也不會(huì)改變，因此只需分析線路在投影水平面曲線段的平順性變化，采用文獻(xiàn)[10]中利用矢高計(jì)算軌向的方法，根據(jù)線路參數(shù)分別計(jì)算出線路中線點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)線路中線點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出坐標(biāo)系統(tǒng)一前后線路對(duì)應(yīng)里程的矢高P、p，然后依據(jù)式(6)計(jì)算平順性指標(biāo)，依據(jù)前文的公式和計(jì)算結(jié)果認(rèn)為圓曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)變化不會(huì)影響線路的平順性，偏角變化是影響線路平順性的主要因素，如圖8～圖10所示，線路中偏角變化最大的交點(diǎn)(P13)對(duì)應(yīng)曲線段坐標(biāo)系統(tǒng)一前、后線路的10 m、30 m、300 m軌向，具體計(jì)算過程見文獻(xiàn)[11]。

表3 坐標(biāo)系統(tǒng)一前后變坡點(diǎn)里程表

圖8 坐標(biāo)系統(tǒng)一后線路10 m軌向圖

圖9 坐標(biāo)系統(tǒng)一后線路30 m軌向圖

圖10 坐標(biāo)系統(tǒng)一后線路300 m軌向圖

從圖8～圖10中可以看出，坐標(biāo)系統(tǒng)一后線路10 m軌向最大不超過0.2 mm，遠(yuǎn)小于限差2 mm；30 m軌向最大不超過0.3 mm，遠(yuǎn)小于限差2 mm；300 m軌向最大不超過0.4 mm，遠(yuǎn)小于限差10 mm，可見方向自適應(yīng)投影后不會(huì)影響對(duì)應(yīng)曲線段線路的平順性。不同投影帶投影后的線路平順性變化如表4所示，表中給出了平順性變化的最大值和變化較大值(10 m、30 m、300 m軌向分別大于0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm)所占的比例。

由表4可知，該線路各個(gè)投影帶轉(zhuǎn)化后，10 m軌向均不大于0.2 mm且大部分都小于0.1 mm，30 m軌向均不大于0.3 mm且大部分都小于0.2 mm，300 m軌向均不大于0.4 mm且大部分都小于0.3 mm?？梢哉J(rèn)為對(duì)于整條線路采用方向自適應(yīng)投影實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)一的方法是不會(huì)影響線路的平順性的。

表4 線路參數(shù)變化及其對(duì)線路平順性影響表

通過上述實(shí)例的分析和研究可知：由于橢球及投影面不同，坐標(biāo)系統(tǒng)一后的線路參數(shù)與原始設(shè)計(jì)參數(shù)存在較小的較差，造成新的線路與原始設(shè)計(jì)線路存在較小的橫向偏差，但對(duì)軌道平順性造成的影響可忽略不計(jì)。

5 結(jié)論

高斯分帶投影造成相鄰?fù)队皫扑愕木€路搭接段設(shè)計(jì)中線存在橫向偏差，軌道精調(diào)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)不同投影帶坐標(biāo)推算的線路中線不重合，給軌道精調(diào)和運(yùn)營(yíng)維護(hù)技術(shù)水平的提升帶來障礙。本文提出了利用方向自適應(yīng)投影實(shí)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)鐵路坐標(biāo)系統(tǒng)一的方法，并通過工程實(shí)例分析得出以下結(jié)論：

(1)方向自適應(yīng)投影下計(jì)算得到的線路參數(shù)與原始設(shè)計(jì)參數(shù)存在較小的偏差，但不會(huì)對(duì)軌道的平順性造成影響，該方法是有效可行的。

(2)利用方向自適應(yīng)投影統(tǒng)一坐標(biāo)系后線路只有1個(gè)投影帶，不存在換帶搭接段，消除了換帶搭接段線路設(shè)計(jì)中線存在橫向偏差，在進(jìn)行軌道檢測(cè)時(shí)，使用1套設(shè)計(jì)文件就能進(jìn)行整條線路的軌道檢測(cè)，避免在換帶區(qū)域更換設(shè)計(jì)文件，也避免進(jìn)行多次數(shù)據(jù)換帶轉(zhuǎn)換，有效地提高了檢測(cè)效率，具有較高的工程實(shí)用性。

(3)研究成果可為提升運(yùn)營(yíng)鐵路的軌道精調(diào)效率提供借鑒。