彈性振幅放大器對參數(shù)激勵壓電俘能器的影響

秦承武,劉景陽,孫德華,楊 磊,謝 進

(西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院,四川 成都 610031)

0 引言

將環(huán)境中振動能量轉(zhuǎn)換為電能的俘能器研究在近20年中已成為研究熱點[1-3]。壓電式俘能器因具有能量輸出密度大，無須啟動電源及結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點而受到廣泛關(guān)注[4]。

根據(jù)外界激勵方向的不同，可以將壓電式俘能器分為直接激勵與參數(shù)激勵。直接激勵的外激勵方向垂直于壓電梁的梁長方向，而參數(shù)激勵的外激勵方向平行于壓電梁的梁長方向。

在直接激勵方式下，Zamani等[5]提出了帶有彈性振幅放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的二自由度非線性分布參數(shù)模型，結(jié)果表明，通過調(diào)節(jié)放大器和俘能器的質(zhì)量和剛度比可以顯著強化外激勵，在更寬的頻率帶寬下提供更高的輸出；Galbier等[6]將線性彈性振幅放大器引入非線性俘能器中，數(shù)值模擬和實驗結(jié)果均表明，該組合系統(tǒng)在某些輸入頻率下能產(chǎn)生更大的輸出功率，且有更寬的頻率響應(yīng)帶寬。張宇等[7]采用調(diào)和平衡法，獲得了雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器與彈性振幅放大器組合系統(tǒng)的位移、輸出電壓和功率的解析表達式，并討論了擴大能量俘獲頻率范圍和提高能量俘獲效率的機理。

Jia等[8]和Mam等[9]的研究均表明,在外激勵的幅值大于激勵閾值，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振的情況，參數(shù)激勵壓電俘能器的性能優(yōu)于直接激勵壓電俘能器。

為了降低參數(shù)激勵閾值并產(chǎn)生內(nèi)共振，人們采用了多種增加系統(tǒng)自由度的措施。這些措施在某種程度上也起到了振幅放大器的作用。Yang等[10]提出了一種具有低閾值激勵的參數(shù)共振俘能器，通過在系統(tǒng)中引入磁力非線性來降低參數(shù)共振的激勵閾值。研究結(jié)果表明，由于垂直梁的參數(shù)共振結(jié)合了硬化和軟化行為，俘能器表現(xiàn)出平坦且較寬的頻率響應(yīng)帶寬。Jia等[11]在壓電梁底部增加了一個兩端固支的水平梁，當(dāng)水平梁和壓電梁的固有頻率之比為1∶2時，能夠降低激勵閾值并增加俘能器工作帶寬。Xie等[12]提出了一種T型壓電俘能器，當(dāng)外界激勵頻率接近俘能器的第一諧振頻率時將發(fā)生1∶3內(nèi)部共振現(xiàn)象，此時的能量轉(zhuǎn)換效率和頻率響應(yīng)帶寬明顯增加。

本文直接將彈性振幅放大器以質(zhì)量-彈簧-阻尼引入到參數(shù)激勵壓電俘能器中，分析彈性振幅放大器在參數(shù)激勵壓電俘能器中的主要作用，重點研究彈性振幅放大器的剛度系數(shù)選取對參數(shù)激勵壓電俘能器的激勵閾值及工作帶寬的影響，以建立分析彈性振幅放大器各個參數(shù)對俘能器性能影響的方法，為彈性振幅放大器的設(shè)計提供依據(jù)。

1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器結(jié)構(gòu)及動力學(xué)模型建立

1.1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的物理結(jié)構(gòu)

帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的物理結(jié)構(gòu)如圖1所示。壓電梁的梁長方向與振動體的振動方向z(t)一致。壓電梁的上末端裝有質(zhì)量為M2的質(zhì)量塊，梁長為La，厚度為ta，寬度為ba。壓電片貼在梁的下末端，壓電片長度為Lp，寬為bp，厚度為tp。壓電梁的下末端通過質(zhì)量為M1的質(zhì)量塊與彈性振幅放大器連接。

圖1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器結(jié)構(gòu)示意圖

彈性振幅放大器主要參數(shù)有質(zhì)量ms、剛度系數(shù)ks和阻尼比ξ。

設(shè)在外部諧波激勵z(t)的作用下，壓電梁產(chǎn)生的橫向和軸向位移分別為w(x,t)和u(x,t)，彈性振幅放大器的輸出位移為s(t)。

1.2 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器動力學(xué)方程

本文采用擴展哈密頓原理[13]建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，擴展哈密頓原理可表示為

(1)

式中：q為壓電懸臂梁的廣義位移；t為時間；s為彈性振幅放大器的廣義位移；V為系統(tǒng)產(chǎn)生的電壓；L=T-U為拉格朗日函數(shù)，T為系統(tǒng)的總動能，U為系統(tǒng)的總勢能；δW為非保守力所做虛功的變分。

T包括梁、M1、M2及ms的動能，則T為

(2)

式中：ma為壓電梁單位長度的質(zhì)量[14]；IM2為M2的轉(zhuǎn)動慣量；ψ為壓電梁的轉(zhuǎn)角，其轉(zhuǎn)角與梁的橫向位移和軸向位移的關(guān)系為

sinψ=w′

(3)

cosψ=1+u′

(4)

(5)

假設(shè)梁足夠細(xì)長且不可伸展，根據(jù)文獻[15]，其橫向位移和軸向位移的關(guān)系為

(6)

U包括梁的應(yīng)變勢能和重力勢能、質(zhì)量塊的重力勢能、彈性振幅放大器的重力勢能和彈性勢能及壓電片的電勢能，則有：

(7)

式中：EI為梁的抗彎剛度,E為梁的楊氏模量；θe為機電耦合系數(shù)；Cp為壓電電容。其表達式見文獻[16]。

非保守力所做虛功的變分為

(8)

假設(shè)梁在振動過程中一階振型占主導(dǎo)作用，則壓電梁的w(x,t)為

w(x,t)=φ(x)q(t)

(9)

式中：φ(x)為梁的一階振型函數(shù)；q(t)為只與時間相關(guān)的廣義位移函數(shù)。

根據(jù)文獻[12]，φ(x)為

(10)

將式(2)、(7)、(8)代入式(1)可得壓電俘能器的動力學(xué)方程為

(11)

其中：

IM2φ′2(La)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

g1=M1+ms

(19)

g2=ks

(20)

(21)

g4=M1+M2+ms+ma

(22)

g5=(M1+M2+ms+ma)g

(23)

將式(11)無量綱化并轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程的形式，引入無量綱變換，則有：

(24)

(25)

(26)

τ=ω0t

(27)

(28)

(29)

將式(11)改寫成無量綱的動力學(xué)方程：

(30)

式中：r1，r2分別為梁和彈性振幅放大器的無量綱位移；β1，β2分別為無量綱的機電耦合系數(shù)；υ為無量綱電壓；ω=ωe/ω0為無量綱頻率；其余參數(shù)a，b，c，d，e，f，h，j，c1，λ，ε分別對應(yīng)無量綱化后的參數(shù)k3，k4，k5，k6，g2，g3，g4，g5，C1，Cp，α2。

(31)

式中：x1，x2分別為梁的無量綱位移和速度；x3，x4分別為彈性振幅放大器的無量綱位移和速度；x5為無量綱輸出電壓。

2 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的特性分析

2.1 壓電俘能器系統(tǒng)參數(shù)及動力學(xué)性能

本文選取的壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及幾何尺寸如表1所示。表中，Ep為壓電片的楊氏模量，ρa為梁的密度，ρp為壓電片密度，d31為壓電常數(shù)，ε33為介電常數(shù)。

表1 壓電俘能器系統(tǒng)參數(shù)及幾何尺寸

在本文提出的俘能器結(jié)構(gòu)中，M2的大小會影響壓電梁的固有頻率和系統(tǒng)的平衡點qe。

(32)

當(dāng)k2>0時，式(32)只有1個解(0,0)，即系統(tǒng)只有1個穩(wěn)定的平衡點(0,0)，壓電梁未發(fā)生屈曲，其固有頻率為

(33)

(34)

k2=0是壓電梁是否發(fā)生屈曲現(xiàn)象的分界點，稱此時的末端質(zhì)量為臨界質(zhì)量(M2c)。由式(13)中k2可得：

(35)

將表1中的參數(shù)代入式(35)可以得到M2c=0.062 56 kg。若以M2為變量，則f1及系統(tǒng)平衡點隨M2的變化曲線如圖2所示。

圖2 壓電梁的固有頻率和平衡點

由圖2(a)可知，當(dāng)M2M2c時，f1隨著M2的增加而增大。從圖2(b)中可看出，當(dāng)M2M2c時，系統(tǒng)有3個平衡點。

本文主要研究壓電梁在未發(fā)生屈曲時的動態(tài)響應(yīng)，故在后續(xù)的分析中取M2=0.005 kg

2.2 無彈性振幅放大器參數(shù)共振時俘能器運動及俘能特性

為了對比分析彈性振幅放大器在參數(shù)激勵俘能器中的作用，本節(jié)研究無彈性振幅放大器參數(shù)共振時俘能器的運動及俘能特性。

將式(11)中涉及到的彈性振幅放大器廣義位移s的耦合項舍去，則可以得到無彈性振幅放大器參數(shù)激勵壓電俘能器的動力學(xué)方程：

(36)

式中qt,Vt分別為未附加彈性振幅放大器時梁的位移響應(yīng)和輸出電壓。

本文采用數(shù)值仿真法進行分析，為使系統(tǒng)具有一定的初始形變能，取無量綱初始位移值為0.01，其余仿真初始值均取0，R=0.1 MΩ。為使系統(tǒng)產(chǎn)生共振，取Ω為壓電梁固有頻率的2倍，即Ω=7.64 Hz。在后續(xù)的分析中，若未加特別說明，仿真時均取相同的初始值和參數(shù)。

圖3為無彈性振幅放大器在不同外界激勵幅值下的運動特性。由圖3(a)可知，當(dāng)A=7 m·s-2時，壓電梁的位移響應(yīng)最終趨于0，穩(wěn)定的動態(tài)響應(yīng)輸出；由圖3(b)可知，當(dāng)A=11 m·s-2時，壓電梁最終具有穩(wěn)定的動態(tài)響應(yīng)輸出。由此可看出，只有當(dāng)A大于某一特定值時，參數(shù)激勵俘能器才能有穩(wěn)定的動態(tài)響應(yīng)輸出，將此特定值稱為激勵閾值。

圖3 參數(shù)激勵無彈性振幅放大器動態(tài)響應(yīng)特性

圖4為無彈性振幅放大器參數(shù)共振時俘能器俘能特性。

圖4 參數(shù)激勵無彈性振幅放大器的俘能特性

圖4(a)是P隨著A的變化曲線。由圖4(a)可知，當(dāng)A>9.3 m·s-2時,P從0突然增大，有明顯的功率輸出，即系統(tǒng)的激勵閾值為9.3 m·s-2;隨著A繼續(xù)增大，P與A表現(xiàn)為近似的線性關(guān)系。

圖4(b)是A=11 m·s-2時，Vrms隨Ω的變化曲線。由圖4(b)可知，頻率響應(yīng)曲線的左側(cè)出現(xiàn)了明顯的突變，表現(xiàn)出軟彈簧特性，且壓電梁在其固有頻率的2倍處，即Ω=7.64 Hz時，發(fā)生主參數(shù)共振，反向掃頻帶寬略寬于正向掃頻，此時壓電梁的頻率響應(yīng)帶寬，即俘能器的俘能帶寬約為7.82-7.44=0.38(Hz)。

2.3 帶彈性振幅放大器參數(shù)共振時俘能器運動及俘能特性

2.3.1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器發(fā)生參數(shù)共振時的運動及特性分析

彈性振幅放大器的固有頻率為

(37)

當(dāng)M2

(38)

由第2.1節(jié)分析可知f1=3.82 Hz。欲使系統(tǒng)產(chǎn)生參數(shù)共振現(xiàn)象，則f2=7.64 Hz。

圖5為由式(37)得到的f2隨著彈性振幅放大器剛度系數(shù)ks的變化曲線。由圖5可知，欲使f2=7.64 Hz，則取ks=60 N/m。

圖5 f2與ks之間的關(guān)系

本文重點研究ks對俘能器性能的影響，分析仿真中取彈性振幅放大器參數(shù)ξ=0.1，ms=0.016 kg。

圖6為A=0.15 m·s-2時壓電梁和彈性振幅放大器的時域圖。由圖可知，當(dāng)A=0.15 m·s-2時，彈性振幅放大器的輸出位移能夠達到穩(wěn)定，而壓電梁的動態(tài)響應(yīng)最終趨于0，說明在A較小時，壓電梁不能產(chǎn)生參數(shù)共振現(xiàn)象。

圖6 A=0.15 m·s-2時壓電俘能器的動態(tài)響應(yīng)

圖7為A=1.6 m·s-2時壓電梁和彈性振幅放大器的時域圖。由圖7(a)可知，當(dāng)A=1.6 m·s-2時，在0～4 s，彈性振幅放大器的位移迅速增大；在4～10 s，彈性振幅放大器經(jīng)過短暫調(diào)制后，位移輸出迅速減小，10 s后，彈性振幅放大器能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的動態(tài)響應(yīng)。從能量的角度來看，前一階段彈性振幅放大器不斷吸收外部能量并產(chǎn)生位移輸出，隨后彈性振幅放大器將自身能量的一部分轉(zhuǎn)移給壓電梁，最終達到穩(wěn)定運動。由圖7(b)可知，在0～4 s，壓電梁幾乎無位移響應(yīng)；在4～10 s，由于壓電梁吸收了彈性振幅放大器的一部分能量，壓電梁的位移迅速增大，隨后經(jīng)過短暫調(diào)制，位移輸出稍微減小，在這個過程中，相當(dāng)于彈性振幅放大器“放大”外界激勵幅值，促使梁發(fā)生參數(shù)共振，而在10 s后，壓電梁能產(chǎn)生穩(wěn)定的動態(tài)響應(yīng)。綜上所述，激勵閾值為0.15～1.6 m·s-2。

圖7 A=1.6 m·s-2時壓電俘能器的動態(tài)響應(yīng)

圖8為帶彈性振幅放大器參數(shù)共振時的俘能器俘能特性。

由圖8(a)可知，系統(tǒng)的激勵閾值為0.3 m·s-2，比無彈性振幅放大器的激勵閾值(9.3 m·s-2)小，說明引入彈性振幅放大器后，系統(tǒng)的激勵閾值會大幅度降低。圖8(b)為A=1.6 m·s-2時，帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的Vrms隨Ω變化的關(guān)系。由圖8(b)可知，當(dāng)A=1.6 m·s-2，即A大于激勵閾值時，頻率響應(yīng)曲線左右兩側(cè)均出現(xiàn)突變，既有軟彈簧特性，也有硬彈簧特性，表現(xiàn)出雙跳躍現(xiàn)象[18]，正、反向掃頻的頻率響應(yīng)略有差異，但梁的電壓響應(yīng)帶寬約為8.2-7.05=1.15(Hz)，比參數(shù)激勵單梁俘能器電壓響應(yīng)帶寬(0.38 Hz)提高了203%。

圖9為A不同時，帶彈性振幅放大器的壓電俘能器Vrms隨Ω變化曲線。由圖可知，A越大，Vrms越大，頻率響應(yīng)帶寬也越大，并且頻率響應(yīng)曲線向右彎曲的部分更多，表現(xiàn)出更強的硬彈簧特性。當(dāng)A=8 m·s-2時，頻率響應(yīng)帶寬可增加到2.3 Hz。

圖9 激勵幅值對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響

2.3.2 剛度系數(shù)對帶彈性振幅放大器俘能器俘能特性的影響

本文重點研究ks對系統(tǒng)激勵閾值和系統(tǒng)俘能特性的影響,對其余兩個參數(shù)的分析，可仿照本文方法進行。

取ksr=7.64 Hz,圖10為ks對系統(tǒng)激勵閾值的關(guān)系曲線圖。由圖10可知，帶有彈性振幅放大器的激勵閾值變化曲線整體呈現(xiàn)下凹趨勢，即隨著ks的增大，俘能器的激勵閾值具有非對稱先減小后增大的趨勢。取ks=40 N/m，50 N/m，60 N/m，70 N/m，80 N/m時，對應(yīng)的激勵閾值分別為2.8 m·s-2，1.3 m·s-2，0.3 m·s-2，1.0 m·s-2，1.7 m·s-2。ks=60 N/m時激勵閾值最小，由第2.3.1節(jié)的分析和圖5可知，此值恰好為使系統(tǒng)產(chǎn)生內(nèi)共振的剛度系數(shù)，稱為共振剛度系數(shù)ksr。由圖還可知，在ksksr時激勵閾值的變化率。這說明在ksksr時的影響。

圖10 剛度系數(shù)ks對系統(tǒng)俘能特性的影響

ks對P的影響如圖11所示。由圖可知，ks=ksr=60 N/m時，激勵閾值最小，但是P并不總是最大。當(dāng)A<3 m/s2,ks=60 N/m時的P始終大于其余ks的P，而當(dāng)A<3 m/s2,ks=70 N/m時的P比ks=60 N/m時的大。ks=60 N/m，70 N/m和80 N/m時，隨著A的增大，P的曲線趨于重合；而ks=40 N/m，50 N/m時，ks越大，則P越大，并且這種規(guī)律并不隨A的變化而發(fā)生變化?？傊趉s>ksr時，ks對P的影響不大，即只有在A較高時，ks對P的影響才不明顯；而在ks

圖11 ks對系統(tǒng)激勵閾值的影響

圖12 ks對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響

由圖12可知，隨著ks的增加，頻率響應(yīng)曲線整體逐漸向右移動。另外，ks對頻率響應(yīng)帶寬及均方根電壓峰值均有影響。表2為ks與頻率響應(yīng)帶寬之間的對應(yīng)關(guān)系。表3為ks與均方根電壓峰值之間的對應(yīng)關(guān)系。

表2 不同ks對應(yīng)的頻率帶寬

表3 不同ks對應(yīng)的均方根電壓峰值

從表2、3可看出，頻率響應(yīng)帶寬隨著ks的增加而增大，均方根電壓峰值隨著ks的增加而先增大后減少，在ks=60 N/m，即為共振剛度系數(shù)ksr時達到最大值。這說明只有f2越接近主參數(shù)共振頻率，彈性振幅放大器的放大效應(yīng)越明顯，均方根電壓峰值越大。但此時頻率響應(yīng)帶寬卻不是最大的。

3 結(jié)束語

本文對彈性振幅放大器在參數(shù)激勵壓電俘能器中的作用進行了仿真分析。研究表明，彈性振幅放大器的加入可使壓電梁發(fā)生參數(shù)共振。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時，系統(tǒng)結(jié)合軟、硬彈簧特性，不僅能大幅度降低系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)共振的激勵閾值，且擴寬了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)帶寬。

彈性振幅放大器的剛度系數(shù)對系統(tǒng)性能的影響較復(fù)雜。共振剛度系數(shù)ksr可以根據(jù)系統(tǒng)產(chǎn)生共振的條件由系統(tǒng)的動力學(xué)方程得出。在此剛度系數(shù)下，彈性振幅放大器的放大效應(yīng)較明顯。但當(dāng)剛度系數(shù)偏離了ksr時，系統(tǒng)的俘能性能的變化卻不同。當(dāng)剛度系數(shù)小于ksr時，平均輸出功率、頻率響應(yīng)帶寬及均方根電壓峰值均隨著剛度系數(shù)的增大而增大；而當(dāng)剛度系數(shù)大于ksr時，頻率響應(yīng)帶寬隨著剛度系數(shù)的增大而增大，均方根電壓峰值隨著剛度系數(shù)的增大而減小，而平均輸出功率會趨于相同。

鑒于彈性振幅放大器的參數(shù)對參數(shù)激勵壓電俘能器的影響較復(fù)雜，本文后續(xù)工作將根據(jù)俘能器的應(yīng)用場景，提出確定各個參數(shù)的策略和方法，以使俘能器獲得最佳性能。