探尋知識內在連接點，加速認識理解
——教學《平均分的認識》的點滴思考

浙江衢州市新華小學（324000） 葉盛

數(shù)學課堂中，引導學生探尋知識之間的連接點，溝通知識之間的內在聯(lián)系，是有效教學的重要手段之一。為此，教學《平均分的認識》一課時，教師要全面了解與掌握學生的認知心理，根據(jù)學生思維發(fā)展的特點以及已有平均分的經驗，引導學生溝通不同分法之間的內在聯(lián)系，深化學生的感悟，助推學生初步建構平均分的數(shù)學模型，為他們深入學習除法、理解除法的對應關系奠定基礎。

一、動手做一做，溝通聯(lián)系

《平均分的認識》的教學不是建立在空中樓閣之上的，也不是隨意而為的，而是基于學生對表內乘法的學習與理解之上的。所以，在《平均分的認識》的教學前，教師要重視乘法意義的復習與梳理，引導學生進一步明晰“計算幾個相同加數(shù)的連加”就是“幾個數(shù)連加的和”的原理，幫助學生理解每一份（每一個加數(shù)）都是相同的，從而將這部分知識與平均分的學習聯(lián)系起來。同時，教師可通過動手做一做的方式，讓學生更好地領悟平均分兩種分法的核心要義：一是按照每份數(shù)去平均分，看能夠分成多少份；二是按照一定的份數(shù)去平均分，思考每一份的量是多少。

師：小朋友們，我們先做一個小游戲，看看你們從中能發(fā)現(xiàn)什么。

屏幕顯示活動要求：小組4人互動，每人拿出3個圓片（每人圓片的顏色各不相同），擺成一排。

生1：我們每人都是擺了3個圓片。

生2：每組有4份圓片，有4種顏色，每一份有3個圓片。

生3：可以算出圓片的總個數(shù)，即3+3+3+3=12（個）。

生4：也就是4個3相加，用乘法列式計算為3×4=12（個）。

生5：對！還可以是4×3=12（個）。

生6：這不是依據(jù)乘法口訣嗎？即三四十二。

師：學得不錯！那么，依據(jù)乘法口訣，你會想到什么？

生7：三五十五，可以是5+5+5=15，表示3個5是多少；也可以是3+3+3+3+3=15，表示5個3是多少。

生8：這句乘法口訣可以列出兩道乘法算式，即3×5=15、5×3=15。

師：也就是說，依據(jù)一句乘法口訣，可以寫出兩道加法算式和兩道乘法算式。這與前面《平均分的認識》的學習有很多相同之處，你們感受到了嗎？

……

數(shù)學學習需要旁征博引，也需要進行必要的輻射連接。因此，在小學數(shù)學課堂中，教師不能只盯住某一個知識點去思考如何教學，而要引導學生對知識點的相通性、發(fā)展聯(lián)系進行思考，使學生的數(shù)學學習更有系統(tǒng)性、科學性。同時，這樣教學可打破思維定式，幫助學生克服遷移學習的負作用，讓學生的數(shù)學學習更智慧。

上述教學，教師從復習表內乘法入手，旨在通過加法、乘法之間的聯(lián)系，幫助學生建構“幾個幾”的數(shù)學模型，為學生更精準地理解平均分兩種分法的意義提供思維支持。同時，通過加法、乘法學習積累的基本數(shù)學活動經驗，可促進學生更深入地領悟平均分兩種分法的原理，提升他們數(shù)學思維的靈活性，讓平均分的認知建構更加有效、扎實。

二、借助分一分，聯(lián)想分法

小學低年級學生以直觀形象思維為主，引導學生去做一些直觀的動手操作活動，不僅能夠深化他們的學習體驗，幫助他們積累豐富的感性認知，而且有利于學生獲得相應的學習靈感，溝通知識之間的內在聯(lián)系，實現(xiàn)知識建構一體化的目標。同時，通過分一分、比一比等動手操作活動，有助于學生聯(lián)想到平均分的兩種分法，進而溝通不同分法之間的聯(lián)系，不斷深入理解平均分。

師：請小朋友們繼續(xù)拿出圓片，從中數(shù)出12個?？粗@些圓片，你們能想出什么樣的數(shù)學問題來呢？

生1：我把12個圓片分成6份。不對！我把12個圓片平均分成6份，每份有2個圓片。

師：這種分法很好！特別強調了平均分。那么，同學們能說出具體的操作過程嗎？

生2：我是一次拿出2個圓片，拿了6次，二六十二，所以一共拿出了12個圓片。

生3：是的。每次拿出2個圓片，6次正好拿完，對應的算式是12÷2=6（次）。

師：很好！還有其他的方法嗎？

生4：我是先畫出6個大圓圈，表示6份；再拿出2個圓片，1個大圓圈分別放進1個圓片；接著，再拿出2個圓片，繼續(xù)分別放進大圓圈中……一共拿了6次；最后，發(fā)現(xiàn)每個大圓圈中有2個圓片。

師：很有意義的思考，值得大家好好學習。現(xiàn)在回到這種分法中，剛才這位同學每次拿出幾個圓片？又是怎樣做的呢？

生5：每次拿出2個圓片，1個大圓圈中放入1個圓片。

生6：因為可以分6次，所以每1個大圓圈中都有2個圓片。

師：同樣的數(shù)量，有兩種不同的分法。再仔細比較一下這兩種分法，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生7：第一種分法，先分成6份，再分圓片，所以每1份有2個圓片。

生8：第二種分法，2個2個地分，分了6次，所以每份也有2個圓片。

師：這是平均分的兩種分法，它們看似不同，卻又——

生9：有相同的地方，都是用除法計算的。

生10：都是把12個圓片平均分。

師：是的。平均分可以按照份數(shù)去分，也可以按照每一份是多少去分。那么，如果有12個圓片，每次分4個，你們會怎樣分呢？（學生小組合作，進行分一分活動）

生11：我先拿出4個圓片，分成4份，每份1個圓片；再拿出4個圓片，分成4份，也是每份1個圓片……一共拿了3次，最后每份都有3個圓片，即12÷4=3（個）。

生12：我是先拿出4個圓片放成1份，再拿出4個圓片放成另一份，最后4個圓片也放成一份，這樣每份有4個圓片，共分成3份，即12÷4=3（份）。

平均分的兩種分法，在動手操作層面上還是需要學生仔細區(qū)分的：一是已知每份數(shù)，求份數(shù)；二是已知份數(shù)，求每份數(shù)。這兩種分法雖然看著有區(qū)別，但是在具體分一分中還是有相通之處的，即它們都是一個平均分的過程，每次會分掉一部分，分幾次后，最后都會分完的。

為此，在動手操作過程中，教師應把教學側重點放在具體的分一分上。通過拿圓片、分圓片的活動，引導學生再次經歷平均分的過程，明晰分一分結果的緣由，加深對平均分的認識。在經歷分一分、說一說、議一議等活動后，對學生平均分的認知會變得更加豐富、更加深刻。同時，這樣可有效鍛煉學生的思維能力，提升他們數(shù)學思維的靈活性、嚴謹性。

三、引導想一想，優(yōu)化認知

引導學生梳理觀察、操作的過程，指導他們進行猜想與合情推理，是提升學習實效的根本途徑，也是發(fā)展學生思維能力的重要策略。為此，在教學“平均分不同分法的比較”的練習課中，教師要結合知識點創(chuàng)設適合的問題情境，引導學生進行相應的猜想和推理，使整個學習脈絡更加清晰，從而優(yōu)化學生對平均分的認知建構。

師：你們能根據(jù)屏幕上顯示的信息，解答下面的思考題嗎？

課件呈現(xiàn)：二（6）班準備了8張風景畫，打算布置在黑板報的藝術角上。每處（）張，可以布置（）處；平均布置（）處，每處（）張。

（學生讀題后先自主嘗試與思考，再在小組中討論交流）

生1：每處2張風景畫，可以布置4處。

師：你能把自己的思考過程說給小朋友們聽一聽嗎？

生2：每次拿2張風景畫，4次可以拿完，所以每處分得2張，共布置4處，就是8張風景畫。

中國傳統(tǒng)美學有著詩言志的傳統(tǒng)，文藝作品的社會功能和現(xiàn)實性作為一種主流審美意識，直至今日依然自覺或不自覺的存在于審美主體的意識或潛意識中，作為一種評價審美對象的標準。

師：不錯！那第二個問題，你們會解答嗎？

生3：平均布置4處，每處2張風景畫。也就是說，把8張風景畫平均分成4份，每份2張。

師：大家的表現(xiàn)真的很棒！想不想挑戰(zhàn)一下自己？（想）那就繼續(xù)看大屏幕。

課件呈現(xiàn)：3個正方形可以拼成1個長方形，一共拼成了4個長方形，需要多少個正方形？

生4：可以算出正方形的總個數(shù)，即3+3+3+3=12（個）。

生5：寫成乘法算式是3×4=12（個）或4×3=12（個）。

生6：我能想到有關的乘法口訣——三四十二。

生7：三四十二，根據(jù)這句乘法口訣，我還能寫出2道除法算式。

師：你們真的很棒，想得很全面，思考也很到位。那么，請繼續(xù)想一想，這12個正方形還可以怎樣去分一分？

生8：可以1個1個分，分成12份。

生9：可以2個2個分，能分成6份。

生10：可以平均分成4份，每份3個。

……

這樣通過具體的動手操作活動，讓學生再次感悟平均分的兩種分法；同時，通過幾個幾相加想到乘法算式、想到乘法口訣，再想到相應的除法算式，使學生對表內乘除法的學習逐漸形成一個有機整體。

上述教學，教師通過引導學生觀察、思考、推想，使得整個教學活動更加靈動，更有利于學生理解乘除法與乘法口訣之間的內在聯(lián)系，實現(xiàn)舉一反三的目標。同時，這樣有助于學生對加法、乘除法的學習形成知識鏈，建構成一個科學的認知體系。

四、開展理一理，建構認知

平均分的分法，對于小學生而言是一個較難理解的知識點，因為既受自身思維特點的影響，也由于學習積累不夠豐厚所致。因此，在“平均分不同分法的比較”的教學中，教師要引導學生對相關的知識點進行必要的梳理和回顧，促進學生深入體會“等分”與“包含分”之間的關系，從而明晰不同情境中的不同分法，提升學生思維的靈活性和教學的實效性。

師：觀看屏幕上的喜羊羊，看看它在做什么。

生1：喜羊羊一直在抓耳撓腮，因為它遇到了一道數(shù)學難題。

課件呈現(xiàn)：（1）媽媽買來了8個蘋果，準備分給2個小朋友，每個小朋友分得多少個蘋果？（2）媽媽買來了8個蘋果，準備分給每個小朋友2個蘋果，有多少個小朋友能得到蘋果呢？

喜羊羊認為題目出錯了，覺得同樣的問題，為什么要換成不一樣的說法?？墒牵醒蜓騾s說：“這是兩個不同的問題，應該區(qū)別對待?！?/p>

生2：我也認為這兩個問題是差不多的。你看，問題中的數(shù)字都是一樣的，出現(xiàn)的順序也是一樣的，連列出的除法算式也是一樣的。

生3：我不認為這兩個問題是一樣的。先看第（1）題，媽媽把8個蘋果平均分給2個小朋友，我們的做法是每次拿出2個蘋果，然后分成2份，一份1個蘋果；接下來，繼續(xù)這樣的操作，就可以發(fā)現(xiàn)總共拿了4次蘋果，每份都有4個蘋果，算式是8÷2=4（個）。第（2）題，我們的做法就不一樣了。每個小朋友2個蘋果，就要一次拿出2個蘋果，接著再拿出2個、2個、2個蘋果，直到8個蘋果全部拿完為止，就是將8個蘋果平均分成4份，對應著4個小朋友，算式是8÷2=4（個）。這兩個算式看起來是一樣的，但是具體的分法卻是不一樣的。

生4：還真是這樣的。第（1）題是將蘋果平均分成2份，每份4個蘋果；而第（2）題，則是每次分出去2個蘋果，可以分4次，對應著4個小朋友。

生5：分完后發(fā)現(xiàn)，第（1）題是將蘋果平均分成2份，第（2）題是將蘋果平均分成4份，所以區(qū)別還是蠻大的。

生6：明白了?？吹狡骄址殖蓭追?，就是分成幾堆……

實踐表明，引導學生去思考問題，并通過動手操作去分析問題，既能幫助他們較好地探究知識之間的連接點，又可以在動手操作中深化學生的認知。上述教學，教師以動畫人物——喜羊羊遇到難題為材料，引導學生去思考、去動手操作，并通過說與做的直觀展示，讓學生更好地感悟平均分中不同分法的本質意義，使得學生對平均分的認知建構更加扎實、鞏固，有效培養(yǎng)了學生的思維能力。

總之，在小學數(shù)學教學中，教師應基于學生的角度去解讀教材，把脈學生的知識儲備、經驗積累，科學地創(chuàng)設動手操作等教學情境，引導他們在體驗中探究與理解知識，完善自身的認知結構，使他們的數(shù)學思維不斷得到發(fā)展，數(shù)學素養(yǎng)不斷得到提升。