基于廣義Bouc-Wen模型的壓電疊堆遲滯特性建模*

邱 卓，華順明，彭 宇，王義強(qiáng)，張 宇

(1.浙大寧波理工學(xué)院 機(jī)電與能源工程學(xué)院，浙江 寧波 315100；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；3.寧波博爾法液壓有限公司，浙江 寧波 315502)

0 引言

壓電陶瓷執(zhí)行器具有響應(yīng)速度快、頻帶寬和分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，在高速伺服閥、精密定位、微流控等機(jī)械工程領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。但是，其固有的遲滯特性會(huì)嚴(yán)重影響控制精度，必須加以克服，其中通過建立遲滯模型來構(gòu)造控制器是最常見的減小遲滯方式[1]。

根據(jù)工作原理的不同，可以將常見的遲滯模型分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型[2]。靜態(tài)模型只能靜態(tài)描述壓電執(zhí)行器的輸出位移，主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[3]、Preisach模型[4，5]、Prandtl-Ishlinski模型[6]；動(dòng)態(tài)模型可以動(dòng)態(tài)跟蹤壓電執(zhí)行器的輸出位移，但一般誤差較大，常見的動(dòng)態(tài)模型有Maxwell模型[7]、Duhem模型[8]和Bouc-Wen模型[9]。

為了能夠更好地模擬壓電疊堆在不同速率輸入信號(hào)下的位移輸出特性，應(yīng)采用動(dòng)態(tài)模型，其中Bouc-Wen模型的基本形式是一階非線性微分方程，模型比較簡潔直觀。但是經(jīng)典Bouc-Wen模型對(duì)非對(duì)稱遲滯效應(yīng)的描述效果較差，且隨著輸入信號(hào)速率的升高，壓電執(zhí)行器的非對(duì)稱遲滯特征越明顯[10]。為解決上述問題，在經(jīng)典Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上引入松弛函數(shù)，提出一種廣義Bouc-Wen模型。

1 經(jīng)典Bouc-Wen模型基本原理

遲滯效應(yīng)曲線可以看作是線性分量X(t)和遲滯分量h(t)復(fù)合而成，所以經(jīng)典Bouc-Wen模型可以表示為：

y(t)=X(t)+h(t)=k·uA(t)+h(t).

(1)

(2)

其中：y(t)為壓電疊堆的輸出位移；uA(t)為壓電疊堆的作用電壓；k、α、β、γ和n是決定遲滯曲線形狀的模型參數(shù)，n通常設(shè)置為1。

那么根據(jù)式(2)，遲滯分量可以表示為：

(3)

由式(1)～式(3)可知，經(jīng)典Bouc-Wen模型的模型參數(shù)主要為k、α、β、γ，但是根據(jù)已有的研究成果可知，β和γ是常數(shù)，參數(shù)k和α都隨著輸入頻率的增加而減少，所以這種頻率依賴性不能用經(jīng)典Bouc-Wen模型來描述[11-13]。

2 廣義Bouc-Wen遲滯模型構(gòu)建

為使Bouc-Wen模型可以描述壓電疊堆遲滯特性在頻率增加時(shí)的變化，可引入松弛函數(shù)來表征速率相關(guān)的遲滯效應(yīng)[14，15]，由此建立的廣義Bouc-Wen模型可以表示為：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：a≥0，b≥0，a、b、ε、δ均為常數(shù)。

(8)

(9)

為使遲滯模型與壓電疊堆的實(shí)際遲滯效應(yīng)更加匹配，也即要求模型預(yù)測位移輸出與壓電疊堆實(shí)際位移輸出的方差盡量小，得出目標(biāo)函數(shù)如下：

(10)

(11)

其中：N為樣本總數(shù)；yi為第i個(gè)采樣周期中壓電疊堆實(shí)際位移輸出。

顯然，g(uA)是關(guān)于a、b、ε、δ、β和γ的非線性函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)可看做是一個(gè)非線性最小二乘法問題[16]，由此可利用MATLAB/Simulink確定參數(shù)值，具體如表1所示。

表1 廣義Bouc-Wen模型參數(shù)

根據(jù)以上分析，建立的壓電疊堆的遲滯模型如圖1所示。

圖1 基于廣義Bouc-Wen模型的壓電疊堆仿真模型

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的有效性，將前述遲滯模型的仿真值與壓電疊堆輸出位移的實(shí)際測量值進(jìn)行對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)裝置主要有：AE0505D16型壓電疊堆，驅(qū)動(dòng)電壓為0 V～100 V，最大輸出位移為11.6 μm±2.0 μm，其他參數(shù)見表2；哈爾濱芯明天XE-500D型壓電陶瓷伺服功率放大器，由放大器模塊、傳感器控制模塊和顯示與接口模塊組成，實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電疊堆的驅(qū)動(dòng)控制；DG4102型信號(hào)源，可提供任意頻率的激勵(lì)信號(hào)；日基恩士LK-H020型激光位移傳感器，工作電壓24 V，分辨率0.001 μm，可精確檢測壓電疊堆的輸出位移；北京普源精電公司的DP1308A型可編程直流穩(wěn)壓電源，用于激光位移傳感器供電。實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

表2 AE0505D16壓電疊堆主要性能參數(shù)

為了驗(yàn)證前述廣義Bouc-Wen遲滯模型在不同速率下的有效性，采用u(t)=50+50sin(2πft)格式的正弦輸入信號(hào)來驅(qū)動(dòng)壓電執(zhí)行器，分別測量1 Hz、10 Hz、50 Hz、100 Hz信號(hào)下壓電疊堆的輸出位移，并將測量數(shù)據(jù)與遲滯模型仿真結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。

由圖3可以看出，本文所述廣義Bouc-Wen遲滯模型的仿真結(jié)果可以較好地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，仿真值與實(shí)驗(yàn)值的誤差如表3所示。

表3 仿真值與實(shí)驗(yàn)值誤差對(duì)比

圖3 不同頻率下仿真值與實(shí)驗(yàn)值結(jié)果比較圖

1 Hz、10 Hz、50 Hz和100 Hz對(duì)應(yīng)的平均絕對(duì)誤差分別為0.023 μm、0.10 μm、0.34 μm和0.93 μm，相應(yīng)的誤差率分別為0.19%、0.81%、2.88%和8.02%。由上述結(jié)果可知，該模型在低頻范圍內(nèi)可以精確地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相擬合，在高頻范圍內(nèi)，誤差率隨著頻率的增加而增大，但是可以控制在10%以內(nèi)，說明對(duì)于高頻信號(hào)同樣有著很好的擬合效果，證明該模型具有較好的可行性。

4 結(jié)束語

本文在經(jīng)典Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上提出了一種廣義Bouc-Wen模型，利用松弛函數(shù)對(duì)經(jīng)典模型中隨輸入頻率而變化的參數(shù)進(jìn)行描述，使得廣義模型可以表述不同速率輸入信號(hào)下的輸出特性。通過將仿真值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比可知，輸入信號(hào)頻率為1 Hz～100 Hz時(shí)，模型的誤差率隨頻率的增加而增大，最大平均誤差為0.93 μm，最大誤差率為8.02%，表明該模型在不同速率下是有效的，為設(shè)計(jì)前饋控制器奠定了基礎(chǔ)。