用自由效用模型刻畫出行選擇行為

王 浩，閆小勇

（北京交通大學(xué)，a.綜合交通運輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運輸行業(yè)重點實驗室，b.交通系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院，北京 100044）

0 引 言

出行是人們生活中不可缺少的環(huán)節(jié)[1]。每次有潛在的出行需求時，人們都會考慮是否出行、去往何地、何時出發(fā)、使用何種交通方式和選擇什么路徑[2]。出行者們的這些出行選擇行為是復(fù)雜交通流動現(xiàn)象的重要成因。刻畫群體出行選擇行為來預(yù)測出行需求是交通科學(xué)中的一個重要研究領(lǐng)域，也是交通規(guī)劃工作中的一個重要環(huán)節(jié)[3,4]。傳統(tǒng)的出行需求預(yù)測方法包含出行生成、出行分布、方式劃分和交通分配四個階段[5]。盡管每個階段中都包含了大量的備選模型，但這些模型背后的建模機理是不同的。例如，預(yù)測出行生成多使用線性回歸模型，預(yù)測出行分布多使用類比牛頓引力定律的重力模型[6]，預(yù)測方式分擔率多使用計算個體選擇各選項概率的Logit 模型[7]，分配交通流量則多使用考慮出行者相互作用的路徑選擇博弈模型，即用戶平衡（User Equilibrium, UE）模型[8]。事實上，出行者選擇是否出行、出行時間、目的地、方式和路徑都是人的選擇行為，背后應(yīng)該有一致的普適性規(guī)律。但目前能統(tǒng)一刻畫相互作用群體出行選擇行為的建?？蚣芤廊蝗狈9]。

在交通科學(xué)領(lǐng)域，研究者很早就開始使用以Logit模型為代表的基于隨機效用理論建立的離散選擇模型來進行不同階段的出行需求預(yù)測[7,10]。但這類模型大多是從個體選擇行為角度建立的，并未考慮實際交通系統(tǒng)中普遍存在的個體之間的相互作用。而實際中的出行者不管是選擇目的地和出行方式，還是選擇出發(fā)時間和路徑，都會考慮與其他出行者相互作用所導(dǎo)致的擁擠或擁堵問題。另一類可同時進行多階段出行需求預(yù)測的模型是組合模型[11,12]，例如Yao 等建立的包含出行分布和交通分配的組合模型[2]；Boyce 等建立的考慮出行者目的地、方式和路徑選擇的組合模型[13]；Ali Safwat 和Magnanti 建立的出行生成、出行分布、方式劃分和交通分配四階段組合模型[14]等。這方面的研究大多是將多階段出行組合預(yù)測問題轉(zhuǎn)換為擴展網(wǎng)絡(luò)上的交通分配問題，再用UE 模型等進行流量分配[11,15]。UE 模型考慮了路段擁堵問題，但UE模型的目標函數(shù)為何是網(wǎng)絡(luò)路段成本函數(shù)的積分之和，一直缺乏合理的解釋[15,16]。最近，Wang 等建立了一種存在相互作用的出行者們選擇目的地的自由效用模型[17]，這一模型不僅能解釋廣泛存在于各類復(fù)雜社會系統(tǒng)中的引力定律，也為建立刻畫群體出行選擇行為的統(tǒng)一框架提供了新的途徑。

在本文中，將自由效用模型擴展到出行需求預(yù)測的多個階段。首先，用最簡單的自由效用模型來刻畫出行者選擇出行方式的行為，該模型反映了出行者對期望效用與信息處理成本之間的權(quán)衡以及出行者之間的相互作用。然后，用自由效用模型來刻畫出行者的目的地選擇行為，并由此導(dǎo)出單約束重力模型和雙約束重力模型。進一步地，用自由效用模型來刻畫出行者在交通網(wǎng)絡(luò)上的路徑選擇行為。最后，建立一個組合的自由效用模型來同時刻畫出行者的目的地、方式和路徑選擇行為。用能反映個體間相互作用的自由效用模型刻畫出行選擇行為，不僅可以讓我們從人類選擇行為的角度更好地理解多種出行需求經(jīng)典模型背后的根源，還為出行需求預(yù)測提供了一個更具可解釋性的統(tǒng)一建?？蚣?。

1 出行方式選擇

式中：L是拉格朗日函數(shù)；λ是拉格朗日乘子。

由于對所有交通方式都有?L/?pk= 0，可以得到：

這意味著在出行者的最優(yōu)選擇策略下，所有出行方式的效用減去邊際信息處理成本都相等。這種情況與微觀經(jīng)濟學(xué)中的消費者均衡[25]中每種商品的邊際效用都相等的情況非常類似。因此，將uk-τ( lnpk+ 1)命名為出行方式k的邊際效用。相應(yīng)地，由于微觀經(jīng)濟學(xué)中消費者的總效用是所有商品邊際效用的積分之和[25]，那么這個簡單交通系統(tǒng)的總效用就是所有出行方式邊際效用的積分之和。出行者的最優(yōu)選擇策略是遵循等邊際準則[25]來選擇出行方式，以使總效用最大化。結(jié)合式(3)和∑kpk= 1，可以得到式(1)的平衡解：

如果參數(shù)τ= 0，意味著信息處理不需要成本，該出行者會選擇效用最高的出行方式。如果τ→∞，意味著信息處理成本非常高，該出行者將不考慮預(yù)期效用而只關(guān)注信息處理成本，在這種情況下，該出行者會完全隨機地選擇出行方式。式(4)與根據(jù)隨機效用理論導(dǎo)出的Logit模型[7]在數(shù)學(xué)形式上是一致的，但推導(dǎo)不需要事先假設(shè)出行者對方式效用的感知誤差服從獨立同分布的Gumbel分布。

進一步地，將交通系統(tǒng)擴展到具有無窮多個(即T?1)出行者的情形，這些出行者的屬性都相同，每個出行者只有一次出行，那么問題就變成了這些出行是如何在各種出行方式上分布的。在實際中，出行方式k的效用會受到使用相同方式的出行者數(shù)量Tk的影響，即uk是Tk的函數(shù)，例如，公共汽車上乘客人數(shù)的增加將降低公共汽車乘客的舒適度。因此，效用可以被寫為uk(Tk)，這是一個單調(diào)遞減可微的函數(shù)。前已述及出行者會遵循等邊際準則做出最優(yōu)的選擇，在這種情況下，任何一個出行者對出行方式的選擇都依賴于其他出行者如何在各種出行方式上分布[26]。這種在社會系統(tǒng)中普遍存在的一個人的行為依賴于其他人行為的現(xiàn)象被稱為個體交互。在此交互系統(tǒng)中，出行者們的最優(yōu)選擇策略是讓所有出行方式都具有相同的邊際效用。由于系統(tǒng)的總效用是所有出行方式邊際效用的積分之和，因此交互系統(tǒng)的效用最大化模型可以寫為：

式(5)的目標函數(shù)與物理學(xué)中的亥姆霍茲自由能函數(shù)[28]在數(shù)學(xué)形式上是一致的。因此，式(5)被命名為自由效用模型[17]。換句話說，這個出行方式選擇系統(tǒng)可以類比為一個包含若干子系統(tǒng)、與熱庫進行熱接觸的等溫等容熱力學(xué)系統(tǒng)：出行者的數(shù)量類比為粒子的數(shù)量；式(5)目標函數(shù)的第一項類比為包含勢能的熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能（因此在勢博弈中此項被命名為勢函數(shù)[27]）；信息處理價格類比為熱庫的溫度；信息熵類比為熱力學(xué)系統(tǒng)的熵；信息處理成本類比為熱力學(xué)系統(tǒng)與熱庫之間交換的熱量；出行方式的邊際效用類比為子系統(tǒng)的化學(xué)勢。然而這兩個系統(tǒng)的本質(zhì)是不同的：熱力學(xué)系統(tǒng)遵循自由能最低原理使系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)，在該狀態(tài)下所有子系統(tǒng)均具有相同的化學(xué)勢[28]；而出行方式選擇系統(tǒng)自由效用的最大化則是出行者遵循等邊際準則做出的最佳選擇策略所導(dǎo)致的結(jié)果。

2 出行目的地選擇

根據(jù)實際數(shù)據(jù)設(shè)置合適的效用函數(shù)uij(Tij)后，式(6)中的自由效用模型就可以直接用于出行分布預(yù)測。此外，在實際出行分布預(yù)測工作中被廣泛使用的重力模型也可由自由效用模型導(dǎo)出。為導(dǎo)出重力模型，自由效用模型的效用函數(shù)需要與從i到j(luò)的出行量具有對數(shù)關(guān)系，即uij(Tij)=Aj-cij-γlnTij，其中Aj是目的地j的固定吸引力，反映了地點的活動機會（例如零售活動、就業(yè)密度等）[11]，cij是從i到j(luò)的固定出行成本，γlnTij是出行擁堵成本函數(shù)，γ是非負參數(shù)。此時式(6)可以被具體化為：

3 出行路徑選擇

從式(11)中可以看出，交通網(wǎng)絡(luò)上的自由效用模型在數(shù)學(xué)形式上與交通科學(xué)中用于交通流分配的隨機用戶平衡（Stochastic User Equilibrium,SUE）模型[33]是一致的。有許多算法可以求解此模型并計算網(wǎng)絡(luò)中所有路段上的流量[11]。在信息處理價格為0（即τ= 0）的情況下，式(11)中的自由效用模型在數(shù)學(xué)形式上與經(jīng)典的UE 模型[8]一致。UE 模型的平衡解（即每對起終點之間所有被使用的路徑都具有相等且最小的成本）就是出行者遵循等邊際準則做出的最優(yōu)路徑選擇策略的結(jié)果。UE 模型的目標函數(shù)（即每條路段邊際效用積分之和的負值）實際上是沒有信息處理成本的負自由效用。這為理解交通科學(xué)中的UE 和SUE 模型提供了一個新視角。

4 組合模型

截至目前，已經(jīng)用自由效用模型分別刻畫了出行者的方式選擇、目的地選擇和路徑選擇行為。但實際中的出行者不是分階段選擇這些選項的，而是會同時考慮去往何地、使用什么交通方式和選擇哪條路徑。因此，還應(yīng)該在自由效用模型框架下對這些出行選擇行為進行組合建模。

在本文中，用一種網(wǎng)絡(luò)擴展方法來同步求解出行方式、目的地和路徑選擇問題。網(wǎng)絡(luò)擴展的示意圖見圖1，圖中最下層表示實際的多方式交通網(wǎng)絡(luò)，其中標記為i的圓點表示交通小區(qū)的形心，它能產(chǎn)生和吸引出行量；方點表示交通網(wǎng)絡(luò)中的普通節(jié)點，例如交叉口或地鐵站；節(jié)點之間標記為a的有向連邊表示路段，其中實線表示道路路段，點劃線表示地鐵線路。每條連邊都有一個效用函數(shù)ua(xa)來表達連邊效用ua和流量xa之間的關(guān)系。通過添加兩類虛擬節(jié)點和兩類虛擬連邊來擴展這個實際交通網(wǎng)絡(luò)。首先，給每一個節(jié)點i都添加一個虛擬目的地節(jié)點i′（見圖1 中間層的圓點），并在兩者之間添加一條虛擬連邊ii′（見圖1 最下層圓點與中間層圓點之間的虛線）。連邊ii′上的流量是xii′，反映了實際目的地i的出行吸引量。連邊ii′的效用函數(shù)是負的目的地可變吸引力函數(shù)-lii′(xii′)，它表達了實際目的地i的擁擠成本lii′與其出行吸引量xii′之間的關(guān)系。然后，再給每一個節(jié)點i添加一個虛擬起點i″（見圖1 最上層的圓點），并在虛擬目的地i′與除與其編號對應(yīng)的虛擬起點i″之外的其他所有虛擬起點之間添加一條虛擬連邊i′i″（見圖1 中間層圓點與最上層圓點之間的點線）。連邊i′i″上的流量是xi′i″，反映了起終點之間的出行量，連邊i′i″的效用函數(shù)是目的地i′固定的吸引力Ai′。通過以上方法就可以得到擴展后的網(wǎng)絡(luò)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)擴展示意圖

在這個擴展網(wǎng)絡(luò)上，從起點i到虛擬起點i″的固定出行量是Oi，即i點的出行發(fā)生量。因而，出行方式、目的地和路徑選擇組合問題就轉(zhuǎn)化為了在這個擴展網(wǎng)絡(luò)上的路徑選擇問題。這個拓展網(wǎng)絡(luò)上的自由效用模型為：

為更好地說明上述組合模型，在此增加一個算例。建立了一個簡單的擴展網(wǎng)絡(luò)，見圖2（a）。其中最下層的圓點是3 個小區(qū)，1、2、3 小區(qū)的出行發(fā)生量分別為O1= 600、O2= 690、O3= 1000。最下層兩條實線連邊表示道路路段，兩條點劃線連邊表示地鐵線路，它們的效用函數(shù)分別為u12= -20 -x12、u23= -20 -x23、u32= -10 -2x32、u21= -10 -2x21，其中x表示連邊上的流量，下同。最下層小區(qū)和中間層虛擬目的地之間3 條虛擬連邊的效用函數(shù)分別為u11′= -x11′、u22'= -x22'、u33'= -x33'。中間層虛擬目的地到最上層虛擬起點之間6 條虛擬連邊的效用函數(shù)分別u1′2″=u1′3″= 600、u2′1″=u2′3″= 100、u3′1″=u3′2″= 1000。為計算簡便，此處假設(shè)信息處理價格τ= 0。將3 個小區(qū)的出行發(fā)生量看作是從最下層節(jié)點到最上層節(jié)點的出行分布量T11″= 600、T22″= 690、T33″= 1000，就可以用求解UE 模型的算法求得該算例的最優(yōu)解，見圖2（b）。最優(yōu)解中的路段流量分別為x21= 470、x12= 600、x23= 900、x32= 1000，3 小區(qū)的實際出行吸引量分別為D1=x11′= 470、D2=x22′= 920、D3=x33′=900，小區(qū)之間的實際出行分布量分別為T12=x2′1″= 255、T13=x3′1″= 345、T21=x1′2″= 135、T23=x3′2″= 555、T31=x1′3″= 335、T32=x2′3″= 665。最下層節(jié)點到最上層節(jié)點之間6 條路徑的邊際效用見表1。

圖2 組合模型算例網(wǎng)絡(luò)

表1 小區(qū)之間路徑的邊際效用

5 結(jié)束語

本文用自由效用模型分別刻畫了出行者們的出行方式、目的地和路徑選擇行為。自由效用模型有兩個基本假設(shè)[17]，即個體追求效用最大化，且個體為了掌握更多關(guān)于選項效用的知識需要付出信息處理成本。與出行需求預(yù)測四階段法中的多數(shù)模型相比，自由效用模型可以更好地刻畫出行選擇行為。例如，預(yù)測方式分擔率的Logit 模型[7]、預(yù)測出行分布量的最大熵模型[31]和自由成本模型[30]都沒有反映出行者之間的交互；傳統(tǒng)的UE[8]和SUE 模型[33]雖然數(shù)學(xué)形式上與描述路徑選擇的自由效用模型一致，但它們目標函數(shù)中路段成本函數(shù)的積分項卻一直缺乏合理的解釋。而自由效用模型能同時反映個體在期望效用與信息處理成本之間的權(quán)衡和個體之間的相互作用，不僅可以從人類選擇行為的角度更好地理解前述出行需求經(jīng)典模型背后的根源，還可以在一個更具可解釋性的理論框架下研究出行者的決策制定過程。

進一步用自由效用模型建立了同時考慮出行方式、目的地和路徑選擇行為的組合模型。相對于傳統(tǒng)的出行需求預(yù)測四階段法，組合多個階段的模型更符合實際出行者的選擇行為。盡管本文中只組合了出行方式、目的地和路徑三類選擇行為，在自由效用模型框架下還可以加入其他出行選擇行為。例如，在圖1 中為每個起點i和它對應(yīng)的虛擬起點i″之間添加一條彈性需求連線并為其設(shè)置合適的效用函數(shù)，就可以在給定潛在的最大出行發(fā)生量的前提下，預(yù)測起點i實際的出行發(fā)生量。此外，在多狀態(tài)超級交通網(wǎng)絡(luò)中[34,35]，還可以用自由效用模型對出發(fā)時間選擇行為[36]和其他出行選擇行為進行組合建模。不僅如此，還可以通過收入水平、是否擁有私家車、是否通勤等因素對組合模型中的出行者進行分類，讓組合模型更符合實際?？傊?，在更具可解釋性的自由效用框架下建立的組合模型能更系統(tǒng)地研究出行者的完整出行決策制定過程。特別是在當前這個能反映人類移動的大數(shù)據(jù)時代，通過從這些大數(shù)據(jù)中挖掘群體出行選擇規(guī)律來合理設(shè)置自由效用模型中的各類效用函數(shù)，可以為精確定量分析處處充滿著出行者相互作用的復(fù)雜交通系統(tǒng)提供更多可選的工具。

盡管在本文中是用自由效用模型刻畫交通系統(tǒng)中的出行選擇行為，這一模型還可以應(yīng)用到很多存在選項選擇行為的社會系統(tǒng)中。從式(5)中可以看到，自由效用模型在數(shù)學(xué)形式上與隨機勢博弈模型[37]是一致的，還可以退化為經(jīng)典的勢博弈模型[27]，這類勢博弈模型已被廣泛應(yīng)用于許多社會系統(tǒng)中的群體選項選擇問題上。勢博弈模型中的目標函數(shù)是類比物理學(xué)中的勢函數(shù)建立的。勢博弈中的一個玩家變動自己選項所導(dǎo)致的自身收益變化量與勢函數(shù)變化量是相等的。勢博弈的平衡解就是勢函數(shù)最大時的解，此時所有玩家具有相同的收益，玩家不能單方面改變選擇策略來提高自身的收益。但是，Monderer 和Shapley 對如何解釋勢函數(shù)提出了一個問題：玩家們試圖共同實現(xiàn)什么最大化[27]？實際上，勢函數(shù)不是玩家們共同追求的目標。現(xiàn)在從自由效用模型中已經(jīng)知道，玩家只會最大化他們自己的效用（即收益），采用的最佳策略就是讓自己所有選項的邊際效用都相等。當所有玩家都遵循這樣的等邊際準則時，各個選項邊際效用積分的和（在經(jīng)濟學(xué)中被稱為總效用）自然就是最大的。換句話說，勢函數(shù)最大是玩家個體最優(yōu)選擇策略的結(jié)果，而不是玩家們共同追求的目標。這對勢博弈模型有了更本質(zhì)的理解，能更好地為各類復(fù)雜社會系統(tǒng)中的選擇行為建模?？傊杂尚в媚Ｐ筒粌H有助于深入理解交通系統(tǒng)中的出行選擇行為，在預(yù)測、引導(dǎo)甚至控制各類復(fù)雜社會系統(tǒng)中的人類選擇行為也具有潛在的應(yīng)用價值。