數(shù)學(xué)畫：搭建抽象與直觀的橋梁
——小學(xué)第一學(xué)段數(shù)學(xué)課堂運用“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的實踐研究

陳曉瑾

(浙江省杭州錢塘新區(qū)觀瀾小學(xué) 浙江 杭州 310000)

1.緣起：一次“畫”圖，明理十分

筆者在一年級教學(xué)《20以內(nèi)加減法》后，從作業(yè)檢測中發(fā)現(xiàn)，90%孩子掌握了加減法的計算方法，能快速準(zhǔn)確地寫出答案，但《口算估算速算》中一道口算卻錯誤率極高，題目為“9+( )=13”。當(dāng)時反饋的時候也沒靜下心來細想，只覺得是孩子們數(shù)感不好，對20以內(nèi)加減法不熟練。幾天后對孩子們進行計算檢測，檢測結(jié)果整理列表，數(shù)據(jù)如下表所示：

檢測班級人數(shù)規(guī)定時間完成人數(shù)兩數(shù)直接相加減題目正確率連加連減或加減混合正確率類似9+( )=13正確率1013432100%91.18%67.81%1023534100%94.29%68.57%

為什么類似“9+( )=13”正確率這么低？是時間不夠？計算方法不熟練？還是……？回到課堂對該類型題目進行了認真分析講解，發(fā)現(xiàn)仍有幾位孩子云里霧里不知所云。了解原因，一男孩膽怯地問：“為什么用減法算？”一時間，我愣住了……剛剛反復(fù)講解了方法為什么還不明白？為了留給自己思考緩沖的時間，讓班上的孩子自由討論。一會聽到一男生說：“老師，我有好辦法！”只見他跑到黑板前，拿起粉筆一邊畫一邊講解：“左邊這個圓代表9，右邊這個圓多少不知道，但它們合起來是17，所以用減法”。那些云里霧里的孩子眼前一亮，豁然開朗，紛紛向他豎起大拇指：“明白了，你太厲害啦！”

教師再三講無效，學(xué)生一次“畫”明理。畫一畫，將枯燥抽象的算式化為直觀具體的動態(tài)思考過程，輕而易舉地理解為什么用“和減一個加數(shù)”的道理。

第一學(xué)段的學(xué)生，思維處于從具體形象向抽象過渡的階段，但仍以具體形象思維為主，他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中需要具體事物的支撐。如何讓他們親近數(shù)學(xué)，尋找這塊抽象與直觀的中間地帶？筆者在數(shù)學(xué)課堂引導(dǎo)學(xué)生畫“數(shù)學(xué)畫”，運用直觀之“形”表征抽象之“數(shù)”，借助“畫圖”，讓學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念顯現(xiàn)成自己可以接受和理解的形式，在畫“數(shù)學(xué)”中做到手腦并用、發(fā)展思維、形成技能，感悟數(shù)學(xué)思想。

2.篤行：“數(shù)學(xué)畫”的教學(xué)策略

2.1 運用“兩變”，理數(shù)學(xué)概念由復(fù)雜為簡單。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的起點，是邏輯推理的依據(jù)。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。但由于數(shù)學(xué)概念往往是一種思維語言，比較抽象，而第一學(xué)段學(xué)生的思維水平以具象為主，這就造成了概念學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點之一。而“數(shù)學(xué)畫”以其形象具體，簡單明了，能直觀形象地呈現(xiàn)學(xué)生思考過程，將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)換成自己可以接受理解的形式，便于學(xué)生理解概念，掌握概念的本質(zhì)所在。

2.1.1 變“主題圖”為“數(shù)學(xué)畫”，由繁到簡。低段孩子識字量少，教材中安排了大量主題圖來幫助孩子理解知識，形成數(shù)學(xué)概念。但其圖畫的復(fù)雜或意思表述過程的隱澀，有些難以讓低段孩子清晰理解，不便于模仿與創(chuàng)作。如一年級上冊《加法》中，呈現(xiàn)了以下主題圖：

主題圖的設(shè)計，讓學(xué)生通過思維加工，直觀呈現(xiàn)動態(tài)過程，從而明白“把兩部分合在一起”就是加法。不過書本的圖畫比較復(fù)雜，學(xué)生難以操作。在此基礎(chǔ)上筆者設(shè)計以下引導(dǎo)：

師：你能創(chuàng)造出更簡單的圖畫表示加法嗎？

生1：有4個女孩站在草地上，一個小男孩看到了，也走到她們一起?，F(xiàn)在一共有4+1=5(人)。

生2：媽媽昨天買了4個蘋果，今天又買來2個?，F(xiàn)在一共有4+2=6(個)。

生3：有3位男生，2位女生，因為人太難畫了，所以我用○表示男生，△表示女生，一共有3+2=5(人)。

生4：人比較難畫，所以我就用數(shù)字圓圈3表示3個男生，圓圈2表示2個女生，這樣會畫得很快。

這些是孩子們從自己的角度，思考繪畫出的作品。從“數(shù)學(xué)畫”中不難發(fā)現(xiàn)：孩子們有了自己創(chuàng)作的符號(箭頭，圓圈)，作品也比原來簡單(由具體實物到符號)。在這由最初的模仿到自己的創(chuàng)造過程中，理解了“加法”概念，創(chuàng)作出一幅幅“數(shù)學(xué)畫”，展示了多種類型的加法。在創(chuàng)造的過程中理解了“加法”概念本質(zhì)。

2.1.2 變“文字”為“數(shù)學(xué)畫”，由抽象到具體。教材中很多概念都是以純文字的形式出現(xiàn)，這種抽象的文字描述，不便于低年級學(xué)生理解，因為低年級學(xué)生理解、閱讀等能力都比較弱，把一個個單個文字串聯(lián)起來理解對他們來說太難了。但是如果借助“數(shù)學(xué)畫”，以形象直觀的形式呈現(xiàn)，能收到事半功倍的效果。例如《分數(shù)的初步認識》在二下教學(xué)中的設(shè)計，在初步感知“二分之一”這個分數(shù)的基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計了讓學(xué)生通過畫一畫，創(chuàng)造出一個自己喜歡的分數(shù)。

自主探究：

(1)畫一畫，用你喜歡的方式把這個數(shù)表示出來？

(2)說一說，和同桌交流一下想法？

展示交流，

(1)有把1米長的線段平均分成4份，其中的一份就是四分之一米，有把一個圓圓的月餅平均分成8份，其中的一份就是八分之一個月餅，有把一個長方形蛋糕平均分成16份的，其中的一份就是十六分之一個蛋糕。

(2)再把創(chuàng)造出四分之一的幾幅不同作品展示在一起，再次討論“為什么這些作品都可以用四分之一來表示呢？”對照“數(shù)學(xué)畫”，學(xué)生各抒己見，總結(jié)出只要把1個物體平均分成4份，其中的1份就是四分之一。

教學(xué)從二分之一到幾分之一又聚焦到四分之一，通過畫一畫，觀察比較“數(shù)學(xué)畫”、經(jīng)歷小組、集體交流等方式，使學(xué)生深刻理解分數(shù)作為“量”的含義?！皵?shù)學(xué)畫”能將抽象的文字轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笾庇^的圖式，在低段數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中起到舉足輕重的作用。

2.2 畫出過程，變計算法理由抽象為直觀。計算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的十大核心概念之一，既是學(xué)生在小學(xué)階段必須掌握的一項基本技能，也是以后向更高層次學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。小學(xué)低年段更是提高計算能力的關(guān)鍵時期，培養(yǎng)一個孩子的計算能力不是“會算”就好，更重要的是引發(fā)孩子對“怎樣算？為什么這樣算？”等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，理解算理算法是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點之一。利用“數(shù)學(xué)畫”可以將枯燥抽象的算式化為直觀具體的動態(tài)思考過程，在具體直觀形象中掌握算理。

2.2.1 畫一畫，知算法。所謂算法，指的就是計算方法，就是把復(fù)雜的思維過程進行簡單化，然后添加一些后天人為規(guī)定的固定操作步驟，即計算法則。文章前面所遇到的“9+( )=17”的題型，很多孩子不明白為什么是用減法計算，這時候我們只要借助“數(shù)學(xué)畫”就把方法直觀具體地呈現(xiàn)，讓學(xué)生輕而易舉地知道解決該類型問題要用減法計算。例如一年級教學(xué)《9加幾》一課教學(xué)中，筆者作了如下設(shè)計:

師：小朋友，9+4=？不借助小棒，你能用畫一畫的方式算出結(jié)果嗎？

生1：:左邊畫9根小棒，右邊畫4根，從9開始往后數(shù)4個數(shù)，結(jié)果是13。

生2：左邊畫9個○，右邊畫4個○，先從右邊4個○中拿一個○給左邊，湊成10個，10個再加右邊的3個，一共13個。

生3：我的方法更簡單，左邊寫9，右邊寫4，把4分成1和3，1給9湊成10，10再加3等于13。

低年級的孩子都喜愛畫畫，孩子們用自己的畫把9+4的計算方法一一展示出來，通過作品的交流進行了思維碰撞，在對比中總結(jié)出9加幾的計算方法。不斷激發(fā)孩子們的數(shù)學(xué)潛能。

2.2.2 畫一畫，明算理。算理指的就是在計算過程中存在的道理，即在計算過程中的思維方式，也即對問題的思考與分析。例如筆者在面批二年級下冊《有余數(shù)的除法》中的一道練習(xí)題時，出現(xiàn)了如下插曲：

師：某某同學(xué)，6道題目錯3題，好好訂正。

只見這位孩子皺著眉頭回到座位，幾秒鐘耳邊響起“老師，你批錯了，我是正確的”。我笑了笑，把這位孩子的作業(yè)放在展示臺上，讓其他小老師評一評。

出乎我的意料，全班五分之二的學(xué)生認為這樣寫是正確的，理由和上面同學(xué)一致。還有五分之三的孩子認為錯誤。雙方爭執(zhí)不下。不知誰冒出一句“用數(shù)學(xué)畫來檢驗一下”。教室里瞬間鴉雀無聲。幾秒鐘，只聽到“啊，我明白了！的聲音”幾筆一畫就找到了原因，這是孩子們驗證的作品：

生1：我畫了9根小棒，1根圈起來為一份，正好圈了9份，沒有剩余，不可能是6份還余3根，因為余下的3根還可以分成3份。

生2：我畫了15個○，每2個○為一份圈起來，可以圈7次，還余下1個○，不是6余3，這余下的3個○里面還可以圈一份。

生3：我畫了21根小棒，拿來擺三角形，畫一個三角形要3根小棒，21根正好可以畫7個三角形。也沒有余數(shù)。因為余下的3根小棒正好可以畫一個三角形，所以是沒有剩余的?！?/p>

生4：我找到這幾道錯題的原因了，它們的余數(shù)>除數(shù)，我們學(xué)習(xí)的有余數(shù)除法中，應(yīng)該余數(shù)<除數(shù)。

不需要老師多言語，從一幅幅直觀的“數(shù)學(xué)畫”中，解釋了有余數(shù)除法中余數(shù)必須要小于除數(shù)的算理?！盁o聲勝有聲”在這里得到了很好的詮釋。運用“數(shù)學(xué)畫”學(xué)生不僅能全身心地投入，還能結(jié)合生活實際查找錯誤的原因，將抽象的計算深入直觀形象地呈現(xiàn)，促進算法算理的掌握，促進思維的發(fā)展。

2.3 借助畫圖，求問題解決由枯燥為生動?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年)》提出的課程目標(biāo)中，把解決問題作為重要的課程目標(biāo)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，基本上每一單元后面都安排有解決問題，可見解決問題在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。解決問題一般都是以純文字呈現(xiàn)，比較枯燥乏味，低年級學(xué)生理解、閱讀、提取信息等能力都比較弱，因此借助畫圖，可以幫助學(xué)生把抽象問題形象直觀化，使他們能從圖中理解題意和分析數(shù)量關(guān)系，尋找到解決問題的突破口，提高解決問題的能力。更重要的是學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”，感受數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系,體驗成功的快樂。

2.3.1 善用“數(shù)學(xué)畫”，正確理解題意。低年級孩子由于識字量少，理解能力比較弱，光靠讀文字，理解不了題目的含義，這時候我們可以借助“數(shù)學(xué)畫”幫助理解題目的意思。例如在一年級下冊練習(xí)課上有這樣的兩道題：

小朋友排隊唱歌，小明的前面有9人，小明的后面有6人。一共有多少人？

小朋友排隊唱歌，從前往后數(shù)，小明是第9個，從后往前數(shù)，小明是第6個。一共有幾人？

先讓孩子們試著自己做一做，兩道題都做對的寥寥無幾。

師：那我們用“演一演”來幫助。

一群學(xué)生上來，根據(jù)題目的意思排好隊，然后，討論列式計算，并把列出的算式與小演員一一對應(yīng)，理解算理。

師：還有什么好辦法幫助我們理解題目的意思？

生1：老師，我我覺得還可以用“畫一畫”的方法，這個方法比“演一演”簡單多了。

這一提醒，立刻激發(fā)了孩子們的探究欲望。學(xué)生展示的圖如下：

通過這樣的“數(shù)學(xué)畫”學(xué)生立即理解了兩道題目的含義以及它們之間的區(qū)別，第一題應(yīng)該列式為：9+6+1=16，第二題列式為：9+6-1=14。并且知道小明排第9個說明他的前面有8個，后面有5個。這樣的數(shù)學(xué)問題如果讓學(xué)生憑空想象，恐怕很難，而通過畫圖，學(xué)生自己就能夠理解題意，明白其中的道理，從而列出算式，深刻體會到“數(shù)學(xué)畫”在解決問題中的作用。

2.3.2 妙用“數(shù)學(xué)畫”，準(zhǔn)確表達想法。讓學(xué)生講述解題思路是高效學(xué)習(xí)的好方法。但是小學(xué)生受知識與能力所限，并不能很好地表達自己的想法，因此借助于“數(shù)學(xué)畫”表達自己的想法便成為一種行而有效的方法。例如二年級《角的初步認識》作業(yè)中的一道解決問題，筆者如下教學(xué)：

題目：把長方形剪去一個角，還剩幾個角?你是怎樣想的？

生1:3個。生2:4個。生3:5個

學(xué)生意見紛紛，都覺得自己的答案很有道理，但是無法用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表達自己的想法。

師：請大家把自己的想法畫在紙上。

在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生在一筆一畫中輕松地找到了答案，學(xué)生的圖示集中如下：

生4：可以沿著邊對邊剪，這樣就剩下5個角。

生5：沿著邊對角剪，這樣剩下4個角。

生6：沿著角對角剪，剩下3個角。

學(xué)生借助圖說出自己的剪法，具體形象，思路清晰。

低段的學(xué)生有很強的表達愿望，很愿意表達自己的觀點和看法，但由于受詞匯積累少，語言比較單一等原因，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：學(xué)生知道自己是用什么思路解決，但是卻表達不清楚。在實踐中，老師能適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生借助“數(shù)學(xué)畫”進行表達，學(xué)生的講述往往會變得較為流暢、清晰。

2.3.3 巧用“數(shù)學(xué)畫”，精確分析數(shù)量關(guān)系。低段學(xué)生思維處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡時期?！爱媹D”實際上是對現(xiàn)實中數(shù)學(xué)問題不斷形象的過程，它能夠摒除非數(shù)學(xué)因素而直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。在運用畫圖幫助分析的過程中，將文字轉(zhuǎn)化成直觀圖示，呈現(xiàn)出清晰數(shù)量關(guān)系。這一系列的畫圖與分析完整地搭建了從“形象”到“抽象”演變橋梁，使學(xué)生學(xué)會分析與思考，真正推動他們思維不斷提升。例如二年級的《鋸木頭》一課教學(xué)，筆者設(shè)計如下：

題目：爸爸把一根木頭鋸成了9段，每鋸一次要用7分鐘，爸爸鋸?fù)赀@根木頭要用多少分鐘？

全班90%的學(xué)生都用了畫圖的方法，這是學(xué)生的作品：

生1：畫一個細細長長的長方形表示木頭，鋸一次木頭變成2段，所以鋸9段，只需要鋸8次就好。

生2：畫一條線段表示木頭，我也鋸8次就有9段了。

師：通過剛才的畫一畫，你們都有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：：鋸的段數(shù)比鋸的次數(shù)要多1(鋸的段數(shù)=鋸的次數(shù)+1)。

生5：鋸的次數(shù)比段數(shù)少1(鋸的次數(shù)=鋸的段數(shù)-1)

純粹讀題對孩子們而言發(fā)現(xiàn)不了它們之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過畫一畫，使問題中涉及的數(shù)量關(guān)系變得直觀，將思維外顯化，有助于學(xué)生快速找到解題方法。

3.結(jié)束語

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說過：“圖形可以幫助我們刻畫描述數(shù)學(xué)問題，圖形可以幫助我們找到解決數(shù)學(xué)問題的思路，圖形能幫助我們理解和記憶所得到的數(shù)學(xué)結(jié)果?！薄皵?shù)學(xué)畫”，抽象與直觀的中間地帶，我們要善于利用、合理引導(dǎo)，幫助學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，從而提高解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。