應(yīng)用Volterra級(jí)數(shù)識(shí)別液阻懸置非線性阻尼參數(shù)

甄冬,高中正,2,劉曉昂*，,2

(1. 河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,天津 300130;2. 天津市新能源汽車(chē)動(dòng)力傳動(dòng)與安全技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300130)

動(dòng)力總成是引起汽車(chē)振動(dòng)的主要振源,需要懸置結(jié)構(gòu)這一非線性減振隔振元件對(duì)其進(jìn)行處理。目前在汽車(chē)上應(yīng)用最廣泛的懸置結(jié)構(gòu)是液阻懸置,其主要是利用阻性液體往復(fù)流經(jīng)液體阻尼結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的黏滯阻力來(lái)進(jìn)行工作的,可以使運(yùn)行車(chē)輛在受到低頻大振幅和高頻小振幅兩種振動(dòng)時(shí),能合理分配適宜大小的阻尼和剛度特性來(lái)實(shí)現(xiàn)隔振減振的效果,所以在動(dòng)特性方面較為復(fù)雜,對(duì)于其隔振減振性能的分析和優(yōu)化尤為重要。因液阻懸置各組成部件的動(dòng)力學(xué)參數(shù)與其減振隔振性能有影響關(guān)系,所以參數(shù)獲取對(duì)于液阻懸置動(dòng)態(tài)特性曲線的設(shè)計(jì)與修正具有重要意義。

液阻懸置作為一個(gè)典型的非線性系統(tǒng),需要建立較為準(zhǔn)確的非線性模型來(lái)進(jìn)行描述,可以為后面包括參數(shù)識(shí)別在內(nèi)的一些工作建立基礎(chǔ)。Geisberger等[1]考慮到上腔室、解耦盤(pán)和慣性通道的非線性特性,建立了適用于低頻和高頻特性的液阻懸置非線性模型。Li等[2]在改善液阻懸置性能時(shí)也考慮了此模型。Christopherson等[3]建立了慣性通道-解耦盤(pán)式液阻懸置的非線性集總參數(shù)模型,將解耦盤(pán)的非線性行為引入了懸置系統(tǒng)。Turnip等[4]對(duì)一種四腔室的液阻懸置引入了一個(gè)氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)施加的力,開(kāi)發(fā)了該懸置的非線性模型。Zhou等[5]考慮了解耦膜的變剛度特性,給出了帶有懸浮式解耦器的液阻懸置的一種集總參數(shù)模型。Sakong等[6]提出了“液壓”模型代替常用的集總或機(jī)械模型來(lái)表示液阻懸置。

Volterra級(jí)數(shù)理論是研究非線性系統(tǒng)的分析方法之一,可用于解決非線性系統(tǒng)的建模、求解和分析等問(wèn)題。剛度和阻尼參數(shù)的識(shí)別是Volterra級(jí)數(shù)理論應(yīng)用的兩個(gè)重要領(lǐng)域,基于此理論下的非線性系統(tǒng)剛度和阻尼參數(shù)的識(shí)別方法也應(yīng)運(yùn)而生[7]。Lee[8]提出了一種基于廣義頻率響應(yīng)函數(shù)(GFRF)估計(jì)理想非線性系統(tǒng)參數(shù)的直接方法。Chatterjee[9]利用遞推迭代法進(jìn)一步發(fā)展了該方法。Peng等[10]基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的概念,提出了一種多自由度非線性系統(tǒng)剛度和阻尼參數(shù)估計(jì)的新算法。

本文基于Volterra級(jí)數(shù)理論,以慣性通道-浮動(dòng)解耦盤(pán)式液阻懸置為研究對(duì)象,提出了該液阻懸置非線性阻尼滯后角和其液體阻尼機(jī)構(gòu)的非線性阻尼參數(shù)識(shí)別方法。該方法本質(zhì)上屬于一種間接試驗(yàn)法。與其包括的特征點(diǎn)[11]和不動(dòng)點(diǎn)[12]法不同,特征點(diǎn)法和不動(dòng)點(diǎn)法只應(yīng)用了動(dòng)特性曲線上的某幾個(gè)點(diǎn),易受選點(diǎn)誤差的影響。而該方法在一定范圍內(nèi)充分利用了動(dòng)特性實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù),可以在知道輸出和部分結(jié)構(gòu)參數(shù)的情況下來(lái)較為簡(jiǎn)單的獲得液體阻尼機(jī)構(gòu)的阻尼參數(shù),且在一定范圍的激勵(lì)頻率下得到的該阻尼參數(shù)識(shí)別值與實(shí)驗(yàn)得到的參數(shù)值之間的誤差能保持在3%以內(nèi)。另外由Volterra級(jí)數(shù)理論識(shí)別得到的液阻懸置阻尼滯后角已由平均法對(duì)比驗(yàn)證,和液體阻尼機(jī)構(gòu)的阻尼參數(shù)識(shí)別結(jié)果一樣表現(xiàn)出了較好的一致性。

1 液阻懸置的數(shù)學(xué)模型

慣性通道-浮動(dòng)解耦盤(pán)式液阻懸置的特點(diǎn)在于它內(nèi)部的液體阻尼結(jié)構(gòu)是解耦盤(pán)和慣性通道。其中解耦盤(pán)存在于上下開(kāi)口的金屬通道內(nèi),可根據(jù)激勵(lì)的幅度使流體通過(guò)或阻塞。慣性通道是一個(gè)環(huán)繞在解耦器周?chē)穆菪后w通道,流體可通過(guò)這里在上下腔室之間來(lái)回震蕩,從而產(chǎn)生阻尼[13]。該液阻懸置的整體結(jié)構(gòu)如圖1所示

基于Christopherson的研究[3],建立如圖2所示的浮動(dòng)解耦盤(pán)式液阻懸置的集總參數(shù)模型。

圖2 液阻懸置集總參數(shù)模型

(1)

式中：E是解耦盤(pán)的非線性阻尼參數(shù)；Δ為解耦盤(pán)的一半自由行程。

圖3 浮動(dòng)解耦盤(pán)的結(jié)構(gòu)圖

基于液阻懸置的動(dòng)量、流量和連續(xù)性方程,再考慮上解耦通道閉合的影響,可以得到慣性通道-浮動(dòng)解耦盤(pán)式液阻懸置的非線性數(shù)學(xué)模型為:

(2)

式中：C=AP/C1；角標(biāo)i和d分別代指慣性通道和解耦盤(pán)；M為流體質(zhì)量；x為液柱位移輸出；B為液體阻尼機(jī)構(gòu)的線性阻尼參數(shù)；AP為主簧的等效面積；C1和C2分別為上、下腔室的體積柔度；K為上、下腔室體積剛度之和。

2 Volterra級(jí)數(shù)理論

以f(t)為輸入激勵(lì),x(t)為輸出響應(yīng)的一般物理系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可由Volterra級(jí)數(shù)[9]表示為

…=x1(t)+…+xn(t)+…

(3)

式中hn(τ1,…,τn)為n階Volterra核函數(shù),是表征各種非線性階次的高階脈沖響應(yīng)函數(shù)。高階頻率響應(yīng)函數(shù)FRF被定義為高階脈沖響應(yīng)函數(shù)的多維傅里葉變換,其形式為

(4)

假設(shè)非線性系統(tǒng)受到一個(gè)輸入激勵(lì)

(5)

則該系統(tǒng)的輸出響應(yīng)可以表示為

(6)

其中

(7)

對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)的參數(shù)化模型,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)FRF可以使用諧波探測(cè)法[14]求得。因FRF只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)而不與系統(tǒng)輸入相關(guān),此時(shí)可假設(shè)液阻懸置系統(tǒng)受到一個(gè)指數(shù)組合的輸入激勵(lì)來(lái)較為簡(jiǎn)單的獲得FRF的結(jié)構(gòu)式。

3 液阻懸置的非線性阻尼參數(shù)識(shí)別

本部分基于上文提到的Volterra級(jí)數(shù)理論識(shí)別了液體阻尼機(jī)構(gòu)(解耦盤(pán))的非線性阻尼參數(shù)以及液阻懸置系統(tǒng)的非線性阻尼滯后角,并又利用平均法求解了液阻懸置系統(tǒng)的非線性阻尼滯后角以用于后文的對(duì)比驗(yàn)證。

3.1 Volterra級(jí)數(shù)理論識(shí)別液體阻尼機(jī)構(gòu)非線性阻尼參數(shù)

在等式(5)表示的輸入激勵(lì)下,該液阻懸置系統(tǒng)的FRF可表示為:

(8)

(9)

其中：

(10)

在輸入信號(hào)式(5)的激勵(lì)下,輸出響應(yīng)式(6)在頻域下可由Volterra級(jí)數(shù)表示為

(11)

考慮到液阻懸置系統(tǒng)的各階FRF在分母上是相同的,取1階和3階FRF,由復(fù)數(shù)的構(gòu)成性質(zhì)可得液體阻尼機(jī)構(gòu)的非線性阻尼參數(shù)E為

現(xiàn)在只需再知道其結(jié)構(gòu)式中的1階和3階FRF以及部分結(jié)構(gòu)參數(shù)(一般由試驗(yàn)法測(cè)得)的數(shù)值,即可代入求得非線性阻尼參數(shù)這個(gè)難以直接測(cè)量的參數(shù)值。

由等式(11)可知,X(ω)是關(guān)于FRF的函數(shù)。因此使用具有不同激勵(lì)幅值A(chǔ)的輸入信號(hào)(式(5))來(lái)得到多種X(ω)的值,并忽略高階項(xiàng),就可以通過(guò)列矩陣來(lái)估算出前幾階的FRF值。在這里采用4種不同激勵(lì)幅值A(chǔ)1、A2、A3、A4的輸入信號(hào),分別對(duì)應(yīng)一次諧波響應(yīng)振幅X1(ω)、X2(ω)、X3(ω)和X4(ω)?？紤]到保留項(xiàng)數(shù)越多,FRF的估算就越精確,在這里取用等式(11)的前四項(xiàng),可以列矩陣為

通過(guò)求解矩陣(13),就可以將各階次FRF的值與其各自的結(jié)構(gòu)式達(dá)成對(duì)應(yīng)關(guān)系,進(jìn)而由識(shí)別式(12)得到液體機(jī)構(gòu)非線性阻尼參數(shù)的識(shí)別值。

3.2 Volterra級(jí)數(shù)理論識(shí)別液阻懸置非線性阻尼滯后角

假設(shè)液阻懸置系統(tǒng)受到正弦信號(hào)激勵(lì)為

x=Asinωt

(14)

為了對(duì)非線性下的液阻懸置模型式(2)進(jìn)行頻率響應(yīng)分析,傳遞力方程可被表示為

fT=KrAsinωt+BrAωcosωt+ApP1sin(ωt+φ1)(15)

式中：Kr和Br分別為主簧的動(dòng)剛度和阻尼參數(shù)。所尋求的解可以用fT=FTsin(ωt+φ)表示,在使用適當(dāng)?shù)暮愕仁街?等式(15)可以表示為:

(16)

式中φ為系統(tǒng)的非線性阻尼滯后角。

式(15)中的壓力項(xiàng)為

(17)

基于本文提到的Volterra級(jí)數(shù)理論,在正弦信號(hào)(式(14))的激勵(lì)下,可將解耦盤(pán)和慣性通道的液柱位移輸出用級(jí)數(shù)表示為

(18)

為了便于后續(xù)計(jì)算,在這里取N=3,使輸出響應(yīng)(式(18))近似于3階非線性模型,并將其代入式(17)中,即可得到:

(19)

其中

忽略掉極小量的級(jí)數(shù)項(xiàng),此時(shí)通過(guò)聯(lián)立式(16)與式(19)即可得到該液阻懸置的非線性阻尼滯后角φ。

3.3 平均法求解液阻懸置非線性阻尼滯后角

考慮到本液阻懸置數(shù)學(xué)模型(2)中的非線性項(xiàng)f為高階小量,因而對(duì)此類(lèi)非線性系統(tǒng)常采用平均法[15]來(lái)表達(dá)出系統(tǒng)的輸出響應(yīng),并與新提到的應(yīng)用于液阻懸置的Volterra級(jí)數(shù)法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

當(dāng)液阻懸置系統(tǒng)受到正弦激勵(lì)式(21)時(shí),可以認(rèn)為集總參數(shù)模型(式(2))的解具有如下形式：

(21)

其中振幅和相位均為時(shí)間t的慢變函數(shù)。記φd=wτ+φd和φi=wτ+φi,因非線性項(xiàng)f為高階小量,其振幅和相位在φd和φi的一個(gè)周期2π內(nèi)緩慢變化,這就使式(21)在本質(zhì)上是穩(wěn)態(tài)的,不會(huì)隨時(shí)間變化,所以需要消除方程中的時(shí)間導(dǎo)數(shù),即可得到描述解耦盤(pán)和慣性通道振幅的隱式頻率響應(yīng)函數(shù)及相位角方程為

(22)

(23)

將等式(22)中的隱式解和式(23)的相位角代入等式(21)中,由適當(dāng)?shù)娜呛愕仁阶儞Q后可得到:

(24)

其中

(25)

同理聯(lián)立等式(16)、式(24)即可在平均法下得到液阻懸置的非線性阻尼滯后角φ。

4 結(jié)果分析

4.1 驗(yàn)證液體阻尼機(jī)構(gòu)的非線性阻尼參數(shù)的識(shí)別精度

由已知文獻(xiàn)[16]確認(rèn)了表1所示的該種類(lèi)型液阻懸置的一組參數(shù)值,可用于本文的數(shù)值分析。

表1 由試驗(yàn)法獲得的部分液阻懸置參數(shù)值

本文采用一數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行仿真來(lái)驗(yàn)證基于Volterra級(jí)數(shù)法得到的識(shí)別公式的準(zhǔn)確性。考慮到液阻懸置主要受到低頻大振幅和高頻小振幅的工作激勵(lì),因此仿真驗(yàn)證也會(huì)采用這兩種常見(jiàn)的工況來(lái)進(jìn)行。

在低頻高幅值信號(hào)激勵(lì)下,首先假設(shè)表1所示的參數(shù)已知,構(gòu)建液阻懸置的數(shù)學(xué)模型,給予正弦輸入激勵(lì),幅值A(chǔ)分別為0.2,0.3,0.4,0.5 mm,取采樣時(shí)間為0.001 s,仿真時(shí)間為2 s,設(shè)定1～10 Hz的低激勵(lì)頻率,每隔1 Hz進(jìn)行采樣,可得到不同情況下的解耦盤(pán)和慣性通道的液柱位移輸出(該輸出在實(shí)驗(yàn)條件下可由流量傳感器獲得)。將時(shí)域輸出轉(zhuǎn)為頻域輸出,得到前3階FRF的值,即可接著用于非線性阻尼參數(shù)E的結(jié)構(gòu)式中得到其識(shí)別值。

對(duì)于解耦盤(pán)和慣性通道,其液柱位移輸出響應(yīng)可由示波器給出。選用其中一種激勵(lì)情況(f=6 Hz,A2=0.3 mm),其時(shí)域和頻域下的輸出響應(yīng)圖如圖4所示。

圖4 解耦和慣性通道的液柱位移輸出響應(yīng)

在采集了各情況下的輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)后,可以運(yùn)算得到如表2所示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表2 低頻范圍內(nèi)的識(shí)別值

由上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果所知,在1～10 Hz的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)得到的解耦盤(pán)的非線性阻尼參數(shù)E較標(biāo)準(zhǔn)值來(lái)說(shuō)極為接近,其相對(duì)誤差在3%以內(nèi)。說(shuō)明本文推導(dǎo)的非線性阻尼參數(shù)識(shí)別公式在低頻高幅值激勵(lì)下具有一定的準(zhǔn)確性。

在高頻低幅值信號(hào)激勵(lì)下,考慮到利用Volterra級(jí)數(shù)進(jìn)行識(shí)別時(shí)會(huì)在共振頻率范圍附近出現(xiàn)得值不收斂的情況[8],所以遠(yuǎn)離液阻懸置共振頻率(100 Hz左右)取用20～70 Hz范圍內(nèi)的激勵(lì)頻率,設(shè)定A分別為0.02 mm,0.03 mm,0.04 mm,0.05 mm的低幅值,采樣時(shí)間為0.000 5 s,仿真時(shí)間為1 s,每隔10 Hz進(jìn)行采樣,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如3所示?？梢杂^察到解耦盤(pán)的非線性阻尼參數(shù)E與標(biāo)準(zhǔn)值之間的相對(duì)誤差依然能保持在3%左右。

表3 高頻范圍內(nèi)的識(shí)別值

4.2 驗(yàn)證液阻懸置的非線性阻尼滯后角的識(shí)別精度

對(duì)于液阻懸置的非線性阻尼滯后角,可參照分別由Volterra級(jí)數(shù)法和平均法得到的推導(dǎo)公式來(lái)獲得,并進(jìn)行比較驗(yàn)證。為了便于比對(duì)分析,用表1提供的阻尼參數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)用于接下來(lái)的數(shù)值分析。取激勵(lì)振幅A=0.2 mm,激勵(lì)頻率范圍為0～200 Hz且每隔10 Hz取樣,其他已知參數(shù)不變,可繪制出在兩種方法求解下的液阻懸置非線性阻尼滯后角隨激勵(lì)頻率變化的曲線圖。

圖5 液阻懸置阻尼滯后角曲線圖

由圖5可知,隨著激勵(lì)頻率的變化,由兩種方法得到的液阻懸置非線性阻尼滯后角的變化曲線是基本吻合的,可以證明Volterra級(jí)數(shù)法具有替換平均法進(jìn)行求解的意義。因平均法一般受限于非線性項(xiàng)的性質(zhì),所以難以較大范圍的進(jìn)行應(yīng)用,而此時(shí)的Volterra級(jí)數(shù)法就不會(huì)受到這個(gè)限制,可以直接以級(jí)數(shù)的方式表示出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)來(lái)用于后續(xù)液阻懸置阻尼滯后角的計(jì)算。另外可以知道,當(dāng)選用較多階數(shù)的Volterra級(jí)數(shù)模型時(shí),對(duì)于液阻懸置阻尼滯后角的識(shí)別會(huì)更精確。

5 結(jié)論

本文通過(guò)將Volterra級(jí)數(shù)理論應(yīng)用于慣性通道-浮動(dòng)解耦盤(pán)式液阻懸置這一實(shí)際模型,研究了在某一輸入激勵(lì)下非線性系統(tǒng)輸出與阻尼參數(shù)之間的關(guān)系,推導(dǎo)出了求解液阻懸置的液體阻尼機(jī)構(gòu)非線性阻尼參數(shù)和系統(tǒng)阻尼滯后角的識(shí)別公式,并結(jié)合數(shù)值仿真得到了以下結(jié)論:

1) 兩種激勵(lì)工況下的仿真結(jié)果均能證實(shí)本文基于Volterra級(jí)數(shù)理論推導(dǎo)的液體阻尼機(jī)構(gòu)的非線性阻尼參數(shù)識(shí)別公式在一定誤差要求范圍內(nèi)具有準(zhǔn)確性。

2) 由平均法和Volterra級(jí)數(shù)法分別得到的液阻懸置非線性阻尼滯后角基本吻合,可知Volterra級(jí)數(shù)法具有代替平均法進(jìn)行求解的作用。

3) 在輸出和部分結(jié)構(gòu)參數(shù)已知(可由試驗(yàn)直接測(cè)得)的情況下,本文提到的Volterra級(jí)數(shù)法可用于間接得到液阻懸置中從微觀到宏觀的主要未知非線性阻尼參數(shù)。