基于收益權(quán)重的多期投資組合優(yōu)化模型

胡晨陽，高岳林,2

（1.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏銀川 750021；2.北方民族大學(xué)寧夏科學(xué)計(jì)算與智能信息處理協(xié)同創(chuàng)新中心，寧夏銀川 750021）

在現(xiàn)今經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的時代，人們對持有資產(chǎn)的分配方式不再局限于銀行存儲，更多人選擇資產(chǎn)投資以增加其財(cái)富。最初對投資組合的研究可以追溯到Markowitz對單周期投資組合選擇問題所提的MV模型的研究[1]。進(jìn)而，Gordon J等[2]將風(fēng)險價值（VaR）與均值-方差分析相聯(lián)系，檢驗(yàn)用均值-VaR模型進(jìn)行投資組合選擇的經(jīng)濟(jì)意義。

實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動中，投資者會在不同時期重新分配自己的資產(chǎn)來優(yōu)化投資策略，以規(guī)避風(fēng)險，求得最終財(cái)富最大化。因此，許多學(xué)者都將這種經(jīng)典的單周期均值方差投資組合模型擴(kuò)展到多周期投資組合選擇里。如Yan等[3]用半方差代替方差，提出了多階段-半方差投資組合優(yōu)化模型。Gao Jianjun等[4]考慮時間基數(shù)約束構(gòu)建均值方差動態(tài)組合選擇問題，通過對不同基數(shù)的求解，可以有效地解決帶管理費(fèi)的MV動態(tài)投資組合選擇問題，從而制定最佳的擇時策略。Zhang Peng等[5]用可能性絕對偏差控制風(fēng)險，提出考慮多種摩擦因素的多期投資組合模型，用離散近似迭代法求解。

Mehlawat M K等[6]考慮熵作為風(fēng)險度量，利用模糊收益的可信度熵對投資組合風(fēng)險進(jìn)行量化，利用離散選擇和區(qū)間兩種方法建立了基于可信度的財(cái)務(wù)目標(biāo)多選擇期望層次模糊優(yōu)化模型，并采用一種嵌入多選擇目標(biāo)規(guī)劃的模糊可信規(guī)劃方法驗(yàn)證模型。Brandtner M等[7]進(jìn)行了相關(guān)熵風(fēng)險度量（CERM）和凸熵風(fēng)險度量（ERM）兩種熵風(fēng)險度量下的比較靜態(tài)分析，分析存在獨(dú)立背景風(fēng)險時的有風(fēng)險與無風(fēng)險組合問題，發(fā)現(xiàn)在CERM下，引入背景風(fēng)險時，最優(yōu)風(fēng)險投資總是增加而不是減少，而在ERM下，它仍然不受影響。AksaraylM等[8]提出一種基于均值-方差-偏度-峰度-熵模型的多項(xiàng)式目標(biāo)規(guī)劃模型，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型有效。Jadhao G等[9]使用樣本熵和近似熵指標(biāo)探索基于風(fēng)格、規(guī)模和時間水平的組合輪換策略的可行性。Deng X等[10]用熵度量風(fēng)險，建立基于可信度理論的模糊均值平均熵模型，對最大化收益模型和最小化風(fēng)險模型中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束系數(shù)的敏感性進(jìn)行分析并驗(yàn)證其實(shí)用性。

傳統(tǒng)的MV模型假設(shè)收益率服從正態(tài)分布，但收益率不能完全滿足假設(shè)，就會導(dǎo)致最終結(jié)果不能準(zhǔn)確應(yīng)用到實(shí)際投資中。江璐瑤[11]考慮方差度量風(fēng)險的局限性，構(gòu)建均值-熵模型，其中收益率期望用每個時間段收益占總時間段收益權(quán)重計(jì)算，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證收益權(quán)中的合理性及模型的有效性。熵衡量的是系統(tǒng)偏離均勻分布的程度，是一種宏觀層面的風(fēng)險度量，所以單純用熵度量風(fēng)險會存在一些盲點(diǎn)。鑒于此，本文在引入收益權(quán)重的基礎(chǔ)上，建立可能性均值-下半方差-熵多期投資組合優(yōu)化模型，相較于單風(fēng)險測量模型。本文所建模型能夠在考慮宏觀和微觀兩個層面的風(fēng)險的同時確保獲取超額收益，且能更大程度規(guī)避風(fēng)險。利用模糊決策理論和多目標(biāo)規(guī)劃方法，將模型轉(zhuǎn)化為清晰的非線性規(guī)劃問題，用改進(jìn)的遺傳算法進(jìn)行求解。

一、基本概念

定義1[12]設(shè)模糊集∈F(U)，任意γ∈[0,1]的，那么：

定義 2[12]設(shè)=(a,b,α,β)為梯形模糊數(shù)，帶風(fēng)險態(tài)度的梯形模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)定義為：

k是大于0的實(shí)數(shù)，被看作是風(fēng)險態(tài)度的適應(yīng)值。求解式(2)隸屬度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，k越小，投資者就越厭惡風(fēng)險，越想要逃避該風(fēng)險。

定義3[15]設(shè)模糊數(shù)，在γ-水平截集下的可能性均值、下半方差為：

定義 4[16]設(shè)=(a,b,α,β)是梯形模糊數(shù)，由的γ-水平截集可以推出的可能性下方差為：

假設(shè)進(jìn)行一個有n種結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，假定出現(xiàn)每種結(jié)果的離散概率為Pi，信息熵[17]為：

其中pi為樣本出現(xiàn)的概率。

一般用熵來衡量投資組合的分散化程度，熵有以下性質(zhì)：

2.可加性：在互相獨(dú)立的事件中，和的熵與熵的和相同。

3.極值性：當(dāng)每個樣本的發(fā)生概率相等時，熵為最大值。

4.凹凸性：S(p1,p2,…,pn)為所有變量的對稱凹函數(shù)。

二、可能性均值-下半方差-熵多期投資組合模型建立

設(shè)有n種風(fēng)險資產(chǎn)，令收益權(quán)重θt代表在第t個時間段的收益占T個總時間段總收益的比例，rit為第i種資產(chǎn)對應(yīng)于第t個時間段的收益率，則第i種資產(chǎn)的期望收益率i為：

同時考慮資產(chǎn)不允許賣空，則有如下約束：

第t個階段的收益Rt為：

交易成本用V型函數(shù)表示，投資組合在t（t=1,2,…,T)時期的交易成本率可以表示為：

考慮交易費(fèi)用和無風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合的下半方差為：

分散性的投資可以有效降低風(fēng)險，Kapur利用比例熵對各時期投資組合的多元化程度進(jìn)行度量[18]。本文引用了Kapur對多元化程度進(jìn)行測度的方法，可以知道第t時期的多元化程度可以表示為：

引入收益權(quán)重 θt，式（16）可轉(zhuǎn)化為：

基于式(9)～式(17)，建立含無風(fēng)險資產(chǎn)的可能性均值-下半方差-熵多期投資組合模型如下：

引入?yún)?shù)λ將式(18)～式(20)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃模型：

由于單目標(biāo)線性規(guī)劃模型中含有不等式約束，這種情況一般是非常難求解的。所以本文用外點(diǎn)罰函數(shù)法將不等式約束和等式約束放入目標(biāo)函數(shù)中，將模型轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化后的模型為：

其中懲罰函數(shù)列P(x)為：

三、可能性均值-下半方差-熵多期投資組合模型算法改進(jìn)

（一）遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）最早是由美國的John holland在20世紀(jì)70年代提出的，是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律（適者生存，優(yōu)勝略汰遺傳機(jī)制）逐步演化而形成的一種隨機(jī)搜索方法。該算法通過數(shù)學(xué)的方式，采用計(jì)算機(jī)的仿真運(yùn)算將問題的求解過程轉(zhuǎn)換成類似生物進(jìn)化中染色體基因的選擇、交叉、變異等過程，被廣泛應(yīng)用于求解一些相對復(fù)雜的組合優(yōu)化問題。該算法相較于其他一些常規(guī)的優(yōu)化算法，在得出較好的優(yōu)化結(jié)果方面速度更快。

1.logistic映射產(chǎn)生初始種群

采用十進(jìn)制實(shí)數(shù)編碼方式隨機(jī)生成一個D維向量，每一個染色體作為一個實(shí)數(shù)向量，然后利用logistic映射生成非周期的、不收斂的，對初始值非常敏感的混沌序列，logistic映射公式為：

其中，μ∈[0,4]，μ為映射參數(shù)。利用混沌序列產(chǎn)生初始種群有助于跳出局部最優(yōu)，實(shí)現(xiàn)全局平衡，同時加快收斂速度，且會得到比偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行計(jì)算更好的效果。

2.適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度函數(shù)是區(qū)分個體優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。本文適應(yīng)度函數(shù)為：

3.選擇操作

在上一代種群中以一定概率選擇優(yōu)良個體組成新個體。用輪盤賭方式選擇個體，保證優(yōu)良個體產(chǎn)生下一代，個體i被選中的概率為P(xi)=Fi/ΣFi(x)，其中Fi是個體適應(yīng)度值，ΣFi(x)是所有個體適應(yīng)度值的和。

4.交叉操作

隨機(jī)選取兩個個體，進(jìn)行交換組合，把父代優(yōu)秀基因傳遞給下一代，產(chǎn)生新個體。第k個染色體ak與第l個染色體al在j位進(jìn)行交叉為：

其中，b是[0,1]區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)。

5.變異操作

以一定概率產(chǎn)生變異基因數(shù)，用隨機(jī)方法從種群中選取個體進(jìn)行變異生成更優(yōu)個體。第i個個體第j個基因aij的變異操作為：

其中，amax為 aij的上限，amin為 aij的下限，f(g)=r2(1-g/Gmax)2，r2為隨機(jī)數(shù)，g為當(dāng)前迭代次數(shù)，Gmax為迭代次數(shù)的最大限度，r為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

（二）模型算法改進(jìn)的步驟和流程圖

步驟1設(shè)置最初迭代次數(shù)t=1，種群規(guī)模popsize，交叉概率 Pc，變異概率Pm，最大迭代次數(shù) Gmax。

步驟2 利用logistic映射生成初始種群，計(jì)算個體適應(yīng)度，判斷是否符合優(yōu)化準(zhǔn)則，若符合則輸出最優(yōu)個體及最優(yōu)解，迭代結(jié)束；反之轉(zhuǎn)步驟3。

步驟3 利用輪盤賭方式進(jìn)行選擇，選中適應(yīng)度高的個體，淘汰適應(yīng)度低的個體。

步驟4 按交叉概率方法，利用式(27)生成新個體。

步驟5 按變異概率方法，利用式(28)生成新個體。

步驟6 由交叉和變異生成新一代種群，返回步驟2，循環(huán)上述操作直至最終得到符合條件的最優(yōu)個體為止。圖1為可能性均值-下半方差-熵多期投資組合模型算法改進(jìn)的具體操作流程圖。

圖1 可能性均值-下半方差-熵多期投資組合模型算法改進(jìn)的流程圖

四、可能性均值-下半方差-熵多期投資組合模型實(shí)證分析

為了驗(yàn)證模型(21)和模型(22)的實(shí)用性和可行性，從上海證券交易所中隨機(jī)選取四只股票S1（海螺水泥600585）、S2（金地集團(tuán)600383）、S3（上海汽車600104）、S4（三一重工600331），對2009年1月至2014年12月的月收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬投資。將整個投資過程分為三期，每一期結(jié)束時的收益作為下一期的初始財(cái)富繼續(xù)進(jìn)行投資，直至得到最終財(cái)富。四只股票在三個周期的收益率分布[14]如表1。

表1 三個周期股票收益率的可能性分布

參數(shù)設(shè)置：種群規(guī)模sizepop=30，交叉概率Pc=0.7，變異概率Pm=0.01，最大進(jìn)化次數(shù)Gmax=500，最大投資數(shù)目限制k=4。假設(shè)每個階段的資產(chǎn)交易費(fèi)用是相同的，都為Cit=0.003，假設(shè)投資者初期所持有的財(cái)富W1=1萬元，投資比例的下限、上限分別為lit=0.05，uit=0.2，罰因子L=108。無風(fēng)險資產(chǎn)投資比例下限、借款利率、貸款利率分別為：xftl=0.5，rbt=0.017，rlt=0.009。

表1中收益率分布為梯形模糊數(shù)表示方法，如S1在第一期收益率可能性分布為（0.075，0.120，0.230，0.147），其中[0.075，0.120]為容許區(qū)間，0.230為該分布的左寬度，0.147為右寬度。

為了全面地了解投資者對風(fēng)險的偏好程度，本文將風(fēng)險態(tài)度劃分為幾個不同程度，并求出不同風(fēng)險態(tài)度下投資者的投資組合策略如表2。

表2 不同風(fēng)險態(tài)度時投資者的投資組合策略、收益及下半方差

由表2知，當(dāng)風(fēng)險態(tài)度k=0時，在第二期投資者增加投資第一、三、四只股票，減少投資第二只股票；而在第三期投資者增加投資第一、二只股票，不同程度地減少投資第三、四只股票的比例?？梢娡顿Y者前期不看好第二只股票，其余都看好，后期只看好第一、二只股票，不太看好第三、四只股票。當(dāng)風(fēng)險態(tài)度k=0.2時，在第二期投資者增加投資第三、四只股票，減少投資第一、二只股票；在第三期投資者增加投資第一只股票，減少第二、三、四只股票的投資比例。可見投資者前期看好第三、四只股票，后期看好第一只股票，不太看好第二、三、四只股票。

由表2還知，當(dāng)風(fēng)險態(tài)度k=0.4時，在第二期投資者對四只股票均加大投資力度，在第三期投資者增加投資第三只股票，不同程度地減少第一、二、四只股票的投資比例?？梢娡顿Y者前期對四只股票都看好，后期看好第三只股票，不看好第一、二、四只股票。當(dāng)風(fēng)險態(tài)度k=0.6時，在第二期投資者對四只股票均減少投資，而在第三期減少第一、二只股票的投資比例，增加投資第三、四只股票。可見投資者前期對四只股票均不看好，后期看好第三、四只股票，不看好第一、二只股票。當(dāng)風(fēng)險態(tài)度k=0.8時，在第二期投資者增加投資第一、三、四只股票，減少投資第二只股票；而在第三期減少第二、四只股票的投資比例，增加第一、三只股票的投資比例?？梢娡顿Y者前期看好第一、三、四只股票，后期看好股票第一、三只股票，不看好股票二、四只股票。當(dāng)風(fēng)險態(tài)度k=1.0時，在第二期投資者增加投資第二、四只股票，減少投資第一、三只股票，而在第三期減少第二、三只股票的投資比例，增加投資第一、四只股票。可見投資者前期看好股票二、四只股票，不看好第一、三只股票，后期看好股票第一、四只股票，不看好第二、三股票。而且可以明確看到隨著風(fēng)險態(tài)度的逐漸增大，下半方差和熵值及收益都是逐漸增加的，進(jìn)一步表明風(fēng)險與收益并存。

不同風(fēng)險態(tài)度下的函數(shù)值如圖2所示。

圖2 不同風(fēng)險態(tài)度下的函數(shù)值

圖2為不同風(fēng)險態(tài)度下函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化。由圖2可以看出，種群最優(yōu)適應(yīng)度值均以很快速度收斂并穩(wěn)定。風(fēng)險態(tài)度k=0時函數(shù)最優(yōu)值在接近第150次迭代時趨于平穩(wěn)，而風(fēng)險態(tài)度k=0.2時最優(yōu)值在第250次迭代之后趨于平穩(wěn)，風(fēng)險態(tài)度k=0.4時函數(shù)最優(yōu)值在接近第200次迭代時趨于平穩(wěn)，風(fēng)險態(tài)度k=0.6時函數(shù)最優(yōu)值在接近第300次迭代時趨于平穩(wěn)，風(fēng)險態(tài)度k=0.8和k=1.0時函數(shù)最優(yōu)值均在接近第400次迭代時才趨于平穩(wěn)。表明風(fēng)險態(tài)度大時收益值波動較大，即追求風(fēng)險的投資者需要承擔(dān)更大的風(fēng)險，且其收益值波動相較于規(guī)避風(fēng)險者而言也是較大的。

由圖3可以看出，隨著風(fēng)險態(tài)度適應(yīng)值的增加，風(fēng)險也隨之增加。表明風(fēng)險態(tài)度適應(yīng)度值小時投資者厭惡風(fēng)險，投資較為謹(jǐn)慎，風(fēng)險適應(yīng)度值大時投資者追求風(fēng)險且希望得到較高的收益，所以投資行為也較為大膽。尤其k=0時風(fēng)險值增大相較于其它是緩慢的，k=0.4，0.6，0.8時收益值隨著下半方差的增大而增大，且變化較明顯。k=1.0時隨著風(fēng)險值的增大，收益值不發(fā)生變化。表明高收益與高風(fēng)險、低收益與低風(fēng)險皆不可取，并告誡投資者需謹(jǐn)慎投資。

圖3 不同風(fēng)險態(tài)度下的有效前沿對比

圖4為不同風(fēng)險態(tài)度下三個不同時期下半方差與收益的變化。

圖4 不同風(fēng)險態(tài)度下收益與下半方差的關(guān)系

由圖4可以看出，k=0時前期收益增速快，后期較慢。k=0.2時前期收益下降快，后期較慢。k=0.4時前期收益增速快，后期較慢。k=0.6時前期收益增速慢，后期較快。k=0.8時前期收益增速慢，后期較快。k=1.0時前期收益不變，后期收益增速變快。即隨著下半方差的增大，收益值也隨之增加，但也會存在高風(fēng)險低收益的情況，即收益與風(fēng)險不成正比的情況，本研究結(jié)果表明在任何時期投資都存在風(fēng)險，投資者需謹(jǐn)慎投資。

五、結(jié)語

在日益復(fù)雜的金融市場中，隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們對資產(chǎn)的處置方式越來越多樣化，更多人選擇通過投資達(dá)到財(cái)富的再提升。經(jīng)過多位學(xué)者對該問題的研究，其重點(diǎn)逐漸集中在對構(gòu)建模型的改進(jìn)和求解方法的創(chuàng)新上，這兩點(diǎn)是投資組合研究的重點(diǎn)，同時也是熱點(diǎn)。本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上同時考慮下半方差及交易費(fèi)用等多種摩擦因素，引入收益權(quán)重建立可能性均值-下半方差-熵多期投資組合優(yōu)化模型。相較于文獻(xiàn)[11]構(gòu)建的均值-熵模型只考慮到宏觀層面風(fēng)險進(jìn)行風(fēng)險度量存在的盲點(diǎn)和片面性，本文所建模型可以用熵和下半方差對風(fēng)險進(jìn)行度量，能夠全面考慮到宏觀和微觀兩個層面的風(fēng)險，而且能在確保投資者獲取超額收益的同時更大程度地規(guī)避風(fēng)險。由于本文所建模型是帶有不等式約束的NP難問題，所以用外點(diǎn)罰函數(shù)法對模型進(jìn)行無約束處理。在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上引入混沌映射改變種群提取過程，其目的是提高種群多樣性和尋優(yōu)能力。隨機(jī)從上證50中選取四只股票進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分析了不同風(fēng)險態(tài)度下的投資組合方案、函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化、收益值隨下半方差改變而產(chǎn)生的波動和有效前沿對比。數(shù)值結(jié)果表明本文所建模型是可行合理的，比文獻(xiàn)[11]中的模型在獲取收益和控制風(fēng)險方面考慮得更為周到，有幫助持有杠桿資金的投資者有效控制風(fēng)險的作用。同時也說明了改進(jìn)的算法在求解該類模型方面效果較好，是有效可行的，即本文所建模型可以應(yīng)用到實(shí)際的投資組合中，幫助投資者規(guī)避風(fēng)險并獲取超額收益。但也表明高風(fēng)險投資最終不一定就能獲得高收益，依此告誡投資者不能一味地追求風(fēng)險，在投資時應(yīng)該充分結(jié)合個人風(fēng)險態(tài)度及證券市場實(shí)情進(jìn)行全面考慮謹(jǐn)慎投資。