說“故事”找關(guān)系 建模型

文／崔 競(jìng)

方程與不等式是初中階段兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，“審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”這七步是利用方程解決實(shí)際問題的基本步驟。其中，最關(guān)鍵的是找等量關(guān)系。我們只有找到等量關(guān)系，才可列出方程。

一、尋找“故事”的主角

例1某超市有線上和線下兩種銷售方式。與2019年4月份相比，該超市2020年4月份銷售總額增長(zhǎng)10%，其中線上銷售額增長(zhǎng)43%，線下銷售額增長(zhǎng)4%。求2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值。

【分析】本題敘述的主要“故事”是兩年銷售額的增長(zhǎng)問題?！肮适隆钡闹鹘鞘牵轰N售額，線下、線上兩種銷售額的增長(zhǎng)率。它們之間的關(guān)系如下：

2020年銷售總額=2019年銷售總額×（1+增長(zhǎng)率）；

銷售總額=線上銷售額+線下銷售額。

設(shè)2019年4月份的銷售總額為a元，線上銷售額為x元，則“故事”的主角可以如下表示：

時(shí)間銷售總額（元）線上銷售額（元）線下銷售額（元）2019年4月份a x 2020年4月份1.1a 1.43x a-x 1.04（a-x）

解：根據(jù)題意，得1.1a=1.43x+1.04·（a-x），

答：2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為0.2。

【小貼士】“故事”中涉及的主角較多時(shí)，我們可以利用表格幫助整理數(shù)量之間的關(guān)系。

二、說“故事”

例2某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購(gòu)A、B兩種型號(hào)的空調(diào)。已知采購(gòu)3臺(tái)A型空調(diào)和2臺(tái)B型空調(diào)，需要費(fèi)用39000元；4臺(tái)A型空調(diào)比5臺(tái)B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元。

（1）求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需多少元；

（2）若學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)A、B兩種型號(hào)空調(diào)共30臺(tái)，且A型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種型號(hào)空調(diào)的采購(gòu)總費(fèi)用不超過217000元，該校共有哪幾種采購(gòu)方案？

【分析】本題敘說的主要“故事”是兩種型號(hào)空調(diào)的購(gòu)買問題?！肮适隆钡闹鹘鞘牵篈、B型空調(diào)。在問題（1）中發(fā)生的“故事”有兩個(gè)：兩種不同購(gòu)買方案。第一種方案，3臺(tái)A型空調(diào)和2臺(tái)B型空調(diào)，需費(fèi)用39000元；第二種方案，4臺(tái)A型空調(diào)比5臺(tái)B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元。它們存在的基本關(guān)系：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。問題（2）講述的是采購(gòu)“故事”，涉及三個(gè)條件：A、B兩種型號(hào)空調(diào)共30臺(tái)，A型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，采購(gòu)總費(fèi)用不超過217000元。其中用“不少于”“不超過”體現(xiàn)數(shù)量之間的不等關(guān)系。

解：（1）設(shè)A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需x元、y元。

答：A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需9000元、6000元。

（2）設(shè)購(gòu)買A型空調(diào)a臺(tái)，則購(gòu)買B型空調(diào)（30-a）臺(tái)。

根據(jù)題意，得

所以a=10、11、12，則共有三種采購(gòu)方案。

方案一：采購(gòu)A型空調(diào)10臺(tái)，B型空調(diào)20臺(tái)；

方案二：采購(gòu)A型空調(diào)11臺(tái)，B型空調(diào)19臺(tái)；

方案三：采購(gòu)A型空調(diào)12臺(tái)，B型空調(diào)18臺(tái)。

【小貼士】列不等式解決問題時(shí)，我們一般先借助等量關(guān)系表示相關(guān)量，再列出不等式找出解決方法，不建議聯(lián)立方程和不等式。

三、找關(guān)系建模型

例3某商店在2016年至2018年期間銷售一種禮盒。2016年，該商店用3500元購(gòu)進(jìn)了這種禮盒并且全部售完；2018年，這種禮盒的進(jìn)價(jià)比2016年下降了11元/盒，該商店用2400元購(gòu)進(jìn)了與2016年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價(jià)均為60元/盒。

（1）2016年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是多少元/盒？

（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率相同，問年增長(zhǎng)率是多少？

【分析】本題敘說的主要“故事”是禮盒的銷售問題?！肮适隆钡闹鹘鞘牵憾Y盒。在問題（1）中發(fā)生的“故事”有兩個(gè)：禮盒進(jìn)價(jià)兩年相差11元，兩年分別花費(fèi)不同價(jià)格購(gòu)買數(shù)量相同的禮盒。它們存在的基本關(guān)系：進(jìn)價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。兩個(gè)“故事”體現(xiàn)的關(guān)系分別是：2016年進(jìn)價(jià)-2018年進(jìn)價(jià)=11元；2016年3500元購(gòu)買數(shù)量=2018年2400元購(gòu)買數(shù)量。問題（2）講述的是銷售利潤(rùn)增長(zhǎng)的“故事”，描述的關(guān)系是：2016年到2017年的增長(zhǎng)率=2017年到2018年的增長(zhǎng)率。存在的基本關(guān)系是：原銷售利潤(rùn)×（1+增長(zhǎng)率）=現(xiàn)銷售利潤(rùn)。

解：（1）設(shè)2016年這種禮盒的進(jìn)價(jià)為x元/盒，則2018年這種禮盒的進(jìn)價(jià)為（x-11）元/盒。

解得x=35。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是原方程的解。

答：2016年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是35元/盒。

（2）設(shè)年增長(zhǎng)率為a。

根據(jù)題意，得

（60-35）（1+a）2=60-35+11。

解得a=0.2=20%或a=-2.2（不合題意，舍去）。

答：年增長(zhǎng)率為20%。

【小貼士】在求解方程的過程中，我們應(yīng)注意對(duì)方程解的檢驗(yàn)：（1）符合方程解的意義；（2）符合實(shí)際。

在運(yùn)用方程（不等式）解決實(shí)際問題的過程中，我們一般先通過粗略讀題了解實(shí)際問題的背景，找出“故事”的主角，也就是問題涉及的基本量。再次閱讀題目，我們需要找出同種基本量的關(guān)系，或者兩個(gè)基本量之間的關(guān)系，也就是這里所說的“故事本身”。一般我們會(huì)利用其中一個(gè)“故事”中基本量之間的關(guān)系，把涉及的基本量都用未知數(shù)表示出來，再用另外一個(gè)“故事”中存在的關(guān)系列方程（不等式），從而建立模型解決問題。