利用磁傳感器陣列磁場差值的艦船磁場反演建模方法

郭成豹， 胡松， 王文井， 殷琦琦

(海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 湖北 武漢 430033)

0 引言

艦船磁隱身對于各國海軍都是非常重要的關(guān)注點，艦船磁場的空間特性及其變化是艦船磁隱身技術(shù)研究中的重要內(nèi)容。艦船磁場測量過程中，所測得的磁場不但包含艦船本身的磁場，還包括地磁背景場、涌浪感應(yīng)磁場等。艦船磁場隨著距離快速衰減，在幾百米之外，會幾乎淹沒于環(huán)境磁場噪聲或低于磁傳感器分辨力。因此，艦船測磁所用的水下磁傳感器陣列測量值中，艦船磁場具有較低的相關(guān)性，可采用等效源法等進行精確反演建模，例如等效為若干磁偶極子、磁單極子等。

地磁背景場主要包括：穩(wěn)態(tài)的地球基本磁場、緩慢變化的長期變化場、快速變化的短期變化場(例如磁暴、地磁脈動等)；人工設(shè)施造成的干擾磁場(例如地鐵、用電設(shè)施等)；海洋浪涌造成的涌浪感應(yīng)磁場等。地球基本磁場、長期變化場可作為背景場從水下磁傳感器陣列測量值中直接減去；地磁短期變化場在大尺度空間上具有完全的相關(guān)性，可在數(shù)百米之外設(shè)置地磁參考傳感器進行消除；涌浪磁場可采用濾波手段抑制，也可通過在浪涌較小情況下測磁來消除。

傳統(tǒng)的艦船磁場反演建模方法是將艦船磁源模型直接擬合到磁傳感器陣列測量的磁場值上。在艦船磁場測量設(shè)施中，惡劣的磁場環(huán)境噪聲會造成艦船磁場檢測效能的顯著降低，甚至?xí)?dǎo)致其無法工作。設(shè)置地磁參考傳感器可對磁場環(huán)境噪聲進行很大程度的消減。但是設(shè)置地磁參考傳感器存在安裝地點難選的問題，既要遠離水下磁傳感器陣列(不受被測艦船磁場的影響)，又要避開其他磁干擾源(例如地鐵、航行艦船、車輛、大型鐵磁設(shè)施等)，在港口或航道周邊很難找到這種合適地點。人工設(shè)施干擾磁場在水下磁傳感器陣列的空間尺度范圍內(nèi)(數(shù)十至上百米)具有較高的相關(guān)性(可消除)，而對于設(shè)置地磁參考傳感器所在的數(shù)百米尺度空間則僅具有較低的相關(guān)性，是無法直接消除的。Davidson等描述采用磁場差值來消除相關(guān)噪聲的干擾，但是只對艦船磁場反演建模結(jié)果進行了敘述，并沒有進行理論方法上的說明。因此，艦船磁場測量實踐中，急需一種不設(shè)置地磁參考傳感器，利用水下磁傳感器陣列測量數(shù)據(jù)中的相關(guān)性分量(地磁干擾)和不相關(guān)分量(艦船磁場)特性進行地磁噪聲抑制的技術(shù)方法，實現(xiàn)艦船磁場的高精度檢測分析。

本文提出一種利用水下磁傳感器陣列磁場差值進行艦船磁場反演的新方法，能夠直接消除地磁噪聲、人工設(shè)施干擾磁場等的作用，因為陣列中磁傳感器間的磁場差值不受相關(guān)磁場噪聲的影響。該方法將艦船磁源模型擬合到水下磁傳感器陣列中磁傳感器間磁場測量值的差值(而不是磁場值本身)，采用正則化技術(shù)進行艦船磁場反演建模，實現(xiàn)艦船磁場的高精度建模。利用典型虛擬艦船的磁場值進行驗證實驗，驗證了所提出方法的有效性。

1 利用磁場差值的磁單極子陣列法

1.1 艦船磁單極子陣列模型的建立

磁單極子模型具有復(fù)雜度小、建模簡單、計算量小的優(yōu)點，而且能方便地按照艦船鐵磁結(jié)構(gòu)精確分布，非常適用于艦船磁場反演建模。

根據(jù)磁性理論，坐標原點存在一個磁單極子強度的磁單極子，則有

(1)

式中：為每個磁單極子在空間中特定點處所產(chǎn)生磁場的磁感應(yīng)強度，可通過經(jīng)典的磁單極子模型計算：

(2)

為真空磁導(dǎo)率，為磁單極子與場點之間的距離，向量從磁單極子指向場點(見圖1)。圖1中，為空間直角坐標系，、、分別為磁場的軸、軸、軸分量。

圖1 磁單極子模型Fig.1 Magnetic monopole model

艦船鐵磁結(jié)構(gòu)可以劃分為一定數(shù)目的點單元，建立艦船磁單極子陣列模型，以完整體現(xiàn)艦船磁性信息(見圖2)。

圖2 艦船磁單極子陣列Fig.2 Magnetic monopole array of ship

1.2 直接利用磁場值的艦船磁單極子陣列反演模型

作為艦船磁源的艦船磁單極子陣列含個磁單極子，設(shè)磁單極子(=1，2，…，)的坐標為(，，)，強度為艦船周圍包含個傳感器測量點(場點)，設(shè)場點(=1，2，…，)的坐標為(，，)所有磁單極子在場點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度=[,,]可根據(jù)(3)式、(4)式和(5)式計算：

(3)

(4)

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

考慮所有場點，得到線性方程組：

=，

(9)

式中：

=[，，，…，，，]；

(10)

=[，，…，]；

(11)

(12)

根據(jù)艦船磁源模型和磁特征測量數(shù)據(jù)，采用正則化方法，可反演得到磁單極子強度.艦船下方的測磁傳感器陣列測量的磁場數(shù)據(jù)可作為反演問題的目標磁場。問題的目標函數(shù)在數(shù)學(xué)上可定義為

(-o)，

(13)

式中：、、為測量點上的磁感應(yīng)強度三分量的預(yù)測值，其是基于計算過程獲得的磁單極子分布；o、o、o為測量點上的艦船磁場三分量測量值。研究結(jié)果表明，磁單極子陣列法具有很高反演建模精度、可靠性和速度。

1.3 利用磁場差值的艦船磁單極子陣列反演模型

假設(shè)艦船從一個水下磁傳感器線陣上方通過(見圖3)，每隔一定時間間隔磁場采樣一次，相當(dāng)于在艦船下方構(gòu)成一個虛擬的長方形水下磁傳感器陣列(見圖4)。

圖3 艦船航行通過一個磁傳感器線陣Fig.3 Ship passing over a line array of magnetic sensors

圖4 艦船及其下方的虛擬磁傳感器陣列Fig.4 Ship and a virtual array of magnetic sensors below it

對于一艘艦船，配置個磁單極子，序號為=1，2，3，…，，第個磁單極子的坐標為(，，)。艦船磁場測量過程共有個測量時刻(=1，2，…，)。磁傳感器線陣共有個磁傳感器，序號=1，2，3，…，，時刻時第個磁傳感器的坐標為(，，)。每個采樣時刻，磁傳感器線陣中的所有磁傳感器同步采集磁場數(shù)據(jù)。所有磁單極子在時刻時第個磁傳感器處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度=[，，]可根據(jù)(14)式、(15)式、(16)式計算：

(14)

(15)

(16)

式中：

(17)

(18)

(19)

在時刻時，磁傳感器陣列中第個磁傳感器與第個磁傳感器測量值之間的差值=[，，]，其中：

(20)

(21)

(22)

≠∈{1，2，3，…，}(見圖5)。每個測量時刻所產(chǎn)生的磁場差值數(shù)目為3(-1)2

圖5 磁傳感器陣列的磁場數(shù)據(jù)差值Fig.5 Magnetic field difference values of an array of magnetic sensors

(20)式、(21)式和(22)式寫為矩陣形式為

=，

(23)

式中：

=[-，-，-]；

(24)

(25)

在時刻時，對于磁傳感器陣列中磁傳感器之間差值的所有組合，得到

=，

(26)

式中：

=[12，…，1，23，…，2，…，(-1)]；

(27)

=[12，…，1，23，…，2，…，(-1)]

(28)

為了符合磁單極子陣列磁荷總和為0 A·m的物理實際，需要增加一個限制條件：

=0，

(29)

(30)

(31)

對于整個艦船磁場測量過程的個測量時刻和限制條件，可得

=[，…，，]，

(32)

(33)

=[，…，]，

(34)

從而得到整個測量過程的方程組：

=.

(35)

按照船體結(jié)構(gòu)優(yōu)化布置磁單極子陣列，構(gòu)建艦船磁源模型。根據(jù)磁特征測量數(shù)據(jù)，可反演得到磁單極強度.艦船下方測磁陣列測量得到的磁場數(shù)據(jù)差值作為反演問題的目標磁場。問題的目標函數(shù)在數(shù)學(xué)上可定義為

(-o)+(-o)，

(36)

式中：、、為時刻磁傳感器和處磁場數(shù)據(jù)之間差值的預(yù)測值，其是基于計算過程中獲得的磁單極子分布，o、o、o為相應(yīng)的測量值。

2 正則化反演技術(shù)

在實踐中，測量系統(tǒng)存在誤差，磁源模型決定于磁性目標的位置、尺度和結(jié)構(gòu)。將誤差引入線性方程組可得到：

(+Δ)=(+Δ)，

(37)

式中：Δ和Δ分別表示模型和測量數(shù)據(jù)的誤差。

病態(tài)問題求解主要的困難涉及到下述最小二乘問題，是求解最優(yōu)化問題：

(38)

本文研究的問題是超定問題，并且是病態(tài)問題，問題的解是不唯一的，通常采用正則化技術(shù)來限制解空間。已知矩陣和艦船磁場測量值差值的情況下，可采用Tikhonov正則化方法求解方程組=，得到所有磁源的正則化解。從而可得艦船磁場的擬合計算值，進而得出擬合誤差。采用L曲線法選擇正則化參數(shù)(見圖6)。

圖6 用L曲線法確定正則化參數(shù)Fig.6 Regularization parameter by L-curve method

3 數(shù)值仿真驗證實驗

3.1 磁單極子陣列設(shè)置

數(shù)值實驗的目標為按照實際艦船結(jié)構(gòu)抽象出來的一艘虛擬典型艦船，其中船長為，船寬為，船高為按照船體鐵磁結(jié)構(gòu)布置包含347個磁單極子的三維船體陣列(見圖7)。

圖7 按照艦船鐵磁結(jié)構(gòu)布置磁單極子陣列Fig.7 Magnetic monopole array on the ferromagnetic structure of ship

3.2 磁場測量點的配置

設(shè)磁傳感器陣列寬度為2，橫向間隔025，三軸磁傳感器數(shù)目=9測磁時刻數(shù)目=81，展布范圍長2，縱向測磁間隔為40形成的虛擬磁傳感器陣列配置為2×2=×= 81×9 =729的點陣，被測艦船處于點陣的幾何中心位置(見圖8)。取3個測量深度平面：吃水線下方1、2、5共3個深度(見圖9和圖10)。設(shè)軸正向為船首方向，軸正向為右舷方向，軸正向為垂直向下。

圖8 磁場測量點俯視圖Fig.8 Top view of magnetic field measurement points

圖9 磁場測量點側(cè)視圖Fig.9 Side view of magnetic field measurement points

圖10 磁場測量點后視圖Fig.10 Rear view of magnetic field measurement points

3.3 艦船磁場的產(chǎn)生

采用自編的艦船磁場綜合分析軟件MagShip產(chǎn)生艦船磁場，該軟件聯(lián)合采用磁矩量法和多層自適應(yīng)交叉近似法，適用于計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)艦船的磁性磁場，近場和遠場計算均能保持高精度。對于典型艦船，其鐵磁結(jié)構(gòu)劃分數(shù)萬個單元就可計算得到精確可靠的艦船磁特征，且易于處理遠場(例如上述5測量深度平面磁場)。

采用10萬個單元剖分虛擬典型艦船的完整鐵磁結(jié)構(gòu)，包含船體、上層建筑、機械設(shè)備、船軸等，能代表復(fù)雜實際艦船。采取下述設(shè)置產(chǎn)生艦船磁場數(shù)據(jù)，包括感應(yīng)磁場、永久磁場、測磁噪聲：

1)感應(yīng)磁場：在縱向40 000 nT、橫向20 000 nT、垂向30 000 nT的均勻外磁場作用下，艦船所產(chǎn)生的感應(yīng)磁場；

2)永久磁場：取感應(yīng)磁場的30%；

3)非相關(guān)磁噪聲：取[-1 nT，1 nT]范圍內(nèi)的隨機數(shù)作為非相關(guān)測磁噪聲，主要指浪涌磁場、儀器噪聲等。

3.4 相關(guān)干擾磁場的設(shè)定

本文所述的磁噪聲源距離磁傳感器陣列足夠遠，例如地磁短期變化場、數(shù)百米之外的航行艦船和地鐵產(chǎn)生的干擾磁場等。相關(guān)磁干擾噪聲可認為在磁傳感器陣列所處空間上均勻分布。主要包括4種類型的磁場環(huán)境噪聲：隨機噪聲、漸變噪聲、階梯噪聲和尖峰噪聲，如圖11所示。圖11中，對磁場環(huán)境噪聲的幅值進行了歸一化處理，一般量級可達數(shù)納特斯拉～數(shù)百納特斯拉。

圖11 相關(guān)磁場環(huán)境噪聲Fig.11 Coherent magnetic noises

3.5 數(shù)據(jù)分析參數(shù)的定義

為了分析數(shù)據(jù)，定義下述兩個變量：

1)相對誤差：

(39)

式中：表示正則化解得到的磁場預(yù)測值；表示磁場精確值。實質(zhì)上表示正則化解的精確程度。這一量通常是不可知的，因為在實際問題中無法得到，但是為了驗證仿真結(jié)果與真實解的逼近程度，特地定義了此量。

2)相對殘差：

(40)

(41)

式中：表示正則化解；和分別表示利用磁場值和磁場差值情形下的相對殘差，表示正則化解對數(shù)據(jù)的擬合程度。

3.6 數(shù)值仿真實驗結(jié)果

按照31節(jié)～35節(jié)中的設(shè)置，得到具有典型意義的虛擬艦船磁性分布，產(chǎn)生3個測磁深度平面的艦船磁場三分量數(shù)據(jù)。采用三維船體磁單極子陣列模型進行艦船磁場反演建模，根據(jù)得到的磁單極子陣列強度在3個測磁平面之間相互進行艦船磁場預(yù)測。

無相關(guān)噪聲情況下，利用磁場值的三維船體磁單極子陣列反演建模計算結(jié)果如表1所示。從表1可看出，無相關(guān)噪聲情況下：在1和2深度上均有較小相對殘差(005～009)，對磁場差值數(shù)據(jù)的擬合較好，向其他深度延拓的相對誤差較小(001～065)；在5深度上相對殘差稍大(049)，向其他深度的延拓相對誤差較大(094～555)。

表1 無相關(guān)噪聲情況下利用磁場值反演建模的 計算結(jié)果Tab.1 Results of validation test utilizing the magnetic field value without noises

有相關(guān)噪聲情況下，利用磁場值的三維船體磁單極子陣列反演建模計算結(jié)果如表2所示。從表2可看出，無論是隨機噪聲、漸變噪聲、階梯噪聲，還是尖峰噪聲，都會對反演建模存在一定的干擾。在1深度的擬合誤差較小(065～117)，向其他深度延拓的相對誤差較小(049～160)，這是因為相關(guān)噪聲的幅值遠小于1深度的艦船磁場幅值，可受到反演建模過程的抑制；在2深度的擬合誤差偏大(152～283)，向其他深度延拓的相對誤差偏大(109～719)，這是因為相關(guān)噪聲的幅值相對于2深度的艦船磁場來說已經(jīng)不可忽視，無法得到有效抑制；在5深度上相對殘差很大(670～1348)，對磁場值的擬合較差，向其他深度的延拓相對誤差很大(1588～3784)，這是因為相關(guān)噪聲的幅值相對于5深度的艦船磁場來說已經(jīng)無法抑制。

表2 有相關(guān)噪聲情況下利用磁場值反演建模 的計算結(jié)果Tab.2 Results of validation test utilizing the magnetic field value with noises

根據(jù)技術(shù)原理可知，利用磁場差值進行艦船磁場反演建?？蔀V除相關(guān)噪聲干擾，無論是隨機噪聲、漸變噪聲、階梯噪聲，還是尖峰噪聲，所得到的反演建模結(jié)果是相同的，如表3所示。從表3中可看出：在1和2深度上均有較小相對殘差(007～019)，對磁場差值數(shù)據(jù)的擬合較好，向其他深度延拓的相對誤差較小(027～082)；在5深度上相對殘差較大(240)，對磁場差值的擬合較差，向1深度延拓的相對誤差較大(776)，向2深度的延拓相對誤差尚可接受(258)。

表3 利用磁場差值反演建模的計算結(jié)果Tab.3 Results of validation test utilizing the magnetic field difference

4 分析與討論

對比表1和表3可看出，有相關(guān)噪聲情況下利用磁場差值的反演建模結(jié)果與無相關(guān)噪聲情況下利用磁場值的反演建模結(jié)果基本接近，證明利用磁場差值進行艦船磁場反演建?？捎行б种聘鞣N類型的相關(guān)噪聲干擾。

例如，對于最不利的情形，在有相關(guān)噪聲干擾的情況下，根據(jù)5深度的磁場差值可延拓3個深度的磁場值。在5深度平面對磁場差值擬合的相對殘差為240，在1、2、5深度平面磁場預(yù)測的相對誤差分別為776、258、051。取艦船龍骨下方坐標為∈[-，]、=0 m、=1，2，5的3條典型測量點線，進行艦船三分量磁場真實值和預(yù)測值的對比，分別如圖12、圖13和圖14所示(圖中對艦船磁場幅值進行了歸一化處理，一般量級可達數(shù)百納特斯拉～數(shù)千納特斯拉)，從中可看出，從5深度平面向1、2、5深度平面延拓的預(yù)測值與真實值均吻合較好，證明利用磁場差值的三維船體磁單極子陣列模型能夠?qū)崿F(xiàn)艦船磁場高精度預(yù)測。

圖12 1B深度典型測量點線上的艦船磁場預(yù)測值和 真實值對比Fig.12 Comparison of predicted and real values of ship’s magnetic field on typical measuring point line at 1B depth

圖13 2B深度典型測量點線上的艦船磁場預(yù)測值和 真實值對比Fig.13 Comparison of predicted and real values of ship’s magnetic field on typical measuring point line at 2B depth

圖14 5B深度典型測量點線上的艦船磁場預(yù)測值和 真實值對比Fig.14 Comparison of predicted and real values of ship’s magnetic field on typical measuring point line at 5B depth

對比表2和表3可看出，相同磁干擾下，利用磁場差值的反演建模結(jié)果明顯優(yōu)于直接使用陣列傳感器所測磁場值的反演建模結(jié)果。其中，從5深度延拓到1深度時，直接利用磁場值反演造成的相對誤差為2513～3784，而利用磁場差值造成的相對誤差僅為776，差異顯著。

采用本文提出的方法，使用5深度數(shù)據(jù)計算誤差還是較大，可能原因為在5深度上磁場空間梯度變小，陣列傳感器所測磁場差值較小，受非相關(guān)磁噪聲影響較大，因此在5深度上增大磁場測量間距進行檢驗。擴大傳感器橫向間距，陣列寬度由2擴大為4，其他設(shè)置不變(見圖15)。此時，從5深度延拓到1深度時，利用磁場差值造成的相對誤差為622，相對于陣列寬度2時的相對誤差776有一定程度改善(見表4)，但是并沒有顯著區(qū)別。

圖15 間距擴大的傳感器陣列Fig.15 Sensor array with enlarged spacing

表4 擴大傳感器間距后利用磁場差值反演建模的計算結(jié)果

5 結(jié)論

本文提出了一種利用磁傳感器陣列磁場差值的艦船磁場反演建模方法，實現(xiàn)了在有較大相關(guān)噪聲環(huán)境中艦船磁場的精確反演建模。利用磁傳感器陣列中各個磁傳感器間磁場差值不受相關(guān)性環(huán)境磁場干擾影響的特性，聯(lián)合采用三維艦船磁單極子陣列模型和磁場差值構(gòu)建艦船磁源反演的線性方程組，并采用正則化技術(shù)進行求解。利用一艘虛擬典型艦船的磁場和相關(guān)噪聲干擾，進行數(shù)值仿真驗證實驗，結(jié)果表明所提出的方法能夠抑制和消除各種類型的相關(guān)磁噪聲干擾，且不需要設(shè)置地磁參考傳感器。因此，采用該技術(shù)能顯著降低相應(yīng)設(shè)施的建設(shè)成本，且選址和安裝更加容易，具有重要的理論意義和實用價值。