不穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的離散時間切換系統(tǒng)區(qū)間觀測器設(shè)計

石懷濤,侯馬驍,佟圣皓,趙金寶

(沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110168)

近些年來隨著工業(yè)的發(fā)展,系統(tǒng)的復(fù)雜程度越來越高[1-6]。保障某些復(fù)雜系統(tǒng)如軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和飛行控制系統(tǒng)的可靠性,監(jiān)測這些復(fù)雜系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)顯得十分重要。然而,在實(shí)際中,由于環(huán)境或技術(shù)受限,并非所有的狀態(tài)變量都是可測量的。為了解決這一問題,許多研究團(tuán)隊(duì)在觀測器的設(shè)計上做出了大量的貢獻(xiàn)[7-11]。

目前利用Luenberger觀測器對于線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計已經(jīng)取得了很多研究成果[12-14],并擴(kuò)展到非線性系統(tǒng)[15]。在實(shí)際運(yùn)行中,系統(tǒng)本身和信號的采集會存在不確定的干擾和噪聲,會導(dǎo)致狀態(tài)估計偏差。目前針對提高殘差對未知干擾的魯棒性設(shè)計，已提出了許多行之有效的方法。Q.H.ZHANG[16]提出使用卡爾曼濾波的方法對觀測器的增益進(jìn)行優(yōu)化,增加殘差的魯棒性。區(qū)間觀測器具有天然閾值，可以有效地減少計算壓力,這使得區(qū)間觀測器被大量用于系統(tǒng)的狀態(tài)邊界估計。F.MAZENC等[17]使用兩個Luenberger觀測器構(gòu)造成區(qū)間觀測器。S.CHEBOTAREV等[18]針對LPV系統(tǒng)設(shè)計區(qū)間觀測器,在L1/L2框架下首次分析了區(qū)間觀測器的魯棒性,并優(yōu)化了估計精度。

切換系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中十分常見,目前已經(jīng)有許多針對切換系統(tǒng)狀態(tài)估計的研究成果[19-22]。盡管如此,對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明和狀態(tài)估計仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的課題。因?yàn)榧词顾凶酉到y(tǒng)穩(wěn)定,切換系統(tǒng)仍然可能是不穩(wěn)定的。劉永慧[23]采用平均駐留時間方法對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了驗(yàn)證。上述方法均要求切換系統(tǒng)中的子系統(tǒng)穩(wěn)定,這在實(shí)際情況中顯然是無法保證的。然而,一些研究成果將所有子系統(tǒng)穩(wěn)定的切換系統(tǒng)擴(kuò)展到存在子系統(tǒng)穩(wěn)定的切換系統(tǒng),這也無法解決根本問題。W.M.XIANG等[24]等通過切換行為的穩(wěn)定性來補(bǔ)償由不穩(wěn)定子系統(tǒng)引起的狀態(tài)發(fā)散，提出了所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定的連續(xù)時間切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分條件。L.YU等[25]針對線性切換系統(tǒng)設(shè)計了一種基于觀測器狀態(tài)估計方法。J.Q.YANG等[26]針對非線性切換系統(tǒng)的狀態(tài)估計進(jìn)行了研究。然而,由于未知干擾以及參數(shù)測量誤差,切換系統(tǒng)狀態(tài)應(yīng)該在合理的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行估計。

基于上述分析,筆者設(shè)計區(qū)間觀測器并通過給出依靠時間的切換策略來實(shí)現(xiàn)對所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定的離散時間切換系統(tǒng)的狀態(tài)估計;研究表明:基于Luenberger觀測器設(shè)計區(qū)間觀測器,該區(qū)間觀測器具有天然閾值，相比于傳統(tǒng)的Luenberger觀測器，可以有效減少計算壓力;利用依靠時間的切換策略給出區(qū)間觀測器產(chǎn)生誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，實(shí)現(xiàn)了對所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定的離散時間切換系統(tǒng)的狀態(tài)邊界估計。

1 切換系統(tǒng)模型描述和區(qū)間觀測器設(shè)計

1.1 切換系統(tǒng)描述

離散時間切換系統(tǒng)如下:

(1)

其中,x(k)∈Rn,y(k)∈Rp,d(k)∈Rq,分別代表狀態(tài)、輸出及未知有界干擾,k∈Z+。系數(shù)矩陣分別為Aσ(k)∈Rn×n,Bσ(k)∈Rn×q,Cσ(k)∈Rp×n,Dσ(k)∈Rp×q。定義集合M={1,2,…,N},N為子系統(tǒng)個數(shù)。σ(k):[0,∞)→M為切換信號即當(dāng)k∈[kl,kl+1)時,σ(k)=il∈M,其中kl是第l次切換時間。

備注1:筆者去掉了系數(shù)矩陣Aσ(k)為Schur穩(wěn)定這一假設(shè)。

(2)

定義1:對于任意時間段(ts,tu),令Nσ(ts,tu)表示第σ個子系統(tǒng)切換次數(shù)。如果如下不等式成立,即認(rèn)為第σ個子系統(tǒng)最大的駐留時間為τ。

(3)

備注2:不穩(wěn)定的子系統(tǒng)往往導(dǎo)致切換系統(tǒng)不穩(wěn)定。在穩(wěn)定子系統(tǒng)與不穩(wěn)定子系統(tǒng)共存的條件下，L.I.ALLERHAN等[27]利用穩(wěn)定子系統(tǒng)補(bǔ)償不穩(wěn)定子系統(tǒng)的影響。然而當(dāng)所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定時這種思想無法成立。筆者給出遞減Lyapunov函數(shù)并利用最大駐留時間技術(shù),得到了不穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定充分條件。

1.2 區(qū)間觀測器

根據(jù)系統(tǒng)(1)區(qū)間觀測器的設(shè)計如下:

(4)

其中,

(5)

(6)

將式(5)和(6)整合為如下形式:

(7)

2 指數(shù)穩(wěn)定充分條件和誤差系統(tǒng)LMI約束條件

2.1 切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定充分條件

定理1:考慮由子系統(tǒng)不穩(wěn)定組成的切換系統(tǒng)x(k+1)=fσ(k)(x(k)),給出兩個標(biāo)量φ>1和0<φ<1。假設(shè)存在連續(xù)正定函數(shù)Vσ(k)(x(k))和正定標(biāo)量K1,K2使得如下不等式成立。

K1‖x(k)‖2≤Vi(x(k))≤K2‖x(k)‖2.

(8)

Vi(x(k+1))-φVi(x(k))≤0.

(9)

Vσ(kl)(x(kl))-φVσ(kl-1)(x(kl))≤0.

(10)

切換信號滿足如下關(guān)系時,切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。

(11)

其中,?i∈M,k∈[kl,kl+1),kl+1-kl=τl≥τ,l=0,1,2,…。

證明:

對于切換信號σ(k)=i∈M,當(dāng)?k∈[kl,kl+1)時切換到第i個子系統(tǒng)。根據(jù)不等式(9)得到如下不等式:

Vσ(k)(x(k))≤φ(k-kl)Vσ(kl)(x(kl)).

(12)

然后根據(jù)式(10)和式(12),得到如下不等式:

φ(k-kl)Vσ(kl)(x(kl))≤φφ(k-kl)Vσ(kl-1)·

(x(kl))≤φφ(k-kl)φkl-kl-1Vσ(kl-1)·

(x(kl-1))≤…≤φNσ(k0,k)φ(k-k0)Vσ(k0)

(13)

根據(jù)式(11)得出:

(14)

(15)

不等式(15)意味著如下不等式成立。

(16)

因此由不穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定被證明。

2.2 誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性證明

誤差系統(tǒng)(7)指數(shù)穩(wěn)定性條件在定理2中被給出。

(17)

(18)

當(dāng)切換信號滿足不等式(11)時,誤差系統(tǒng)(7)指數(shù)穩(wěn)定。

證明:

對于誤差系統(tǒng)(7),筆者給出如下Lyapunov函數(shù)。

Vσ(k)(ε(k))=εT(k)Pσ(k)ε(k).

(19)

很明顯滿足定理1中不等式(8)中的條件。對于所有的k∈[kl,kl+1),σ(k)=i∈M,Lyapunov函數(shù)滿足如下等式:

Vi(ε(k+1))-φVi(ε(k))=

εT(k+1)Piε(k+1)-φεT(k)Piε(k)=

(20)

根據(jù)Schur補(bǔ)定理和不等式(17),得出:

(21)

根據(jù)等式(20)和不等式(21),得出:

Vi(ε(k+1))-φVi(ε(k))≤0.

(22)

不等式(22)對應(yīng)定理1中不等式(9)。

當(dāng)切換時間k=kl+1時,切換控制信號σ(k)=j∈M。使用不等式(18)得:

φV(kl)(ε(kl))≤φV(kl)(ε(kl+1)).

(23)

不等式(23)對應(yīng)定理1中不等式(10)。因此基于定理1能夠證明在切換信號滿足不等式(11)時,誤差系統(tǒng)(7)指數(shù)穩(wěn)定。

2.3 系數(shù)矩陣非負(fù)定條件

首先采用二階系統(tǒng)來舉例,其中

Cσ(k)=[c1σ(k)c2σ(k)],

誤差系統(tǒng)的矩陣系數(shù)如下:

(24)

根據(jù)式(24),矩陣系數(shù)的非負(fù)定條件如下:

(25)

其中，i,j=1,2。

不等式(25)可以運(yùn)用Matlab中的LMI工具包進(jìn)行求解,同理任意階系統(tǒng)均可進(jìn)行求解。

3 仿真分析

考慮由兩個子系統(tǒng)組成的離散時間切換系統(tǒng)。

(26)

備注3:矩陣A1的特征值分別為λ11=0.149,λ12=1.121,矩陣A2的特征值分別為λ21=1.189 2,λ22=0.130 8。系數(shù)矩陣均存在大于1的特征值,因此子系統(tǒng)1,2都是非Schur穩(wěn)定的。

不考慮外部干擾d(k)子系統(tǒng)1,2狀態(tài)發(fā)散如圖1和圖2所示。

圖1 子系統(tǒng)1狀態(tài)x(k)Fig.1 The state of subsystem 1

圖2 子系統(tǒng)2狀態(tài)x(k)Fig.2 The state of subsystem 2

給定x(0)=[0.5 0.5]T,標(biāo)量φ=2,φ=0.1。切換駐留時間1 s≤τ≤3.321 9 s,選擇切換駐留時間為3 s,切換周期為6 s，切換信號如圖3所示。

圖3 切換信號Fig.3 Switching signal

在如圖3的切換信號下由不穩(wěn)定子系統(tǒng)1,2組成的不含干擾切換系統(tǒng)狀態(tài)如圖4所示。

圖4 不含干擾切換系統(tǒng)狀態(tài)Fig.4 Switching system state without disturbance

切換系統(tǒng)(26)狀態(tài)邊界估計如圖5和圖6所示。

圖5 切換系統(tǒng)狀態(tài)x1(k)估計Fig.5 State x1(k)estimation in the switching system

圖6 切換系統(tǒng)狀態(tài)x2(k)估計Fig.6 State x2(k) estimation in the switching system

4 結(jié) 論

(1)筆者根據(jù)一類遞減Lyapunov函數(shù)和駐留時間方法給出了所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定的離散時間切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定條件。

(2)根據(jù)離散時間切換系統(tǒng)設(shè)計區(qū)間觀測器,并利用依靠時間的切換策略給出區(qū)間觀測器產(chǎn)生誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，實(shí)現(xiàn)了對所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定的離散時間切換系統(tǒng)的狀態(tài)邊界估計。

(3)在仿真結(jié)果中，所有子系統(tǒng)的狀態(tài)不穩(wěn)定，但是采用切換策略后，所有子系統(tǒng)不穩(wěn)定的離散時間切換系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定,離散時間切換系統(tǒng)在未知干擾的影響下,區(qū)間觀測器仍然可以估計出切換系統(tǒng)狀態(tài)的上下邊界。

(4)筆者提出的離散時間切換系統(tǒng)狀態(tài)邊界估計方法為日后研究電主軸、深溝球軸承等復(fù)雜系統(tǒng)的故障檢測以及容錯控制提供了基礎(chǔ)。