隨機(jī)車流作用的公路斜拉橋振動(dòng)響應(yīng)分析

陳水生,趙 輝,李錦華,陳 瀟

(華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院,江西 南昌 330013)

近年來,隨著我國綜合國力和橋梁建造技術(shù)的提高,大跨度斜拉橋在高速公路和城市道路建設(shè)中迅速發(fā)展,其不僅有美觀的造型,還有很強(qiáng)的跨越能力,在現(xiàn)代大跨度橋梁建設(shè)中有很大的競爭力。但是,斜拉橋本身屬于柔性結(jié)構(gòu),與中小跨徑橋梁相比,其豎向和橫向剛度較弱,在側(cè)風(fēng)、車輛、地震等外部荷載作用下會(huì)產(chǎn)生較大的變形或振動(dòng)[1-3]。車輛荷載激勵(lì)的斜拉橋振動(dòng)響應(yīng),更應(yīng)該引起重視,大型載重貨車出現(xiàn)的頻率和超重的概率較高;同一時(shí)間有多輛不同類型的車輛在橋上行駛。因此,探究隨機(jī)車流荷載作用的斜拉橋振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律具有重大意義。

有關(guān)斜拉橋車致振動(dòng)響應(yīng)的研究,學(xué)者們做了很多工作,也創(chuàng)造了很多有價(jià)值的成果。其中,M.T.SONG[4]和H.ZHANG[5]分別將車輛簡化為1/4車輛模型和1/2車輛模型分析斜拉橋的整體振動(dòng)響應(yīng)和斜拉索的局部振動(dòng)響應(yīng);謝旭[6]分析了不同車輛簡化模型對斜拉橋整體振動(dòng)響應(yīng)和斜拉索振動(dòng)響應(yīng)的影響;X.KONG[7]研究了斜拉橋鋼-混結(jié)合段在重型車荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)特點(diǎn)。但上述斜拉橋的車致振動(dòng)響應(yīng)研究都是單輛車過橋,顯然與實(shí)際交通狀態(tài)不符。隨著對車橋耦合振動(dòng)研究的深入,學(xué)者們也開始探索斜拉橋在隨機(jī)車流荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng),例如,楊沐野[8]主要對斜拉橋鋼箱梁的彎矩和軸力振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析;阮欣[9-10]探討了車流隨機(jī)特性參數(shù)對多塔斜拉橋響應(yīng)特性的影響并基于合成車流預(yù)測斜拉橋的車輛荷載效應(yīng)極值。

雖然學(xué)者們對隨機(jī)車輛荷載作用的斜拉橋振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究,但主要側(cè)重于主梁的振動(dòng)響應(yīng),而有關(guān)橋塔和斜拉索的車致振動(dòng)研究很少,且隨機(jī)車流模型沒有考慮橋面不平順的影響。鑒于此,筆者以一座公路斜拉橋?yàn)檠芯繉ο?綜合考慮各隨機(jī)因素的影響,建立切合實(shí)際交通狀況的隨機(jī)車流模型,分析斜拉橋縱梁、橋塔和斜拉索的振動(dòng)響應(yīng)特點(diǎn),為類似斜拉橋的建造和管理養(yǎng)護(hù)提供參考依據(jù)。

1 車橋耦合振動(dòng)原理

以一輛六軸拖掛車為例,采用傳統(tǒng)彈簧-質(zhì)量-阻尼體系將車輛簡化為17自由度空間模型,考慮牽引車和掛車的豎向振動(dòng)、縱向點(diǎn)頭、側(cè)翻以及車輪振動(dòng),車輛模型如圖1所示。圖中,ks1,ks2,…,ks12為各軸懸架彈簧剛度;kt1,kt2,…,kt12為各車輪剛度;cs1,cs2,…,cs12為各軸懸架阻尼系數(shù);ct1,ct2,…,ct12為各車輪阻尼系數(shù);m1,m2,…,m12為各軸懸架系統(tǒng)質(zhì)量;mhb1,mhb2分別為牽引車和拖掛車的車體質(zhì)量;Ir1,Ir2分別為牽引車和拖掛車的車體仰俯轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Jr1,Jr2分別為牽引車和拖掛車的車體側(cè)翻轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θ1,θ2分別為牽引車和拖掛車的仰俯角;φ1,φ2分別為牽引車和拖掛車的側(cè)傾角;zb1,zb2分別為牽引車和拖掛車的車體豎向位移;z1,z2,…,z12為車輛懸架位移坐標(biāo);z01,z02,…,z012為車輪位移坐標(biāo);B為左右輪寬度;l1,l2,…,l9為各軸間尺寸。

圖1 車輛模型Fig.1 Vehicle model

根據(jù)虛功原理,建立17自由度車輛振動(dòng)方程如下:

(1)

z2…z12zb1θ1φ1zb2φ2]T。

橋梁振動(dòng)方程可以采用廣義坐標(biāo)離散的方法建立,方程表達(dá)式為

(2)

式中:Mb、Cb、Kb分別為橋梁的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;fg為車輛自重引起的各車輪作用點(diǎn)處的荷載向量;δ為單元結(jié)點(diǎn)向量。

為減少計(jì)算自由度,引入模態(tài)綜合法,把相互耦聯(lián)的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程解耦,轉(zhuǎn)化為互相獨(dú)立的模態(tài)方程,解耦后的橋梁振動(dòng)方程為

(3)

其中,

式中:ξn為橋梁第n階阻尼比;ωn為橋梁第n階自振頻率;Φ為橋梁n階振型向量矩陣;y為橋梁廣義坐標(biāo)列向量。

在車輪與橋面板接觸始終不脫離的前提下,通過車輪與橋面接觸處的位移協(xié)調(diào)條件和相互作用力平衡條件,可得第i車輪作用在橋梁上的荷載:

(4)

式中:Ni為第i車輪作用處位移場的插值函數(shù);Ni,x為Ni對車輛行駛方向x坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù);qi為車輪i處的橋面不平度值;fgi為第i車輪所承受的車輛自重;kti、cti分別為第i車輪的剛度和阻尼系數(shù);zi為第i車輪的豎向振動(dòng)位移;v為車輛行駛速度。

將式(4)代入式(3)并整理可得:

(5)

聯(lián)立式(1)和式(5)建立車輛和橋梁的耦合振動(dòng)方程:

(6)

式中:Mbv、Cbv、Kbv分別為車橋相互作用模型的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;Fg為車輛自重所引起的車橋耦合豎向荷載向量;u=[y1…

ynz1…z12zb1θ1φ1zb2φ2]T為廣義坐標(biāo)向量;Fw為橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)引起的車橋耦合豎向荷載。

(7)

(8)

式中:nt為j類型車輛的車輪數(shù)。

根據(jù)式(8)可以計(jì)算動(dòng)態(tài)車輪荷載系數(shù)為

(9)

(10)

2 隨機(jī)車流的模擬

2.1 車型及車道

高速公路上的運(yùn)行車輛各異,車輛類型較多,各類型車輛具有較強(qiáng)的隨機(jī)性,根據(jù)車輛類型現(xiàn)場調(diào)查結(jié)果并參考已有的研究成果[12-13],可以將高速公路上行駛車輛分為六種代表性車型,各車型及車輛行駛車道的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示,各車型出現(xiàn)的頻率和車輛車道的選擇可以采用均勻分布函數(shù)來生成[14]。

表1 車型及車道統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Table 1 The statistics information of vehicle types and lanes

2.2 車 距

橋上行駛車輛的間距體現(xiàn)了交通流的密度和車流的長度,不同的時(shí)間段,上橋車輛數(shù)量是不相同的。根據(jù)實(shí)際交通狀況,可以將交通流劃分為稀疏、一般和密集三種狀況,并分別采用威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布和伽馬分布生成車距樣本[12,15]。為反映不同車流狀況中各車輛之間行車間距的取值范圍及不同車輛間距發(fā)生的概率,在此對每種車流狀況的車輛間距分別生成5 000個(gè)樣本并計(jì)算其概率密度,如圖2所示。圖中給出了各車流狀況的車輛間距所服從概率分布函數(shù)的分布參數(shù)?？梢钥闯?隨著交通流密度的增大,車距的均值變小,概率密度峰值更加突出。

圖2 車輛間距概率密度曲線Fig.2 Probability density curve of vehicle spacing

2.3 車 速

車輛行駛速度的影響因素很多,不同車輛的行駛速度因車輛尺寸和載重量大小而有所不同,且不同交通狀況的車輛行駛速度也不同。根據(jù)動(dòng)態(tài)稱重系統(tǒng)(Weigh-In-Motion System,WIM)長期監(jiān)測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果,每種車型的車速具有正態(tài)分布的特征[16],表2給出了各車型的車速統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

表2 車速統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Table 2 The statistics information of vehicle speed

2.4 車體質(zhì)量

不同車輛的車體質(zhì)量變化較大,與地域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和地理位置有關(guān)。通常情況下,上橋車輛可以分為空載、一般載重和重載三種情況,車體質(zhì)量的最小值是空載情況下車輛自身的質(zhì)量,車體質(zhì)量的最大值與車輛的超載有關(guān)。根據(jù)實(shí)測WIN監(jiān)測數(shù)據(jù),各車型的車體質(zhì)量統(tǒng)計(jì)結(jié)果呈現(xiàn)多峰分布的特點(diǎn),可以采用高斯混合分布擬合各車型車體質(zhì)量[17],擬合的高斯混合分布參數(shù)如表3所示。表中,μi、σi分別為第i個(gè)高斯分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表3 車體質(zhì)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Table 3 The statistics information of vehicle weight

綜合考慮車型、車道、車速、車體質(zhì)量、車輛間距和車輛數(shù)量的隨機(jī)性特征,隨機(jī)車流荷載的模擬流程如圖3所示。以一般車流為例，采用蒙特卡洛隨機(jī)抽樣產(chǎn)生的隨機(jī)車流樣本如圖4所示。

圖3 隨機(jī)車流模擬流程Fig.3 Flow chart of random traffic flow simulation

圖4 隨機(jī)車流樣本Fig.4 Random sample of traffic flow

3 工程案例

3.1 工程概況及橋梁動(dòng)力特性分析

以鄱陽湖二橋?yàn)檠芯繉ο?該橋連接江西省都昌縣和廬山市,跨越中國內(nèi)陸“百慕大”之稱的鄱陽湖老爺廟水域。鄱陽湖二橋?yàn)殡p向四車道的五跨雙塔空間雙索面鋼-混凝土組合梁斜拉橋,采用梁、塔分離的結(jié)構(gòu)形式。主塔采用寶瓶形混凝土橋塔,橋面以上塔高107.6 m;斜拉索呈雙索面扇形布置,拉索最大長度為223.042 m(編號:WZ18、EZ18),拉索最小長度為60.168 m(編號:WZ1、EZ1);主梁鋼構(gòu)架由縱梁、橫梁、小縱梁和壓重小縱梁通過節(jié)點(diǎn)板及高強(qiáng)螺栓連接而成,南側(cè)縱梁ZL1與北側(cè)縱梁ZL2的間距為26 m。橋梁縱斷面和橫斷面如圖5所示,圖中各斜拉索分別編號。

圖5 橋梁縱斷面和橫斷面圖Fig.5 The profile and cross section of the bridge

采用ANSYS有限元軟件建立鄱陽湖二橋的有限元模型,鋼主梁、鋼橫梁和橋塔采用Beam4梁單元模擬,斜拉索采用Link10桿單元模擬,橋面板和鋪裝層采用Shell63殼單元模擬,橋梁有限元模型如圖6所示。ANSYS提取的橋梁前十階基頻和振型如表4所示。由表4可知,鄱陽湖二橋表現(xiàn)出的振型特點(diǎn)主要為主梁的振型特點(diǎn),其次是橋塔,以縱漂、豎向彎曲、側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)為主。由于橋梁各方向的剛度不同,相應(yīng)振型出現(xiàn)的次序也不相同,主梁豎向彎曲振型表現(xiàn)明顯且最早出現(xiàn)在第2階,而主梁側(cè)向彎曲出現(xiàn)在第3階,說明橋梁豎向抗彎剛度較低,且全橋結(jié)構(gòu)的橫向剛度大于豎向剛度;第5階和第6階出現(xiàn)橋塔側(cè)向彎曲,說明橋塔橫向剛度較弱;主梁扭轉(zhuǎn)振型只出現(xiàn)在第9階,扭轉(zhuǎn)剛度較大,這對橋梁抗風(fēng)是有利的;高階次振型主要表現(xiàn)為主梁的豎向彎曲和橋塔的側(cè)向彎曲。

圖6 橋梁有限元模型Fig.6 Finite element model of the bridge

表4 橋梁前十階頻率及振型特征Table 4 The first ten order frequency and mode characteristics of bridge

3.2 橋梁振動(dòng)響應(yīng)分析

3.2.1 縱梁振動(dòng)響應(yīng)

當(dāng)不考慮橋面不平順影響時(shí),在1小時(shí)一般車流荷載作用下的主跨縱梁ZL1跨中豎向振動(dòng)響應(yīng)如圖7所示。

由圖7可知,縱梁跨中振動(dòng)響應(yīng)的離散程度較大,隨機(jī)性較強(qiáng),每一輛重型車過橋都會(huì)出現(xiàn)一次振動(dòng)響應(yīng)峰值,而質(zhì)量較小的C1型小汽車引起的振動(dòng)響應(yīng)較小?？v梁豎向振動(dòng)響應(yīng)最大,縱向振動(dòng)響應(yīng)次之,而橫向振動(dòng)響應(yīng)最小,三者的峰值分別為108.4 mm、27.45 mm、1.06 mm,這與上文分析的斜拉橋各部位的剛度強(qiáng)弱是一致的。

圖7 縱梁ZL1跨中振動(dòng)響應(yīng)Fig.7 Vibration response of longitudinal beam ZL1 in mid-span

三種車流狀況下的主跨縱梁ZL1跨中豎向位移響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)如圖8所示。

圖8 不同車流狀況的縱梁ZL1跨中振動(dòng)響應(yīng)Fig.8 Vibration response of longitudinal beam ZL1 in mid-span under different traffic flow conditions

由圖8可知,隨著橋上車輛數(shù)量的增加,縱梁跨中振動(dòng)響應(yīng)的峰值數(shù)量也增加,但振動(dòng)響應(yīng)的峰值大小并不隨著車輛數(shù)量的增加而變大,一般車流的縱梁振動(dòng)響應(yīng)峰值反而小于稀疏車流的縱梁振動(dòng)響應(yīng)峰值,這與各類型車輛出現(xiàn)的隨機(jī)性有關(guān)。每一個(gè)位移和應(yīng)力響應(yīng)峰值都表明有載重量較大的車輛通過橋梁跨中截面;從縱梁跨中梁底的應(yīng)力響應(yīng)時(shí)程可以看出,車流荷載作用會(huì)激起縱梁的應(yīng)力循環(huán),且縱梁應(yīng)力響應(yīng)的循環(huán)次數(shù)隨著交通流中車輛數(shù)量的增加而增加。橋梁振動(dòng)響應(yīng)的幅值取決于車輛的載重量,隨機(jī)車流荷載更容易引起縱梁的應(yīng)力疲勞;限制重型車的載重量可以有效避免縱梁產(chǎn)生過大的振動(dòng)響應(yīng)。

針對不同的車流狀況,可以利用FFT變換的方法對縱梁跨中豎向位移和應(yīng)力響應(yīng)的時(shí)域信號進(jìn)行頻域轉(zhuǎn)換,得到振動(dòng)響應(yīng)的功率譜密度(PSD),如圖9所示。由圖9可知,橋梁振動(dòng)響應(yīng)的PSD峰值主要集中在主頻附近,且車流密度越大,振動(dòng)響應(yīng)的能量就越大。

圖9 縱梁ZL1跨中豎向位移的功率譜密度Fig.9 Power spectral density of vertical displacement of longitudinal beam ZL1 in mid-span

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論,在頻域內(nèi)對相應(yīng)的功率譜密度進(jìn)行積分,可以求出振動(dòng)響應(yīng)的均方根值,縱梁ZL1沿橋長方向各截面的位移和應(yīng)力響應(yīng)均方根值如圖10所示。

圖10 縱梁ZL1各截面振動(dòng)響應(yīng)均方根值Fig.10 Root mean square value of vibration response at each section of longitudinal beam ZL1

由圖10可知，不同車流狀況下,主跨跨中位置附近的振動(dòng)響應(yīng)均方根值最大,豎向位移響應(yīng)均方根值峰值只出現(xiàn)在各跨的跨中位置附近,而梁底應(yīng)力響應(yīng)均方根值峰值不僅在各跨跨中位置出現(xiàn),而且在邊跨與次邊跨交接位置也出現(xiàn)了峰值。密集的縱梁豎向位移響應(yīng)均方根值較大,一般車流次之,稀疏車流較小,三者的最大值分別為11.86 mm、8.37 mm、6.18 mm。雖然沿橋長不同截面位置的應(yīng)力響應(yīng)均方根值波動(dòng)較大,但依然是密集車流的應(yīng)力響應(yīng)均方根值最大,一般狀態(tài)次之,稀疏車流較小,最大值分別為27.13 kPa、17.21 kPa、13.53 kPa。

3.2.2 橋塔振動(dòng)響應(yīng)

以西側(cè)橋塔為例,不同車流狀況的塔頂縱向振動(dòng)響應(yīng)和沿橋塔高度各截面的縱向位移響應(yīng)均方根值如圖11所示。由圖11可知，塔頂縱向振動(dòng)響應(yīng)的峰值數(shù)量隨著交通流車輛密度的增大而增大,峰值的大小取決于隨機(jī)過橋車輛的載重量;沿橋塔高度各截面的縱向位移響應(yīng)均方根值隨著車流密度的增大而增大;橋塔的高度越大,縱向位移響應(yīng)的均方根值就越大。

圖11 不同車流狀況的橋塔縱向振動(dòng)響應(yīng)Fig.11 Longitudinal vibration response of bridge tower under different traffic flow conditions

3.2.3 斜拉索振動(dòng)響應(yīng)

以西岸橋塔南側(cè)斜拉索為分析對象,圖12給出了一般車流荷載作用下最長拉索WZ18中點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)。

圖12 拉索WZ18的振動(dòng)響應(yīng)Fig.12 Vibration response of cable WZ18

由圖12可知，拉索的軸向振動(dòng)響應(yīng)峰值大于和面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)峰值,而拉索的面外振動(dòng)響應(yīng)峰值最小,三者的峰值分別為61.66 mm、56.77 mm、2.69 mm。拉索振動(dòng)響應(yīng)的峰值數(shù)量和峰值大小取決于拉索兩端橋塔和縱梁的振動(dòng)響應(yīng),塔端提供了較大的縱向振動(dòng),梁端提供了較大的豎向振動(dòng),所以拉索的軸向和面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)較大;而塔端和梁端提供給拉索的橫向振動(dòng)較小,故拉索的面外振動(dòng)響應(yīng)較小。

不同車流荷載作用的各斜拉索中點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的均方根最大值如圖13所示。

圖13 拉索振動(dòng)響應(yīng)的均方根最大值Fig.13 Maximum root mean square of cable vibration responses

由圖13可知，各拉索的振動(dòng)響應(yīng)均方根最大值隨著交通流密度的增大而增大;較長拉索的軸向振動(dòng)響應(yīng)均方根值大于較短拉索,其中最長索WZ18的軸向振動(dòng)響應(yīng)均方根值最大,最短索WZ1的軸向振動(dòng)響應(yīng)均方根值最小;不同位置拉索的面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)均方根最大值各不相同,主跨各拉索的面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)均方根值大于邊跨和次邊跨各拉索。

三根長拉索:邊跨長拉索WB18、次邊跨長拉索WB8和主跨長拉索WZ18的中點(diǎn)面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)均方根最大值如表5所示,結(jié)合圖13可以看出,次邊跨長拉索WB8的面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)均方根值最小,主跨長拉索WZ18的面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)均方根值最大。

3.2.4 橋面不平順的影響

橋面不平順具有很大的隨機(jī)性,是橋梁產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)的主要激勵(lì)源之一,具有各態(tài)歷經(jīng)性,其不平順高程的描述國際上通常采用頻域方法,用功率譜密度來進(jìn)行標(biāo)定。當(dāng)車輛以速度v勻速行駛時(shí),其功率譜密度可以表示為

(11)

其中,n0=0.1 m-1,為空間參考頻率;Sq(n0)為橋面不平度系數(shù),與橋面路況等級有關(guān);f表示有效頻帶中的某一時(shí)間頻率,通常情況下其取值范圍為0.33～28.3 Hz[16]。

在一般交通流車輛荷載作用下,分別考慮光滑、A級、B級、C級四種橋面路況,表6給出了縱梁ZL1跨中豎向、西岸橋塔塔頂縱向和拉索WZ18中點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)均方根值。從表中數(shù)據(jù)可以看出,斜拉橋的振動(dòng)響應(yīng)隨橋面路況的惡化而增大,C級橋面路況的橋梁振動(dòng)響應(yīng)均方根約為光滑路況的2倍,橋面路況對斜拉橋各部位的振動(dòng)具有較大影響。因此,橋面的定期保養(yǎng)可以有效減小橋梁的振動(dòng)。

表6 不同橋面路況等級的橋梁振動(dòng)響應(yīng)均方根Table 6 Root mean square value of bridge vibration response under different road conditions

4 結(jié) 論

(1)斜拉橋的車致振動(dòng)響應(yīng)隨著車流密度的增大而增大。

(2)縱梁各跨跨中截面的豎向振動(dòng)響應(yīng)均方根值較大,其中主跨跨中截面的振動(dòng)響應(yīng)均方根值最大;橋塔縱向振動(dòng)響應(yīng)沿橋塔高度的增加而增大;斜拉索的振動(dòng)響應(yīng)較為復(fù)雜,其中軸向振動(dòng)響應(yīng)隨著拉索長度的增加而增大,面外振動(dòng)響應(yīng)因拉索長度不同而各異。

(3)橋梁振動(dòng)響應(yīng)隨著橋面路況的惡化而增大,為了減小橋梁的振動(dòng)響應(yīng),應(yīng)對過橋大型貨車的載重進(jìn)行限制,避免超載,并加強(qiáng)橋面養(yǎng)護(hù)。