構(gòu)建轉(zhuǎn)化關(guān)系 巧解多個(gè)三角形

倪 軍

(安徽省和縣第一中學(xué) 238300)

利用正、余弦定理求解多個(gè)三角形問(wèn)題，一般會(huì)以平面幾何為背景進(jìn)行命題，對(duì)于此類問(wèn)題一般需要通過(guò)邊、角或向量知識(shí)為紐帶進(jìn)行求解.

1 以邊為紐帶，巧解多個(gè)三角形

在四邊形中，通過(guò)連接對(duì)角線，則可以構(gòu)造成兩個(gè)三角形，在三角形中，取其中一邊上一點(diǎn)與其該邊的頂點(diǎn)相互連接，則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)小三角形和一個(gè)大三角形，解決此類問(wèn)題，一般可以通過(guò)求解其公共邊進(jìn)行解決.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7.

(2)設(shè)∠ACD=α，

圖1

在△ABC中，

點(diǎn)評(píng)化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧，對(duì)于多個(gè)三角形的求解問(wèn)題，通常可以先在一個(gè)三角形中進(jìn)行解三角形，求出公共邊的長(zhǎng)或表達(dá)式，然后再根據(jù)另外一個(gè)三角形建立等式關(guān)系去求解題目所設(shè)置的問(wèn)題.

2 以角為紐帶，巧解多個(gè)三角形

在三角形中，取其中一條邊上的一點(diǎn)，與該對(duì)邊的頂點(diǎn)相互連接，則可構(gòu)成兩個(gè)三角形，其中這條邊的兩側(cè)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)互為補(bǔ)角的角所對(duì)應(yīng)的余弦值互為相反數(shù)，因此可利用余弦定理分別在兩個(gè)三角形中去求解這兩個(gè)角的余弦值，再根據(jù)兩角間的關(guān)系建立等式.

例2 (2021年山東滕州一中月考)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a(sinA+sinB)=2bsinB.

(1)證明：A=B；

解析(1)因?yàn)閍(sinA+sinB)=2bsinB，

所以由正弦定理，得a(a+b)=2b2.

整理,得(a+2b)(a-b)=0.

因?yàn)閍+2b>0，所以a=b，即A=B.

(2)設(shè)BD=x，則AD=2x.

由余弦定理,得

因?yàn)椤螩DA=π-∠CDB，

解得x=2.

所以c=AB=3BD=6.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)∠CDA=π-∠CDB和余弦定理將邊化角是迅速解答本題的關(guān)鍵，對(duì)于此類問(wèn)題，在熟練運(yùn)用余弦定理及其推論的基礎(chǔ)上，還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用.

3 以向量為紐帶，巧解多個(gè)三角形

平面向量的三種線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量，在三種線性運(yùn)算中，加法是最基本、最重要的運(yùn)算，減法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算都以加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算．在多個(gè)三角形中就可以通過(guò)線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積構(gòu)建等式關(guān)系，其中，余弦定理就可以通過(guò)向量方法進(jìn)行推導(dǎo).

(1)求A；

(2)若b=2c，求△ABC的面積.

解析(1)因?yàn)?sinA+sinB)(a-b)+bsinC=csinC，由正弦定理，得

a2-b2+bc=c2.

(2)因?yàn)锳D為△ABC的中線，

兩邊同時(shí)平方,得

故28=c2+b2+bc.

因?yàn)閎=2c，所以c=2，b=4.

點(diǎn)評(píng)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)解決．解決兩個(gè)三角形的解三角形問(wèn)題，一般要用公共邊的向量表示其它邊，再進(jìn)行平方，進(jìn)而結(jié)合向量知識(shí)與余弦定理的關(guān)系進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

因?yàn)镾△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，

所以AB=2AC.

(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC，

在△ABD和△ADC中，由余弦定理,得

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知AB=2AC，故AC=1.