利用“等和線”解題

鐘建新

(浙江省春暉中學(xué) 312300)

圖1

當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；

當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；

當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時(shí)，k∈(1,+∞)；

當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)O時(shí)，k=0；

當(dāng)?shù)群途€與直線AB在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，則k<0.

利用等和線求解數(shù)值k(k>0)的基本步驟如下：

①連接AB，構(gòu)造直線AB；

圖2

所以由等和線結(jié)論得x+y的最大值是2.

例2 在ABCD中，E,F分別為CD和BC的中點(diǎn)，若則x+y=____.

圖3

變式在ABCD中，E,F分別為CD和BC的中點(diǎn)，若則x+y=____.

評(píng)注若待求和的兩個(gè)數(shù)不全為題設(shè)中基底的兩系數(shù)，此時(shí)可構(gòu)造一組新基底，使待求和的兩個(gè)數(shù)分別為新基底的兩系數(shù).

圖4

即此時(shí)x+y取到最大值5.

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，連接CE，易證得CE∥BE′.

因?yàn)镋為邊AB中點(diǎn)，

所以C為邊AN中點(diǎn).

評(píng)注等和線所描述的結(jié)論要求表達(dá)式中的三個(gè)向量共起點(diǎn)，若起點(diǎn)不一致，則可考慮利用向量的減法法則或者平移相關(guān)向量去統(tǒng)一它們的起點(diǎn).

G·波利亞在《怎樣解題》指出：“對(duì)于一個(gè)題目，首先要熟悉題目，我應(yīng)該從哪里開始？我能做什么？這樣做我能得到什么？然后深入了解題目”.只要我們對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行全面深入的研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其解法還是有跡可循.