高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式法訓(xùn)練的應(yīng)用

王洪學(xué)

(江蘇省邳州市炮車中學(xué) 221300)

高中數(shù)學(xué)題目雖然內(nèi)容變化萬千，但本質(zhì)卻萬變不離其宗.在大多數(shù)時(shí)候，都需要學(xué)生靈活變換思維，以達(dá)到撥云見日的解題目的.數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)模式中常常習(xí)慣通過“題海戰(zhàn)術(shù)”來讓學(xué)生養(yǎng)成條件反射的學(xué)習(xí)習(xí)慣，而這種方式會逐漸消磨高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)耐心，直至到力不從心的狀態(tài).為了解決這個(gè)教學(xué)弊端，本文將論述變式法訓(xùn)練的具體應(yīng)用，探究高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新思路，為促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)解題能力提供有力的策略.

1 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用價(jià)值

1.1 減少不必要的習(xí)題練習(xí)

高中生的課業(yè)本就繁重，又要面對高考的如山壓力.高壓狀態(tài)下，學(xué)生很容易產(chǎn)生崩潰的心理.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)用精煉、用少量的題目，達(dá)到海量、繁雜的題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練效果.機(jī)械、反復(fù)的做題雖然能達(dá)到熟能生巧的程度，但對于學(xué)生而言無疑會增加學(xué)習(xí)壓力，訓(xùn)練的效率也比較低下.如果改用變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通的思考能力，迅速從變式訓(xùn)練中總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，掌握各種有效的解題思路.由此，不僅能減緩高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力，也能從解題的過程中感受到學(xué)習(xí)樂趣.

1.2 有效提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率

在變式訓(xùn)練中，高中生常常能見到一種例題的多種問法、多種解法，學(xué)生在這種教學(xué)啟示下，能強(qiáng)化歸納整理以及思維發(fā)散的學(xué)習(xí)效果.在同樣的時(shí)間內(nèi)掌握更多類型的題型，學(xué)會從整體角度思考問題.因此，數(shù)學(xué)教師有效利用變式法訓(xùn)練，不僅能激活高中生的數(shù)學(xué)思維.還能幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)自信，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，有效提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.

1.3 培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的創(chuàng)新意識

變式法訓(xùn)練的主要目的，在于教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度觀察問題、思考問題、剖析問題，并能結(jié)合題目內(nèi)容全面思考、大膽假設(shè)，迅速找出題目中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律.這樣有助于高中生從固定、僵化的解題思維中脫離出來，逐漸培養(yǎng)出舉一反三的創(chuàng)新解題意識.

2 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用措施

2.1 分析式訓(xùn)練

應(yīng)用分析式訓(xùn)練的主要目的，是為了通過變式法訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握多種類型的數(shù)學(xué)習(xí)題，有效積累解題經(jīng)驗(yàn).高中數(shù)學(xué)題按照題型進(jìn)行分類，可以分為基礎(chǔ)型、綜合型.基礎(chǔ)類題目主要考察學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念掌握的是否扎實(shí)，這一類題目大多通過填空或選擇的方式體現(xiàn).

例1奇函數(shù)關(guān)于____對稱.

2.2 漸進(jìn)式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)教師在變式訓(xùn)練時(shí)，可以采用循序漸進(jìn)的方式逐步加深訓(xùn)練的難度.以同一道習(xí)題為引，一點(diǎn)點(diǎn)引入多種重要的知識點(diǎn)，幫助學(xué)生將不同的數(shù)學(xué)理論統(tǒng)籌在一起，建構(gòu)成良好的知識體系.漸進(jìn)式訓(xùn)練十分契合高中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，能通過由淺至深的形式，一步步深化學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生逐漸進(jìn)入到深度學(xué)習(xí)狀態(tài).

例2已知存在點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(-7,0)，試問在直線y=3上是否存在點(diǎn)P，與點(diǎn)A、點(diǎn)B構(gòu)成直角三角形.解答這道題，可以從向量的角度入手，將向量OA、向量OB的坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)直角三角形直角邊垂直的知識角度進(jìn)行列式計(jì)算.若將這道題的難度加大，改成存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，恒定滿足PA⊥PB，試求P的軌跡方程.這個(gè)問題需要學(xué)生從圓的方程角度來進(jìn)行思考，解題思路比前一問要更加深入.若繼續(xù)將問題延伸，繼續(xù)改變問題內(nèi)容，問某直線同樣存在點(diǎn)P，試問直線和圓存在怎樣什么位置關(guān)系.這個(gè)問題需要分析直線上存在幾個(gè)點(diǎn)P，若只有一個(gè)，那么就與該圓相切，若有兩個(gè)，就與圓相交.由此，隨著題目的不斷延伸，學(xué)生結(jié)合的知識點(diǎn)會越來越多，學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力也會越來越強(qiáng).

3 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)關(guān)于變式法訓(xùn)練的應(yīng)用要點(diǎn)

3.1 一題多問的教學(xué)應(yīng)用

一種習(xí)題多種問法，是數(shù)學(xué)教師應(yīng)用變式法訓(xùn)練的關(guān)鍵點(diǎn).這種教學(xué)方式在應(yīng)用過程中通常不會對題目進(jìn)行較大的變動(dòng)，只是適當(dāng)改變題目的問法.這樣可以幫助學(xué)生迅速總結(jié)同一種類型習(xí)題的延伸變化，充分開拓高中生的解題思路.因此，數(shù)學(xué)教師可以在授課內(nèi)容的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，讓題目的問法更具有針對性和引導(dǎo)性.

例3已知點(diǎn)A(-8，11)，點(diǎn)B(-9,12)，如果存在一個(gè)點(diǎn)P(x，y)保證∠APB恒定為直角，試求P的軌跡方程.這道題的也可以換幾種問法，比如過點(diǎn)A(-8，11)的直線C1與過點(diǎn)B(-9,12)的直線C2相互垂直，垂足為P，試求P的軌跡方程.再比如點(diǎn)A(-8，11)，點(diǎn)B(-9,12)為直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)，另有一動(dòng)點(diǎn)P分別與點(diǎn)A、點(diǎn)B相連接，滿足PA⊥PB，試求P的軌跡方程.同一題目，三種問法，但實(shí)質(zhì)上應(yīng)用的卻是同一種解題思路.只是從論述的角度進(jìn)行些微的調(diào)整，成為高中生解題時(shí)的主要干擾.學(xué)生在面對這一類習(xí)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)學(xué)會透過問題看本質(zhì)，看到動(dòng)點(diǎn)、直角，就要聯(lián)想到“圓上任意一點(diǎn)與直徑兩端(不包括直徑兩段的點(diǎn))能組成直角三角形”這個(gè)重要的結(jié)論.

3.2 一題多解的教學(xué)應(yīng)用

許多數(shù)學(xué)習(xí)題的解題思路屬于開放形式，并非一成不變.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最忌諱墨守成規(guī)，高中生想要提高解題能力，需要做到多管齊下，而不是“一招鮮，吃遍天”.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)引入一題多解類型的變式習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)角度思考解題的策略，逐漸加強(qiáng)高中生的自主探究能力與多元思維能力.

例4不等式4<|3x-1|<9，針對這道例題，有兩種解析思路.第一，從絕對值角度入手，按照絕對值的定義，當(dāng)3x-1≥0時(shí)，滿足4<3x-1<9，當(dāng)3x-1<0時(shí)，滿足-9<3x-1<-4，針對兩種情況分類討論，就能求出最后的答案.第二種解題思路，先將原式分離成兩個(gè)不等式|3x-1|<9與|3x-1|>4，寫成不等式組的形式，求解方程組，寫出解集，同樣也能得出最后的答案.雖然兩種解題的思路不一樣，但殊途同歸，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是唯一的.而這也可以作為高中生嘗試應(yīng)用不同解題思路的驗(yàn)證途徑.讓學(xué)生在掌握多種解題方法的同時(shí)，能保證結(jié)果的準(zhǔn)確度.

3.3 一題多變的教學(xué)應(yīng)用

所謂一題多變，是以某道經(jīng)典例題為基礎(chǔ)，在不改變題目本質(zhì)和原理的基礎(chǔ)上，適當(dāng)改變表述的方式，以起到提高學(xué)生讀題能力、幫助學(xué)生迅速熟悉解題技巧的目的.對于一題多變，教師可以從學(xué)生考試或平時(shí)作業(yè)中錯(cuò)誤率最高的題型中進(jìn)行篩選.通過不同的編題方式，讓學(xué)生靈活思考，從多個(gè)角度來嘗試分析問題.這不僅能拓展學(xué)生的思維深度，也能幫助學(xué)生迅速熟悉和掌握變式訓(xùn)練方法.

變式二：如果sinα=a(a>0)，試問tanα的值為多少？變式二與變題一相比，分類討論上明顯變的更為復(fù)雜.學(xué)生首先要根據(jù)a>0，找出題目中隱藏的條件0

變式三：如果sinα=b(|b|≤1)，試問tanα的值為多少？與變式二相比，變式三增加了絕對值的概念，分類討論的情況會進(jìn)一步增加，包括b=1，-1,0，以及α在一、四象限或二、三象限等等.通過這種變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的做題習(xí)慣.

3.4 求同存異的教學(xué)應(yīng)用

高中生在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)明明看上去題目的類型不同，但卻需要應(yīng)用同一種解題思路，這也是數(shù)學(xué)題常見的共通性特點(diǎn).教師在解題教學(xué)中，可以基于求同存異的思想，指導(dǎo)學(xué)生嘗試在不同的習(xí)題中，歸納數(shù)學(xué)知識，將解題方法進(jìn)行串聯(lián)，以起到一法多用的學(xué)習(xí)效果.

數(shù)學(xué)問題表面上看似多變，但實(shí)質(zhì)上卻蘊(yùn)含著共通之處.如果只靠不停的做題來強(qiáng)行記憶所有的題干描述形式，那么高中生的學(xué)習(xí)任務(wù)不僅繁重，效率也將十分低下.通過變式法訓(xùn)練，可以激發(fā)學(xué)生舉一反三的思考能力，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維將大有裨益.教師在開展變式法訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過“分析式、漸進(jìn)式、差異化”等應(yīng)用策略，從一題多問、一題多解、一題多變、求同存異四個(gè)應(yīng)用要點(diǎn)入手，為學(xué)生帶來良好的學(xué)習(xí)啟示，幫助學(xué)生掌握多元化的解題方式，強(qiáng)化學(xué)以致用的數(shù)學(xué)素養(yǎng).