挖掘隱含條件 縮小角的范圍

張 剛

(安徽省宿州應(yīng)用技術(shù)學(xué)校 234000)

在三角函數(shù)求值、求角問題中，都需要注意角的取值范圍，如果所給條件范圍合適，則迅速破解，但大多數(shù)情況下，題目條件都會(huì)設(shè)置一定障礙，特別是角的范圍.因此，面對(duì)三角函數(shù)問題，就需要挖掘題目的隱含條件，縮小角的范圍，進(jìn)行合理取舍.

1 利用三角函數(shù)值符號(hào)“縮角”

因?yàn)?5°<75°+α<225°，所以75°

所以sin(15°-α)=sin(15°-t+75°)

=sin(90°-t)

=cost

2 利用三角函數(shù)有界性“縮角”

但是當(dāng)cos(α+β)=1時(shí)，α+β=0，故舍去.

3 利用三角函數(shù)值大小“縮角”

圖1

(1)求tan∠AOB；

(2)求α+2β的值.

4 利用“sinα±cosα”重要結(jié)論“縮角”

所以|sinα|>|cosα|.

進(jìn)而|tanα|>1，故tanα=-3.

評(píng)注sinα±cosα的值的正負(fù)隱含了sinα，cosα的絕對(duì)值的大小關(guān)系.如果對(duì)等式平方，則根據(jù)sinα，cosα的正負(fù)，可以判斷sinα，cosα的正負(fù).對(duì)于此類問題，根據(jù)符號(hào)法則可得到|sinα|，|cosα|的大小關(guān)系，進(jìn)而可判斷|tanα|大于1還是小于1.

5 利用輔助角公式求值“縮角”

6 利用三角函數(shù)單調(diào)性“縮角”

解法1 因?yàn)閍，β為銳角，

解法2 因?yàn)閍，β為銳角，

評(píng)注采用正弦求值，由于正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π)上不單調(diào)，會(huì)出現(xiàn)兩解，舍掉增解不容易掌握，而采用余弦求值，由于余弦函數(shù)在(0，π)上為單調(diào)遞減，角度唯一確定，不需要討論.可見在某個(gè)區(qū)間內(nèi)求角度大小，采用在該區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)更容易確定縮角，排除增解求出數(shù)值.

7 利用三角函數(shù)合理公式“縮角”

在△ABC中，