動(dòng)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)分析與運(yùn)動(dòng)合成定理推證

高宗戰(zhàn) 劉 偉 高行山 張勁夫 劉永壽 支希哲

(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710072)

點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)作為理論力學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，不但是后續(xù)剛體平面運(yùn)動(dòng)的理論鋪墊，而且其所蘊(yùn)含的“分解-合成” 的研究方法也需要重點(diǎn)給學(xué)生闡述。國(guó)內(nèi)大部分理論力學(xué)教材中關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)中點(diǎn)的速度合成定理的推導(dǎo)，是基于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系中做任意運(yùn)動(dòng)的矢量圖模型，通過(guò)平均速度取極限的方法形成的速度矢量三角形來(lái)得到的。該方法最早是由伏龍科夫著的理論力學(xué)教材[1]引入，具有簡(jiǎn)明直觀的優(yōu)點(diǎn)，但是仍然存在兩個(gè)不容忽視的問(wèn)題：(1)由于牽連點(diǎn)是一個(gè)不斷變動(dòng)的點(diǎn)，直接用位移求導(dǎo)的方法計(jì)算牽連速度容易被學(xué)生誤解。(2)后續(xù)合成加速度的推導(dǎo)，是基于矢徑求導(dǎo)的方法獲得的，造成速度與加速度合成推導(dǎo)在方法上不銜接，給學(xué)生帶來(lái)疑點(diǎn)：為什么在速度合成定理中未采用該方法？因此，點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)一直是理論力學(xué)教學(xué)中的關(guān)注點(diǎn)和爭(zhēng)論點(diǎn)。針對(duì)速度合成定理，給出更加嚴(yán)謹(jǐn)一致的推導(dǎo)方法是理論力學(xué)教學(xué)工作者的責(zé)任。

國(guó)內(nèi)廣大的理論力學(xué)工作者針對(duì)該問(wèn)題，提出了不少解決方案。陳立群[2]對(duì)歐美理論力學(xué)教材中的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了剖析。胡浩等[3]通過(guò)“跟蹤牽連點(diǎn)”方法，將某瞬時(shí)的牽連點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)從空間位置上“分離”。王維等[4]引入“耦合位移” 的概念改進(jìn)現(xiàn)行大多數(shù)教材中普遍采用的點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理的幾何法推導(dǎo)。牛聰民[5]提出用復(fù)數(shù)量去區(qū)分“動(dòng)系中觀察者的觀測(cè)結(jié)果”和“定系中觀察者對(duì)動(dòng)系中觀察者觀測(cè)結(jié)果的測(cè)量”，上述有的方法由于數(shù)學(xué)要求較高，不易被學(xué)生理解，未獲得教材上的廣泛采用。有的方法是采用剛體平面運(yùn)動(dòng)的概念指出牽連速度[6]，該方法的缺點(diǎn)是知識(shí)順序的跳躍，不宜教學(xué)使用。本文避免了上述問(wèn)題，給出了形式上一致且易于學(xué)生理解點(diǎn)的速度和加速度合成定理的推證過(guò)程。

1 牽連速度和加速度的解析表達(dá)

圖1 牽連點(diǎn)M′ 在兩個(gè)不同時(shí)刻的位置狀態(tài)

2 速度合成分析

固定坐標(biāo)系為Oxyz，動(dòng)系為O′x′y′z′，動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系和定系中均作任意運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)模型如圖2 所示，以矢徑rM和r′M分別表示動(dòng)點(diǎn)M在定系上和在動(dòng)系上的位置矢徑；rO′為動(dòng)系坐標(biāo)原點(diǎn)O′在定系上的位置矢徑，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系上的坐標(biāo)為(xr,yr,zr)。

圖2 合成運(yùn)動(dòng)速度分析模型

動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)矢徑可以表示為

即采用解析法獲得的速度合成定理。

3 加速度合成分析

圖3 中矢徑rM和r′M分別表示動(dòng)點(diǎn)M在定系中和在動(dòng)系中的位置矢徑；rO′為點(diǎn)O′在定系中的位置矢徑。動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度為

圖3 合成運(yùn)動(dòng)加速度分析模型

式中，將2ω×vr記為aC，稱為科氏加速度。式(17)表示，動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度等于牽連加速度、相對(duì)加速度與科氏加速度的矢量和，即點(diǎn)的加速度合成定理。

4 結(jié)論

本文對(duì)動(dòng)點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了再分析，并采用解析方法推證了點(diǎn)的速度和加速度合成定理，獲得的主要結(jié)論如下。

(1)從動(dòng)系上看牽連點(diǎn)和從動(dòng)系上觀察動(dòng)點(diǎn)，是兩個(gè)不同的概念。任意瞬時(shí)，牽連點(diǎn)是動(dòng)系上的某一“固定點(diǎn)”，相對(duì)于動(dòng)系不運(yùn)動(dòng)，但是動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

(2)牽連點(diǎn)M′為動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)M相重合的點(diǎn)，但是由于從動(dòng)系上觀察牽連點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)存在區(qū)別，因此，兩者坐標(biāo)相同，但坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)并不相同。

(3)本文指出上述兩點(diǎn)差異后，對(duì)動(dòng)點(diǎn)和牽連點(diǎn)的區(qū)分更加直觀，在速度和加速度合成時(shí)采用解析方法推證，易于學(xué)生理解和教學(xué)。