從釣魚竿的變形看逐段分析求和法

胡偉平 詹志新 孟慶春

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院固體力學(xué)研究所，北京 100191)

逐段分析求和法[1](或稱為逐段剛化法[2]或逐段軟化法[3])是梁變形計(jì)算中的一種重要方法。現(xiàn)有材料力學(xué)教材關(guān)于該方法的介紹主要有三種方式，第一種是只明確提出疊加法而不提逐段分析求和法[4-7]，僅把逐段分析求和法作為疊加法的一種實(shí)現(xiàn)方法。第二種是兩種方法都明確提出來(lái)，但是對(duì)于這種方法的來(lái)源以及理論基礎(chǔ)沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明[2]。第三種是將該方法統(tǒng)一歸于梁變形計(jì)算的疊加法一節(jié)，并明確指出逐段分析求和法與疊加法的理論基礎(chǔ)其實(shí)并不相同，疊加法的理論基礎(chǔ)是力的獨(dú)立作用原理，而逐段分析求和法的理論基礎(chǔ)是梁局部變形與總體位移之間的幾何關(guān)系[1,3]，但未說(shuō)明這個(gè)幾何關(guān)系到底是什么，以及這種幾何關(guān)系與具體應(yīng)用時(shí)的方法是怎樣聯(lián)系起來(lái)的。一般來(lái)說(shuō)，同學(xué)們對(duì)于力的獨(dú)立作用原理都很清楚，但是對(duì)于梁局部變形與總體位移之間的幾何關(guān)系，理解起來(lái)就比較模糊了。另外，教師在介紹逐段分析求和法時(shí)，往往偏重于該方法的具體應(yīng)用[8]，忽略對(duì)這種方法的力學(xué)本質(zhì)的分析，以至于同學(xué)們很容易認(rèn)為這是一種全新的方法，并只注重采用這種方法做習(xí)題，而不去思考該方法背后的思想和原理。本文試圖從釣魚竿這一生活中的實(shí)例入手，通過(guò)對(duì)釣魚竿的變形分析自然引入逐段分析求和法，并由變形分析導(dǎo)出具體計(jì)算時(shí)采用的方法，即逐段剛化法或逐段軟化法。進(jìn)而討論應(yīng)用逐段分析求和法的前提條件，以及其與疊加法的本質(zhì)區(qū)別。最后，通過(guò)從離散逐步逼近連續(xù)的數(shù)學(xué)思想，闡明逐段分析求和法與積分法的內(nèi)在聯(lián)系。

1 釣魚竿撓度計(jì)算的基本力學(xué)模型

釣魚竿是大家非常熟悉的一種娛樂(lè)或生活用具，如圖1(a) 所示。盡管一般不會(huì)去思考釣魚竿的變形問(wèn)題，但都會(huì)注意到釣魚竿的結(jié)構(gòu)形式。用日常生活用語(yǔ)描述就是一節(jié)一節(jié)的，用材料力學(xué)術(shù)語(yǔ)描述就是典型的變截面梁。因此，釣魚竿的力學(xué)模型可以表示為如圖1(b) 所示結(jié)構(gòu)。

圖1 釣魚竿及其力學(xué)模型

當(dāng)釣魚竿釣上魚的時(shí)候，魚竿發(fā)生明顯的彎曲變形，如圖2(a)所示。此時(shí)，釣魚竿的力學(xué)模型可以簡(jiǎn)化為變截面梁在自由端受鉛垂集中力F，如圖2(b)所示。觀察釣魚竿的變形，能夠直觀認(rèn)識(shí)到，釣魚竿端頭的位移與魚竿每一段的彎曲變形都相關(guān)，這便是教材上所說(shuō)的“梁的總體位移與局部變形之間的關(guān)系”。但是，到底總體位移與局部變形之間是什么關(guān)系，以及如何來(lái)描述這種關(guān)系，這就需要進(jìn)行定量的分析與推導(dǎo)了。

圖2 釣上魚的釣魚竿及其對(duì)應(yīng)的變形分析力學(xué)模型

為了便于進(jìn)行問(wèn)題的分析與說(shuō)明，首先研究?jī)啥巫兘孛媪旱淖冃螁?wèn)題，其力學(xué)模型如圖3(a)所示。按照一般的教學(xué)安排，在梁變形計(jì)算部分，首先介紹的是積分法，然后是疊加法。介紹這兩種方法時(shí)都是以等截面均質(zhì)梁為研究對(duì)象的。因此，變截面梁的變形計(jì)算對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的問(wèn)題。在材料力學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，從變形觀察入手來(lái)進(jìn)行力學(xué)問(wèn)題的分析是一個(gè)重要的方法。通過(guò)對(duì)變形規(guī)律的定性分析和描述，能夠很好地啟發(fā)定量建立相關(guān)方程。因此，在并不明確采用何種方法進(jìn)行變截面梁的變形分析時(shí)，可以直觀地畫出兩段變截面梁的變形圖，如圖3 (b) 所示。圖中為了方便起見，定義A1A0為第1 段，A2A1為第2 段。

圖3 釣魚竿變形分析的基本力學(xué)模型與變形示意圖

從圖中可以看出，A0截面的撓度可以分成三部分，即wa，wb和wc，并且有

式中，wc為第2 段彎曲變形時(shí)A1截面撓度所引起的A0截面撓度，wb為第2 段彎曲變形產(chǎn)生的A1截面轉(zhuǎn)角所引起的A0截面撓度，wa則為第1 段自身彎曲變形所引起的A0截面撓度。即，wc和wb為第2 段的變形效果，wa為第1 段的變形效果。于是，式(1)可以描述為：變截面梁A0截面的撓度等于各段變形效果的總和。將這一描述推廣到一般情況，即為：梁總體位移等于各局部變形效果的總和。這就是梁總體位移與局部變形之間的幾何關(guān)系。

2 釣魚竿基本力學(xué)模型的計(jì)算方法

上一節(jié)建立了釣魚竿基本力學(xué)模型，即兩段變截面梁模型，并通過(guò)變形分析得到了變截面梁總體撓度與各段變形之間的關(guān)系，即由式(1) 給出的總體位移等于各段變形效果總和。按照這一思路，只需求出各段變形效果，問(wèn)題就得以解決。但是在梁的真實(shí)變形中，兩段的變形總是同時(shí)發(fā)生的，如何才能將兩段變形效果分開進(jìn)行計(jì)算?；蛘哒f(shuō)，在什么情況下，變截面梁的撓度僅與其中一段的變形效果相關(guān)。按照這一思路，可以得到如圖4(a)和圖4(b)所示力學(xué)模型，即對(duì)梁每一段的變形效果進(jìn)行分解。

圖4 變截面梁每一段變形效果的分解

圖4(a) 中，A2A1段視為剛體，在這種情況下A0截面的撓度僅包含A1A0段的變形效果。圖4(b)中，A1A0段視為剛體，此時(shí)，A0截面的撓度僅包含A2A1段的變形效果。這一方法被稱為逐段剛化法[2]，也有教材稱之為逐段軟化法[3]。這兩種名稱都比較直觀形象，易于理解，只是各自的參考構(gòu)型不同而已。逐段剛化法是以彈性梁為參考構(gòu)型，通過(guò)剛化其他段來(lái)分析某一段的變形效果，而逐段軟化法是以剛性梁為參考構(gòu)型，通過(guò)軟化某一段來(lái)求該段的變形效果。

通過(guò)比較圖4 與圖3(b)，還可以得到應(yīng)用逐段分析求和法的前提條件。也就是說(shuō)，在何種情況下，圖3(b)所示梁的變形與圖4 所示兩種變形效果的總和是相等的。很顯然，只有在原始構(gòu)型下進(jìn)行受力和變形分析時(shí)，這種變形分解才成立。因此，小變形條件是逐段分析求和法的前提條件。需要說(shuō)明的是，逐段分析求和法并沒(méi)有線彈性的限制條件。從圖4 可以看出，這個(gè)分解過(guò)程完全是基于變形幾何的，與材料的物理特性無(wú)關(guān)。這是逐段分析求和法與疊加法的本質(zhì)區(qū)別。關(guān)于這一點(diǎn)，文獻(xiàn)[9] 從能量法的角度進(jìn)行了相關(guān)討論。此處結(jié)合一個(gè)具體例子進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明。

圖5 為一非線性懸臂梁，梁材料的應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)艥M足關(guān)系式σ=kε1/2，k為剛度，求A0截面撓度。

圖5 非線性懸臂梁的位移分析

根據(jù)式(6)，采用逐段分析求和法分別求解圖5(b)剛化A1A0段時(shí)A0截面的撓度，和圖5(c) 剛化A2A1段時(shí)A0截面的撓度。圖5(b) 梁A0截面的撓度為(2M0)2a2/(2Λ)+(2M0)2a/Λ·a，圖5(c) 梁A0截面的撓度為M20a2/(2Λ)。相加得到A0截面的總撓度為13M20a2/(2Λ)，與直接根據(jù)式(4) 和式(5) 計(jì)算所得結(jié)果一致。

若采用疊加法，計(jì)算僅在A1截面作用力偶矩M0時(shí)A0截面撓度為M20a2/(2Λ)+M20a/Λ·a，以及僅在A0截面作用力偶矩M0時(shí)A0截面撓度為M20(2a)2/(2Λ)，相加得總撓度為7M20a2/(2Λ)，結(jié)果錯(cuò)誤。

3 釣魚竿總位移的計(jì)算

前面建立了釣魚竿基本力學(xué)模型以及具體的計(jì)算方法，現(xiàn)需將基本模型得到的結(jié)果應(yīng)用于釣魚竿整體模型中。從整體模型中任意截取兩段，如圖6(a)所示，其變形形式可以用如圖6(b) 所示的基本模型來(lái)描述，即相當(dāng)于圖3 所示基本模型中固支端存在撓度和轉(zhuǎn)角。

圖6 釣魚竿基本模型與整體模型的關(guān)系

對(duì)于圖6(b) 所示基本模型，可以寫出Ak?1截面撓度和轉(zhuǎn)角的表達(dá)式

式中，右邊第一項(xiàng)就是各段自身的變形效果，第二項(xiàng)就是各段之間的轉(zhuǎn)角連續(xù)條件引起的附加效果。

4 逐段分析求和法與積分法的內(nèi)在聯(lián)系

通過(guò)前面的分析，對(duì)逐段分析求和法的方法來(lái)源和物理本質(zhì)已經(jīng)有了比較清楚的認(rèn)識(shí)，下面來(lái)探討逐段分析求和法與積分法的關(guān)系。

首先，在線彈性情況下，積分法是基于撓曲軸的二階近似微分方程，通過(guò)積分得到梁截面撓度和轉(zhuǎn)角的方法，是進(jìn)行梁變形分析的最基本方法。其基本方程為

式中的積分常數(shù)C和D需要根據(jù)位移邊界和連續(xù)條件確定。

為了研究逐段分析求和法與積分法之間的關(guān)系，需要對(duì)圖3 所示基本力學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理。考慮到積分法的研究對(duì)象是等截面梁?jiǎn)栴}，而闡述逐段分析求和法時(shí)研究對(duì)象是分段的變截面梁?jiǎn)栴}，可以通過(guò)將離散問(wèn)題連續(xù)化的方法建立這兩種模型之間的關(guān)系。假設(shè)圖3(a) 中的變截面梁每一段長(zhǎng)度為dx，則可以得到圖7(a) 所示力學(xué)模型，該模型的變形圖如圖7(b) 所示。

圖7 連續(xù)變化的變截面梁的力學(xué)模型

由圖7(b)，可以寫出

將式(12) 移項(xiàng)，變?yōu)?/p>

進(jìn)一步，在平面假設(shè)的前提下，撓曲軸切線轉(zhuǎn)角與梁的截面轉(zhuǎn)角相等。因此，式(15) 正是積分法中撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系方程。因此，在線彈性小變形條件以及平面假設(shè)成立的情況下可以將逐段分析求和法理解為積分法在分段的變截面梁或者分段的變剛度梁時(shí)的具體體現(xiàn)。

將這種內(nèi)在關(guān)系推廣到非線性情況。若梁為非線性材料，在小變形和平面假設(shè)成立的前提下有

式中，ρ為梁中性層曲率半徑。此時(shí)梁中性層曲率半徑就不能再表示成M(x)/(EI) 的形式了，需要根據(jù)材料的物理方程進(jìn)行具體推導(dǎo)。但是，在小變形和平面假設(shè)成立的前提下，截面轉(zhuǎn)角與撓度之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系仍然成立，而基于圖7 推導(dǎo)出來(lái)的式(12)～式(15)亦成立，其并不需要利用梁變形與內(nèi)力之間的物理關(guān)系。因此，在小變形和平面假設(shè)成立的前提下，對(duì)于非線性情況，逐段分析求和法亦等價(jià)于撓度和轉(zhuǎn)角的積分關(guān)系在分段的變截面梁或者分段的變剛度梁時(shí)的具體體現(xiàn)。

5 結(jié)論

本文以釣魚竿為例，通過(guò)建立基本力學(xué)模型，從變形分析入手，自然引入逐段分析求和法，進(jìn)而得到在計(jì)算每一段變形效果時(shí)的逐段剛化法或逐段軟化法。并討論了應(yīng)用逐段分析求和法的前提條件，以及與積分法的內(nèi)在關(guān)系?？梢钥偨Y(jié)如下。

(1)逐段分析求和法是基于梁總體位移等于各局部變形效果的總和這一幾何關(guān)系建立的。

(2) 應(yīng)用逐段分析求和法的前提條件是小變形，并不要求結(jié)構(gòu)為線彈性。這是與疊加法最本質(zhì)的區(qū)別。

(3)對(duì)于線彈性小變形情況，在平面假設(shè)成立的前提下，逐段分析求和法與積分法是等價(jià)的，逐段分析求和法是積分法在分段變剛度梁時(shí)的具體體現(xiàn)。對(duì)于非線性材料，當(dāng)滿足小變形條件和平面假設(shè)時(shí)，逐段分析求和法亦等價(jià)于撓度和轉(zhuǎn)角的積分關(guān)系在分段的變截面梁或者分段的變剛度梁時(shí)的具體體現(xiàn)。