考慮拉壓不同模量壓力隧洞應(yīng)力和位移彈性解1)

趙增輝 洪娟霞 劉 浩 李燦林

?(山東科技大學(xué)能源與礦業(yè)工程學(xué)院，山東青島 266590)

?(礦業(yè)工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(山東科技大學(xué))，山東青島 266590)

壓力隧洞是埋藏于地層具備一定功能的地下硐室結(jié)構(gòu)，如油氣管道、供水系統(tǒng)、城市地下交通等。硐室開挖后，一般采用襯砌結(jié)構(gòu)進(jìn)行支護(hù)，因此地層壓力和硐室內(nèi)壓由襯砌和圍巖共同承擔(dān)。長(zhǎng)期以來(lái)，研究人員在壓力隧洞的應(yīng)力、位移彈塑性解答，以及圍巖抗力系數(shù)等方面取得了大量成果[1-4]。然而，巖石和混凝土是典型的非均勻材料，其拉伸和壓縮彈性模量并不相同，一般情況下，拉伸模量小于壓縮模量。因此不考慮模量差異所得到的理論解無(wú)法真實(shí)反映材料的力學(xué)行為。

1864 年，Saint-Venant 首次提出了雙模量材料概念。1941 年，Timoshenko[5]在研究純彎曲梁的彎曲應(yīng)力時(shí)，也提出同樣的概念。20 世紀(jì)80 年代，阿姆巴爾楚米揚(yáng)[6]建立了不同模量理論。自此，國(guó)內(nèi)人員對(duì)該理論掀起了研究熱潮：倪國(guó)榮等[7]分析了不同模量理論在巖石地下工程中的應(yīng)用；楊釗等[8-9]分析了圍巖不同模量特性對(duì)隧洞支護(hù)結(jié)構(gòu)的影響以及對(duì)巷道應(yīng)力和變形的影響；Zhao 等[10]考慮到巖石的不同模量特性，推導(dǎo)出深圓孔圍巖位移計(jì)算公式，并與等模量下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)拉壓不同模量特性對(duì)圍巖位移結(jié)果有影響。有關(guān)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明[11-13]，若沿用相同模量彈性理論或有限元對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果將與采用不同模量模型材料所得的剛度和強(qiáng)度有較大的偏差。因此，考慮地層和襯砌在不同受力狀態(tài)下的模量差異，建立考慮拉壓模量不同時(shí)壓力隧洞的應(yīng)力及位移解，對(duì)硐室和支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要理論和工程意義。

1 考慮拉壓不同模量壓力隧洞彈性新解

1.1 拉壓不同模量彈性物理方程

假設(shè)材料在拉伸時(shí)的彈性模量和泊松比分別為E+和μ+，受壓時(shí)的彈性模量和泊松比分別為E?和μ?，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，材料的應(yīng)力-應(yīng)變(σ-ε)關(guān)系可簡(jiǎn)化為如圖1 所示的雙直線模型。

圖1 不同模量材料的本構(gòu)關(guān)系Fig.1 Constitutive relationship of materials with different modulus

在柱坐標(biāo)系下，三向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力和主應(yīng)變的關(guān)系可表示為[8]

式中，er，eθ，ez為主應(yīng)變，σr，σθ，σz為主應(yīng)力，aik(i,k=1,2,3)為彈性常數(shù)，也稱柔度系數(shù)。根據(jù)主應(yīng)力符號(hào)的不同，柔度系數(shù)aik的取值如表1 所示。

表1 考慮拉壓不同模量時(shí)物理方程系數(shù)取值Table 1 Values of physical equation coefficients considering different modulus of tension and compression

1.2 壓力隧洞分析模型

1.3 考慮拉壓模量不同時(shí)應(yīng)力和位移的彈性統(tǒng)一解

該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，故襯砌和地層中切向應(yīng)力τrθ= 0，切向位移uθ= 0，所有應(yīng)力和位移分量?jī)H是r的函數(shù)，忽略體力影響，平衡微分方程為

圖2 壓力隧洞簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified model of pressure tunnel

1.4 考慮拉壓模量不等時(shí)襯砌和地層的彈性解

以角標(biāo)L 和R 區(qū)分式(9) 和式(10) 中襯砌和地層的解答，利用邊界條件(σrL)r=a=-q，可得

2 結(jié)果分析與討論

2.1 考慮模量差異彈性解的退化

若不考慮襯砌和地層拉壓彈性模量差異，即認(rèn)為

式(23) 和式(24) 即為彈性力學(xué)關(guān)于壓力隧洞的經(jīng)典解答。

2.2 拉壓彈性模量不同時(shí)壓力隧洞應(yīng)力及位移的分布規(guī)律

取表2 所列參數(shù)分析，工況一為不考慮模量差異，工況二和三考慮模量差異，設(shè)隧洞半徑為a=3 m，襯砌外徑b= 3.4 m。設(shè)襯砌和圍巖的壓拉彈性模量比分別為λ1和λ2，壓拉泊松比分別為η1和η2。

表2 分析參數(shù)Table 2 Analysis parameters

圖3(a) 所示為應(yīng)力經(jīng)典解答與新解對(duì)比，下標(biāo)o 代表經(jīng)典解，n 代表拉壓模量不同時(shí)新解?？梢?jiàn)，從內(nèi)部襯砌到外部地層，徑向應(yīng)力新解的應(yīng)力值始終大于經(jīng)典解，而切向應(yīng)力的新解要小于經(jīng)典解。相比較而言，模量差異對(duì)襯砌切向應(yīng)力影響更顯著。圖3(b) 所示為壓力隧洞位移經(jīng)典解與新解的對(duì)比，拉壓模量差異對(duì)壓力隧洞位移的影響較大。自硐室內(nèi)壁向無(wú)窮遠(yuǎn)處位移值逐漸減小，隧洞位移經(jīng)典解小于新解的值。

圖3 壓力隧洞經(jīng)典解與新解對(duì)比Fig.3 Comparison between classical solution and new solution of pressure tunnel

為進(jìn)一步分析壓拉模量差異對(duì)隧洞力學(xué)行為的影響規(guī)律，圖4 繪制了λ2= 1，λ1取不同值時(shí)壓力隧洞的應(yīng)力及位移對(duì)比圖。當(dāng)內(nèi)部襯砌壓拉彈性模量比不同時(shí)，僅對(duì)襯砌中的切向應(yīng)力產(chǎn)生明顯的影響，λ1越大，切向應(yīng)力值越小，λ1對(duì)徑向應(yīng)力及外部圍巖的切向應(yīng)力影響不大。λ1對(duì)襯砌和外部圍巖位移具有顯著影響，λ1越大時(shí)，壓力隧洞位移值也越大。

圖4 襯砌模量差異對(duì)壓力隧洞應(yīng)力和位移分布影響Fig.4 Influence of lining modulus difference on stress and displacement distribution of pressure tunnel

圖5 為λ1=1，而λ2取不同值時(shí)壓力隧洞的應(yīng)力及位移對(duì)比圖。圍巖壓拉彈性模量差異對(duì)壓力隧洞切向應(yīng)力和位移都會(huì)產(chǎn)生較大的影響。從圖5(a)來(lái)看，壓拉彈性模量比λ2越大，切向應(yīng)力值越小，λ2對(duì)徑向應(yīng)力值產(chǎn)生的影響較小。由圖5(b)，壓拉彈性模量比λ2越大，襯砌位移越小。λ2對(duì)地層位移影響較復(fù)雜，隨壓拉彈性模量比增大，圍巖位移越平緩，衰減越慢。

圖5 圍巖模量差異對(duì)壓力隧洞應(yīng)力和位移分布影響Fig.5 Influence of surrounding rock modulus difference on stress and displacement distribution of pressure tunnel

此外，圍巖和襯砌壓拉泊松比差異對(duì)壓力隧洞應(yīng)力及位移影響都很小，可以忽略不計(jì)，限于篇幅，不再贅述。

2.3 拉壓模量差異對(duì)圍巖彈性抗力系數(shù)的影響

圍巖抗力系數(shù)是表征圍巖抵抗襯砌向圍巖方向變形能力的指標(biāo)，襯砌和圍巖取相同的壓拉模量比，圖6 給出了利用式(21)得到的壓拉模量不同時(shí)的圍巖彈性抗力變化曲線。從圖中可以看出，隨著壓拉模量比逐漸增大，圍巖彈性抗力變化呈拋物線形，變化幅度較大，壓拉彈性模量比在1.6 附近達(dá)到最小值。由此可知，壓拉模量不同對(duì)于圍巖彈性抗力系數(shù)也會(huì)產(chǎn)生較大影響。

圖6 壓拉模量比不同時(shí)的圍巖彈性抗力系數(shù)Fig.6 Elastic resistance coefficient of surrounding rock with different compression-tensile modulus ratio

3 結(jié)論

考慮圍巖和襯砌拉壓彈性常數(shù)差異，對(duì)彈性力學(xué)中關(guān)于壓力隧洞的應(yīng)力和位移解答進(jìn)行了重新推演，并分析了拉壓彈性常數(shù)比對(duì)解答的影響，主要結(jié)論如下。

(1)從內(nèi)部襯砌到外部地層，徑向應(yīng)力新解始終大于經(jīng)典解，而切向應(yīng)力的新解要小于經(jīng)典解。相比較而言，模量差異對(duì)襯砌切向應(yīng)力及壓力隧洞位移的影響比較顯著。隨著距內(nèi)壁距離增大，位移值逐漸減小，隧洞位移經(jīng)典解小于新解的值。

(2)襯砌壓拉彈性模量比僅對(duì)襯砌中的切向應(yīng)力產(chǎn)生明顯的影響，對(duì)徑向應(yīng)力及外部圍巖的切向應(yīng)力影響不大，圍巖壓拉彈性模量差異對(duì)壓力隧洞切向應(yīng)力和位移都會(huì)產(chǎn)生較大的影響。壓拉泊松比差異對(duì)壓力隧洞應(yīng)力及位移影響都很小。

(3)隨著壓拉模量比逐漸增大，圍巖彈性抗力變化呈拋物線形，變化幅度較大，壓拉彈性模量比在1.6 附近達(dá)到最小值。