顆粒材料形狀分選的量化模型綜述1)

徐 悅 李 然 修文正 陳 泉 孫其誠 楊 暉,

?(上海理工大學光電信息與計算機工程學院，上海 200093)?(上海理工大學醫(yī)療器械與食品工程學院，上海 200093)

??(清華大學水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室，北京 100084)

顆粒材料由大量離散的固體顆粒組成[1-2]，在雪崩[3]和巖石堆積[4]等自然界現(xiàn)象中，以及在農業(yè)[5]、固體廢物處理[6]和混凝土[7]等行業(yè)中都很常見。顆粒分選是顆粒流動中存在的一種普遍現(xiàn)象。在大多數(shù)情況下，分選是有破壞性的[8]?；潞湍嗍鞯茸匀粸暮χ写嬖谥诌x現(xiàn)象[9-10]，分選會改變局部水流特性，對于崩塌過程中分選現(xiàn)象的量化研究有助于人們預測地質災害；在制藥產業(yè)中，藥材的不均勻研磨混合會降低藥品的生產質量[8,11]，對于藥材研磨中分選現(xiàn)象的量化有助于我們提高混合質量，充分發(fā)揮藥效。

傳統(tǒng)的顆粒分選模型主要針對球形顆粒[12-16]，而不規(guī)則顆粒更具有普遍性，因此，越來越多的研究拓展到形狀分選上。例如在顆粒堆積[17]和料斗卸料[18]的研究中，發(fā)現(xiàn)非球形顆粒對系統(tǒng)的運動情況產生了很大影響，顆粒的形狀是不可忽視的因素。He 等[19]對橢球和球混合物研究時，在40% 的填充度下，改變兩者長徑比，發(fā)現(xiàn)球形顆粒不會一直集中在中心位置，這啟發(fā)人們對形狀分選原因的探討。Pereira 等[20]通過對球形和塊狀混合顆粒的仿真，從能量耗散角度出發(fā)，發(fā)現(xiàn)顆粒棱角的尖銳程度會導致能量消耗的差異，從而導致分選的發(fā)生，通過對比分選結果，發(fā)現(xiàn)形狀導致的分選比密度和尺寸導致的弱很多。Dub′e 等[21]對柱狀顆粒進行模擬，發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)分選結果相反的結論，即較小的顆粒分布在四周，最后推出結論，兩種不同柱狀顆粒的分選結果由其底面寬度決定。但是目前的研究對工業(yè)與自然現(xiàn)象的模擬存在不足，對于塊狀、柱狀等顆粒的研究仍存在很大空白。普遍適用于顆粒分選現(xiàn)象的解釋仍未被發(fā)現(xiàn)[22]。

在本文中，我們總結了主要的顆粒形狀分選研究，介紹了幾種不同的分選量化模型；在這些量化模型的基礎上，分析了不同形狀混合顆粒物的分選結果，最后進行了討論。

1 顆粒分選程度的量化模型

目前，顆粒的形狀分選越來越受到關注，人們從不同的角度給出了不同的量化分選模型。有的適合實驗測量，有的則適合仿真模擬。因此，對目前常用的量化模型進行總結，很有必要。

Claudia 等[23]提出了用平均徑向距離對分選的結果進行量化，計算每個顆粒的質心(xm,i,ym,i) 到轉筒中心(xc,yc) 的距離di和不同顆粒的平均徑向距離dm為

式中N為不同顆粒的總數(shù)。這種方法結合圖像處理技術計算簡單，操作容易，直觀性強，易于理解。

He 等[19]采用顆粒分布的概率密度函數(shù)對分選結果進行了量化分析。概率密度是不同形狀的顆粒在某個區(qū)域內的出現(xiàn)概率。這種量化分選的方式適用于對局部區(qū)域的分析，如對中心約為床面長度的三分之一的區(qū)域進行的量化分析，如圖1(a) 藍色線條標出部分的區(qū)域。類似的，Lu 等[24]將圓盤劃分為5 個等間距圓環(huán)，如圖1(b) 所示，通過計算每種顆粒的空間分辨數(shù)來量化分選結果。每個圓環(huán)內兩種顆粒的空間分辨數(shù)分別為

圖1 局部區(qū)域選取示意圖Fig.1 Schematic diagram of local area selection

式中r 和g 分別表示圖中淺色和深色顆粒。此方法通過對區(qū)域的劃分得到二元顆粒的空間位置分布信息。借助計算機系統(tǒng)計算簡單，但不適用于顆粒較多的實驗室測量。

Dub′e 等[21]使用位置概率量化柱狀顆粒的分選，位置概率是指在特定顆粒中發(fā)現(xiàn)示蹤顆粒的次數(shù)與發(fā)現(xiàn)兩種示蹤顆粒的總次數(shù)之比。該方法需要對顆粒進行預處理工作。Lacey 混合指數(shù)[25]被廣泛用來量化混合的程度[26-30]，計算方式為

式中，δ2t為當前時刻系統(tǒng)的方差，δ20和δ2r分別為完全分離系統(tǒng)和充分混合系統(tǒng)的方差。M的范圍在0～1 之間變化，當系統(tǒng)混合完好時，M=1， 當系統(tǒng)完全分離時，M= 0。這是提出較早、適用范圍較廣的量化混合程度的指標之一。Kramer[31]和Mindlin[32]提出了同樣基于方差的混合指數(shù)，原理與Lacey 相似。針對粒徑相等的混合顆粒，Chandratilleke 等[33]在Lacey 基礎上融合了配位數(shù)設計了新的混合指數(shù)。

Pereira 等[20]提出了用分離指數(shù)Φaβ來量化衡量分選程度，當區(qū)域內有兩種混合顆粒α,β時，其分選程度表示為

式中，Ncell為劃分后的網格總數(shù)，i為第i個網格，V(i) 為第i個網格的體積，V是測量區(qū)域中顆粒的總體積。在完全混合的顆粒體系中，每個區(qū)域中兩種顆粒的體積相同，Φaβ= 0；對于分離的混合顆粒，Φαβ> 0，Φaβ在0～1 之間。顆粒分選程度越高，Φαβ的數(shù)值越大。Pereira 在實驗中將圓盤表面劃分為多個小方格，分別計算每個小方格中的顆粒所占體積，再進行求和以及歸一化處理，此方法避免了對顆粒個數(shù)的計算，直接計算了顆粒體積。類似的，對處理圖像進行網格劃分并計算方差的還有VVR 指數(shù)[34]，也被諸多學者使用[35-37]。

張立棟等[38]采用接觸指數(shù)C來量化鋼球和生物質顆?；旌衔锏幕旌铣潭?，其定義為

式中，Cbs是生物質顆粒和鋼球顆粒的接觸數(shù)，Ct是生物質顆粒之間、鋼球顆粒之間以及生物質顆粒和鋼球顆粒接觸數(shù)的總和。C的值越大，生物質顆粒和鋼球顆粒的接觸數(shù)越多，混合程度就越高。Marigo等[39-40]在其發(fā)表的文章中也多次使用到相似的接觸指數(shù)來量化結果。近年來，Papapetrou 等[41]還提出了一種將接觸法與Lacey 混合指數(shù)相結合的量化方法。

2 形狀一致顆粒的分選

目前對于分選的研究主要集中在形狀一致的顆粒上，最常見的就是球形顆粒的分選，通過改變兩種球形顆粒的直徑以及轉速，會得到“月亮”和“花瓣”兩種斑圖[42]，這種分選通常被稱為尺寸分選，得到的結果是小顆粒聚集在中心，大顆粒分布在周圍。該結果也被多次觀測，并得到統(tǒng)一[43-45]。

趙永志等[42]以圓盤內直徑為1mm 和3mm 的球形顆粒為研究對象，旋轉30 弧度角后觀察實驗結果。在較高轉速下得到“月亮” 斑圖，如圖2(a)(b)所示，在較低轉速下得到“花瓣”斑圖，且轉速越低，花瓣數(shù)目越多，如圖2(c)(d) 所示，筆者把這種現(xiàn)象的原因歸結于摩擦角的不同。

圖2 不同轉速下圓盤旋轉30 rad 后的結果[42]Fig.2 Results after 30 rad rotation of the drum at different speeds[42]

He 等[46]研究了圓筒中橢球顆粒的尺寸分選，通過從平動和轉動方程對橢球建模[47]，得到與球形顆粒分選一致的結果，大顆粒傾向于分布在床層外圍，小顆粒聚集在圓盤中心位置。用Lacey 混合指數(shù)進行量化分析，其結果如圖3 所示。當轉速較高為15 r/min 時，三種長徑比AR的混合指數(shù)在混合物為球體時最小，即中間黑線處，分別約為0.66，0.59和0.55，當顆粒長徑比變大，即變?yōu)殚L橢球和扁橢球時，混合指數(shù)都有所上升，分選程度降低，這與Liu等[48]得到的結論相一致。另一方面，粒徑比SR從0.63 減小到0.50，球和橢球的混合指數(shù)整體降低，即分選程度增大，小顆粒容易滲過孔洞，被困在床層中心。而當粒徑比減小到0.33 時，混合程度比0.50 時要高，這是因為當尺寸差異增大時，小顆粒更容易透過被動層的大顆粒之間的空隙向外滲透。

圖3 15 r/min 時不同粒徑比下的平衡混合指數(shù)與長徑比的關系[46]Fig.3 The relationship between equilibrium mixing index and aspect ratio for different size ratios at 15 r/min[46]

形狀一致的顆粒分選除了尺寸分選，還有密度分選。將兩種密度不同的顆粒進行混合并觀察，能發(fā)現(xiàn)密度大的顆粒聚集在中心，而密度小的顆粒分布在四周，且也能觀察到月亮和花瓣兩種模式[49-51]。傳統(tǒng)的分選研究主要集中在上述形狀一致的顆粒上，即關注點集中在尺寸或密度分選上，但生活中更常見的是不同形狀顆粒之間的分選。因此，僅對尺寸和密度分選研究是有局限性的。

3 橢球顆粒的分選

橢球顆粒的分選指的是球形顆粒和橢球形顆粒混合物的分選。球形是橢球的特殊情況，其差別在于橢球的長徑比可以改變，因此長徑比通常是影響橢球分選結果的重要因素，簡單比較顆粒大小不能準確得到混合顆粒的徑向分布；另一方面，從實驗結果看，圓盤的填充程度也會對結果產生很大影響。

Claudia 等[23]通過實驗研究了圓盤中球形和不同橢球顆粒的分選，通過3D 打印，控制每個顆粒體積相同，填充程度為25%，實驗結果如圖4 所示。E 表示橢球體，S 表示球體，S/E 和E/S 分別表示初始狀態(tài)球體在橢球體上部和橢球體在球體上部兩種情況。圖4(a) 是平均徑向距離dm隨時間演化的結果，dm越小則越靠近圓盤中心位置，圖4(b) 是將距離圓筒中心的徑向距離等分并歸一化的結果，從而量化分析球和橢球的分布情況。當混合顆粒體積相同但長徑比AR不同時，均能觀察到穩(wěn)定的分選。長徑比較大的橢球顆粒聚集在顆粒層的中心，長徑比較低的球形顆粒則在顆粒層的外圍聚集。作者解釋為流動傾向的降低，即被拉長的顆粒減少了滾動的狀態(tài)，拉長較少的顆粒系統(tǒng)地取代了拉長較多的顆粒，在主動層中發(fā)生了自發(fā)的顆粒分選，具有較低長徑比的顆粒首先到達圓盤邊壁，較高長徑比的顆粒則滯留在圓盤中心。

圖4 球形與不同橢球的平均徑向距離變化[23]Fig.4 Evolution of the mean radial distance for the mixture of spheres and different ellipsoids[23]

He 等[19]通過仿真模擬了圓盤中球形和橢球顆粒的分選現(xiàn)象，通過從平動和轉動方程對橢球建模[47]。圖5 為圖1(a) 中藍色矩形區(qū)域的概率密度分布函數(shù)。圖5(a) 中實線為長徑比AR= 0.5 的橢球和AR= 1.0 的球形顆粒的混合結果，在離床面約0.03 m 處有一個扁橢球峰，表明其分布在圓盤中心，而球形顆粒的概率密度曲線有一個雙峰，表示顆粒分布在床層邊緣。當保持AR= 1.0 的球形顆粒不變，將扁橢球的長徑比減小到0.25 時，結果如圖5(a) 虛線所示，得到相反的位置分布結果。長橢球與球形顆粒的混合結果類似，如圖5(b) 所示。即對于橢球與球體的二元混合，當顆粒形狀差異較小時，橢球傾向于分布在圓盤中心，而球形顆粒更容易在圓盤四周堆積，當顆粒形狀差異增大時，出現(xiàn)四周為橢球、中心為球體的反分選。筆者的解釋是由橢球的流動性增加和自由表面流動層中大孔洞的形成，球體可以滲透通過大的空隙，并被困在中心位置。

圖5 轉速為5 r/min 時不同混合物中顆粒的概率密度分布[19]Fig.5 The probability density distribution of particles in different mixtures at 5 r/min[19]

以上兩位作者的結果有所區(qū)別，可能是填充程度的影響，Claudia 等的工作中，顆粒填充程度為25%，而He 等[19]的工作中，顆粒填充程度為40%，同時實驗和仿真也可能是造成區(qū)別的一個重要因素。Li 等[52]研究了一維垂直振動下球與四種不同的橢球混合物的分選過程，在四種情況下均發(fā)現(xiàn)橢球體很容易穿過容器側壁的空隙，并最終被困在容器底部。因此，對于球和橢球的分選，目前還未有一個被大家普遍接受的結論，影響球和橢球顆粒分選結果的決定性因素是否是長徑比還未曾可知。

4 塊狀顆粒的分選

塊狀顆粒的分選指的是塊狀顆粒和球形顆?；旌衔锏姆诌x。研究過程通常是增加塊狀顆粒的形狀因子，使其越來越接近立方體，觀察這一過程的變化。從研究結果表明，球形與塊狀顆粒的徑向分布為等體積的塊狀顆粒聚集在中心，球形顆粒分布在兩邊。另一方面，與尺寸分選相比，塊狀顆粒與球形顆粒的形狀分選程度弱很多。

Lu 等[24]通過三維超二次方程對塊狀顆粒進行建模，將球和三種形狀因子不同的立方體進行混合，使用空間分辨數(shù)(球形顆粒的分選中fg為較小顆粒的空間分辨數(shù)，球和塊狀顆粒的分選中fg為塊狀顆粒的空間分辨數(shù)) 來量化結果，如圖6 所示。5 個段的劃分如圖1(b)所示，圖6 繪制了2 段和5 段的結果，分別表示圓盤中心和四周位置。球形顆粒之間的分選結果與第2 部分的討論結果一致，如圖6(a) 所示，較小尺寸的顆粒主要集中在第2 段，即圓盤中心區(qū)域，較大的顆粒則分布在圓盤四周。球形與三種塊狀顆粒的分選結果則大致相同，2 段和5 段區(qū)域中塊狀顆粒所占比例都在0.5 附近，表明分選程度較低。通過比較，可以發(fā)現(xiàn)與尺寸導致的分選相比，形狀導致的分選較弱。圖6(b) 三種塊狀顆粒的空間分辨數(shù)分布幾乎重合，即立方體顆粒的分選程度與所研究的立方體顆粒的塊度參數(shù)幾乎無關。

圖6 混合物在圖1(b) 中2 段(紅色曲線) 和5 段(黑色曲線) 空間分辨數(shù)隨時間的變化[24]Fig.6 Evolution of number fraction of the mixture in Fig. 1(b) for 2 segments (red curve) and 5 segments (black curve) with time[24]

Pereira 等[20]通過三維超二次方程對顆粒進行建模，模擬了球形和塊體顆?；旌衔镌趫A盤中的分選，結果如圖7 所示，發(fā)現(xiàn)塊狀顆粒聚集在轉筒的中心，而球形顆粒則聚集在圓盤的邊壁附近，并用分離指數(shù)Φαβ量化分析分選程度。當塊狀顆粒的形狀因子由2.55 增加到10.05 時，塊狀顆粒越來越接近立方體，其分選程度越來越高，筆者認為是由兩種顆粒因形狀不同而能量耗散率有差異導致的。之后，筆者還和密度、尺寸分選做了對比，密度、尺寸的分離指數(shù)Φαβ能達到0.8～0.9，因而形狀導致的分選比密度和尺寸導致的弱很多。

圖7 球形顆粒和塊狀顆粒的最終穩(wěn)定圖像及其相對應的分選程度。藍色是形狀因子為2.03 的球體，紅色是形狀因子不同的塊狀顆粒[20]Fig.7 The final stabilized images of spherical and lumpy particles, and their degrees of segregation corresponding.Blue is the sphere with the shape factor of 2.03 and red is the lumpy particles with different shape factors[20]

從兩位作者的分析結果中都可以發(fā)現(xiàn)由形狀導致的分選程度弱于尺寸導致的分選，但對于塊狀顆粒的分選程度兩人有所區(qū)別，Lu 等[24]發(fā)現(xiàn)三種不同形狀因子的塊狀顆粒的結果相類似，而Pereira 等[20]則發(fā)現(xiàn)隨著形狀因子的增大，分選程度也隨之增加，這可能是由于兩人所選顆粒的數(shù)目導致的，也可能是兩人對于圓盤面的劃分不同，計算方式不同所導致。同時，兩人的形狀因子選取也不相同，分選程度對形狀因子可能是非線性變化的，Pereira 等[20]選取的形狀因子相差較大。

5 柱狀顆粒的分選

柱狀顆粒的分選指的是柱狀顆粒和球形顆?；旌衔锏姆诌x。徑向分布依然是首先研究的問題。在低填充度下，呈現(xiàn)出區(qū)域分塊現(xiàn)象。在較高填充度下，顆粒的大小不再決定分選的徑向分布。另一方面，與傳統(tǒng)分選一樣，分選的結果依然受到圓盤轉速和填充程度的影響。

張立棟等[38]通過將多個球形堆疊成橢球的方法，仿真模擬了鋼球顆粒和圓柱形生物質顆粒在圓盤中的分選現(xiàn)象，分析了圓盤轉速和不同圓柱形生物質數(shù)量對混合質量的影響，固定鋼球顆粒數(shù)量3000 不變，圓柱形生物質顆粒有100 和200 兩種情形。20 s時各工況下顆粒混合運動如圖8 所示，可以明顯看到顆粒在混合時被分成了3 個區(qū)域，從左往右依次為單層鋼球顆粒區(qū)(灰色)、鋼球顆粒和生物質顆?；旌蠀^(qū)以及生物質顆粒堆積區(qū)(黑色)，筆者把這種結果產生的原因解釋為低轉速和低填充率，同時，隨著滾筒轉速的提高，單層鋼球顆粒區(qū)域的長度在減小。在量化程度的分析上使用了接觸指數(shù)M對結果進行量化，如圖9 所示。當二元混合物數(shù)量比相同時，滾筒轉速越高，接觸數(shù)指數(shù)越大，混合程度越好，隨著滾筒轉速的提高，二元混合顆粒到達穩(wěn)定的時間也越來越短。當增加圓柱形生物質顆粒數(shù)量到200 后，接觸指數(shù)M整體有上升的趨勢，且接觸指數(shù)M起伏波動也比圓柱形生物質顆粒數(shù)量為100時大。

圖8 各工況下20 s 時顆?；旌线\動圖[38]Fig.8 Particle segregation at 20 s under each working condition[38]

圖9 顆粒數(shù)量比不相同時的接觸數(shù)指數(shù)隨時間的變化曲線[38]Fig.9 Evolution of contact number index with time for different particle number ratios[38]

Dub′e 等[21]制作了不同形狀的藥片，使用位置概率對圖10 所示五種顆粒進行部分混合結果的分析，結果如圖11 所示。圖11(a) 表明，若兩種混合物形狀類似，得到的結果與傳統(tǒng)的尺寸分選相類似，較小的顆粒(即片劑A、B 和5 毫米玻璃珠) 在床的中心被發(fā)現(xiàn)的概率高于兩邊。但從圖11(b)可以看出，對于混合物CD 和CE，獲得了和尺寸分選完全不同的結果，較小的顆粒(即片劑C) 集中在兩邊，而較大的顆粒卻聚集在中心位置。筆者推測浮力和滲流機制很可能受到顆粒形狀的影響。片劑D 和E 在主動層中流動時的優(yōu)選運動取向可能導致片劑C 在它們之間分離所需的空間不足，因此片劑的寬度才是決定片劑分布的主要因素。

圖10 五種不同的柱狀顆粒[4]Fig.10 Five different kinds of cylindrical particles[4]

圖11 不同柱狀顆粒的位置概率圖[21]Fig.11 Probability of different cylindrical particles[21]

對柱狀體顆粒的分選目前研究較少，在低填充度下的結果是左中右區(qū)域分塊，有混合部分，也有單獨分離部分；在較高填充度下，與傳統(tǒng)的分選結果差別最大，長橢圓體的底面直徑是混合顆粒徑向分布的決定性因素。這一現(xiàn)象對形狀分選的研究很有啟發(fā)意義，我們不再著眼于顆粒的整個大小，而是從局部考慮，如片劑底面的寬度。Yang 等[53]對兩種不同大小的圓柱體進行研究，發(fā)現(xiàn)了與球形顆粒相似的結果。

6 結語

以傳統(tǒng)的形狀一致顆粒的分選為基礎，以顆粒徑向分布為主線，本文總結了量化多種顆粒形態(tài)的分選模型，包括球形和橢球形顆粒、塊狀顆粒、柱狀顆粒之間的分選。發(fā)現(xiàn)如下結論。

(1)在一定的填充率和轉速下，均能出現(xiàn)兩種顆粒的分選現(xiàn)象。

(2)在橢球分選中，顆粒的長徑比是影響徑向分布的關鍵因素，在球形和橢球顆粒的分選中，改變橢球顆粒的長徑比能得到完全相反的現(xiàn)象。在塊狀顆粒的分選中，塊狀顆粒的形狀因子是影響結果的條件，等體積的塊狀顆粒和球形顆粒均呈現(xiàn)出塊狀顆粒集中在圓盤中心，球形顆粒分布在四周的現(xiàn)象。在柱狀顆粒的分選中，與傳統(tǒng)分選結果差別最大，發(fā)現(xiàn)長柱狀顆粒的底面寬度決定了混合顆粒的徑向分布結果。

(3) 形狀分選的強度要小于尺寸分選。然而，對于完全不規(guī)則顆粒的研究還有所欠缺，需要在今后工作中予以研究。

對于顆粒形狀分選研究關注的問題有分選模型的建立、徑向分布的斑圖、分選的量化方式以及分選過程中速度等物理參數(shù)的變化等。目前需要解決的問題還有很多。

(1) 在實驗中，如何建立標準化、規(guī)范化的測量流程，得到楊氏模量、摩擦系數(shù)等物理量。

(2)對于實驗結果的量化，選擇從宏觀角度分析面積或體積，還是從微觀角度對單個顆粒統(tǒng)計也值得考慮。

(3)在仿真模擬中，對除球形顆粒外的顆粒的建模主要可分為三種，第一種是從平動和轉動出發(fā)建立模型，第二種是在仿真軟件中使用三維超二次方程建模，第三種是用多個球形顆粒堆積成不同形狀。這三種方式均有一定的不足之處，對非球形顆粒的精確建模方式，是值得我們思考的問題。