固體中二維縱波非線性方程的攝動(dòng)解

錢(qián)昕彤，韓慶邦，蘇娜娜，錢(qián)佳文，柏 樂(lè)，單鳴雷

(河海大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 常州 213022)

0 引 言

大振幅聲波在固體材料中傳播時(shí)，與該固體介質(zhì)相互作用，會(huì)產(chǎn)生波形畸變、聲飽和、聲波與聲波非線性相互作用等一系列的非線性現(xiàn)象[1]。例如，聲波在傳播過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生高頻聲波信號(hào)，其頻率往往是原始信號(hào)的整數(shù)倍，這種現(xiàn)象被稱為高次諧波現(xiàn)象。此時(shí)，線性聲波的疊加定理不再適用，需要對(duì)固體中非線性聲波特性進(jìn)行研究，而研究非線性聲波方程是常見(jiàn)的研究思路之一?；诠腆w中的彈性波理論，Landau等[2]和 Murnaghan[3]很早就研究了固體介質(zhì)中的非線性聲學(xué)問(wèn)題，得到了各向同性介質(zhì)中的非線性聲波方程。研究表明此類非線性聲波方程可以很好地描述聲波在非線性固體材料中的傳播特性[4]。對(duì)固體中非線性彈性波特性的研究，此類問(wèn)題歸結(jié)于經(jīng)典非線性問(wèn)題，是非線性聲學(xué)研究及應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。

目前，關(guān)于此類非線性聲波方程的研究大多聚焦于一維情況。已有研究者通過(guò)采取不同的方法對(duì)此類非線性聲波方程進(jìn)行求解，得到了不同形式下的一維非線性聲波的解析解[5-6]。由于固體中的非線性聲波方程十分復(fù)雜，很難得到精確解，而攝動(dòng)法是解決此類非線性問(wèn)題的常用方法之一，通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行相應(yīng)的攝動(dòng)展開(kāi)，常?？梢缘玫骄哂邢鄳?yīng)精度的解析解。因此，部分研究者采用攝動(dòng)法求解得到方程的近似解[7-9]。張世功[10]利用攝動(dòng)法對(duì)縱波激發(fā)與橫波激發(fā)兩種情況下的一維非線性方程進(jìn)行了詳細(xì)求解。吳先梅等[11]對(duì)非線性縱波方程進(jìn)行三階攝動(dòng)展開(kāi)，得到了非線性縱波方程的三階攝動(dòng)解。呂文翰等[12]圍繞聲馬赫系數(shù)對(duì)一維非線性方程的解進(jìn)行攝動(dòng)展開(kāi)，從而得到了高階攝動(dòng)解。He[13-14]基于同倫攝動(dòng)法對(duì)多種非線性方程進(jìn)行了詳細(xì)求解，這種新方法可以很好地得到非線性方程的攝動(dòng)解。Ezzati等[15]基于He的研究，利用同倫攝動(dòng)法求解非線性波動(dòng)方程，進(jìn)一步提升了求解精度。上述研究者對(duì)此類一維非線性聲波方程進(jìn)行攝動(dòng)近似求解，并得到相應(yīng)的解析解。但對(duì)于更復(fù)雜的高維度的問(wèn)題，人們暫時(shí)還沒(méi)有更好的研究方法。

非線性聲學(xué)方法在微損傷檢測(cè)中的應(yīng)用，此類問(wèn)題歸結(jié)為非經(jīng)典非線性問(wèn)題[16]，主要研究由微小缺陷(早期位錯(cuò)疲勞損傷、疲勞微裂紋、不完美界面等)所引起的聲學(xué)非線性效應(yīng)。大量研究者針對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。Qian[17]深入研究了P波、SV波和SH波斜入射情況下的二階聲場(chǎng)，利用勢(shì)函數(shù)的表示方法對(duì)二維聲波方程進(jìn)行詳細(xì)求解。一些研究者基于二維非線性方程探究非線性縱波的斜入射的問(wèn)題。Biwa等[18]建立固-固界面的彈簧模型，對(duì)聲波斜入射情況下的二階聲場(chǎng)特性進(jìn)行詳細(xì)研究。Shirgina等[19]針對(duì)四種不同類型的界面層，探究斜入射縱波產(chǎn)生的非線性諧波的反射傳播特性。Wu等[20]基于錢(qián)祖文的研究對(duì)P波斜入射于固-固界面的二階諧波場(chǎng)特性進(jìn)行了詳細(xì)描述。聲波在有微小缺陷的固體材料中傳播，所產(chǎn)生的非線性現(xiàn)象是由固體介質(zhì)的材料特性和固體微小缺陷共同貢獻(xiàn)的。上述研究者在研究固-固界面的非線性問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注聲波在固體介質(zhì)中傳播時(shí)由固體缺陷產(chǎn)生的非線性現(xiàn)象。而在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮聲波與固體材料相互作用而產(chǎn)生的非線性影響，可以得到更加精確的結(jié)果。相關(guān)內(nèi)容還未在相關(guān)文獻(xiàn)中呈現(xiàn)，這對(duì)于固體中的非線性超聲評(píng)估研究而言仍是一個(gè)值得關(guān)注與研究的問(wèn)題。因此，有必要對(duì)二維固體中非線性彈性波的特性進(jìn)行相應(yīng)研究，即研究二維非線性聲波方程的非線性問(wèn)題。

Alkhalifah[21]利用縱波方程代替彈性波方程，并將微擾理論應(yīng)用于求解各向異性的縱波方程中，以描述縱波斜入射所產(chǎn)生的縱波場(chǎng)。該方法通過(guò)引入一個(gè)遠(yuǎn)小于1的無(wú)量綱小參數(shù)作為攝動(dòng)量，采用泰勒展開(kāi)的方式對(duì)方程的解進(jìn)行微擾展開(kāi)，最終得到相應(yīng)的解析解?；谏鲜鲅芯糠椒?，本文選取聲馬赫數(shù)作為微擾小項(xiàng)，圍繞其對(duì)二維非線性聲波方程的解進(jìn)行攝動(dòng)求解。

本文從二維非線性縱波方程出發(fā)，圍繞聲馬赫數(shù)對(duì)該方程的解進(jìn)行二階攝動(dòng)展開(kāi)，從而求解出二維非線性縱波方程的二階攝動(dòng)解。考慮到在實(shí)際測(cè)量情況下，單個(gè)探頭單次只能測(cè)量某一方向的聲波信號(hào)。因此，根據(jù)計(jì)算結(jié)果定義了兩個(gè)非線性系數(shù)(二次諧波沿x軸傳播分量A1x和沿y軸傳播分量A1y與入射基波A0的振幅比)，利用數(shù)值計(jì)算的方法探究影響非線性系數(shù)的因素，從而探尋二維非線性縱波及其二次諧波的傳播規(guī)律。

1 二維縱波非線性方程的攝動(dòng)解

為探究某一特定方向上二維縱波傳播時(shí)的非線性，對(duì)其沿坐標(biāo)軸進(jìn)行了相應(yīng)分解。建立如圖 1所示的聲波傳播模型，二維縱波在具有各向同性的固體材料中傳播。

圖1 二維縱波在固體介質(zhì)中傳播的示意圖Fig.1 Two-dimensional longitudinal wave propagation in solid media

圖1中，虛線所圍成的長(zhǎng)方形表示固體介質(zhì)。二維縱波P以入射角θ斜入射于固體材料，并在固體中傳播。當(dāng)θ=0°時(shí)，表示二維縱波沿x軸方向入射，當(dāng)θ=90°時(shí)，表示二維縱波沿y軸方向入射。

根據(jù)Murnaghan參數(shù)[3]推導(dǎo)的固體中的二維縱波方程，如式(1)、(2)所示：

其中， u = u ( x, y, t )和v= v ( x, y, t)分別表示二維縱波沿x軸方向傳播的位移分量和沿y軸方向傳播的位移分量；ρ0為固體材料的密度；λ、μ為 Lame常數(shù)；l、m為Murnaghan參數(shù)。

攝動(dòng)法是求解非線性方程近似解的常用方法之一。其主要思想是將方程中的非線性因素視為對(duì)方程中線性部分的一種微小擾動(dòng)，基于線性解尋求方程的近似解。在利用攝動(dòng)法求解方程的過(guò)程中常常需要引入與方程中物理量相關(guān)的無(wú)量綱小參數(shù)作為攝動(dòng)量，且其值應(yīng)遠(yuǎn)小于 1。因此，本文選取聲馬赫數(shù)Ma作為攝動(dòng)小項(xiàng)，Ma的計(jì)算公式為

最終得到的式(12)即為二維縱波非線性波動(dòng)方程(1)和(2)的攝動(dòng)解。

2 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

根據(jù)式(12)中的二維縱波非線性方程的攝動(dòng)解可知，二維縱波在固體中傳播時(shí)，其傳播特性不僅會(huì)隨傳播距離變化，也受入射角度的影響。從角頻率成分來(lái)看，式(12)出現(xiàn)了角頻率為2ω的諧波分量，即為二次諧波。研究者常將二次諧波振幅與入射基波振幅的比值定義為非線性系數(shù)，從而進(jìn)行研究[6]。因此，分別定義二次諧波沿x軸傳播分量的振幅A1x和沿y軸傳播分量的振幅A1y與入射基波的振幅A0之比的絕對(duì)值為非線性系數(shù)：

為研究二維非線性縱波在固體中傳播時(shí)產(chǎn)生的二次諧波的傳播特性，應(yīng)用式(13)和式(14)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬非線性系數(shù)隨聲傳播距離和入射角的變化。其中材料參數(shù)選自文獻(xiàn)[22]，如表1所示。

表1 某鋼軌樣品的二階和三階彈性常數(shù)Table 1 The second and third order elastic constants of a rail sample

圖 2為在入射波振幅為 1 μm，入射頻率為1 MHz時(shí)，不同入射角度下，非線性系數(shù)與聲傳播距離的關(guān)系圖。圖注中x表示二維縱波沿x軸傳播的位移分量，y表示二維縱波沿y軸傳播的位移分量。從圖2(a)中可以看出，隨著入射角的增大，非線性系數(shù)呈減小的趨勢(shì)。入射角為0°時(shí)，即垂直入射的情況，此時(shí)非線性效應(yīng)最為明顯；入射角為 0°～30°時(shí)，非線性系數(shù)較大，說(shuō)明此時(shí)非線性效應(yīng)較為明顯；入射角為30°～60°時(shí)，非線性系數(shù)迅速減小；入射角大于 60°時(shí)，非線性系數(shù)趨于平穩(wěn)，此時(shí)非線性效應(yīng)較??；入射角為 90°時(shí)，即水平入射的情況，此時(shí)二次諧波沿y軸方向傳播，可認(rèn)為沿x軸方向不存在非線性效應(yīng)。

從圖 2(a)、2(b)中可以看出，隨著二維縱波在固體中傳播距離的增加，非線性系數(shù)和均逐漸增大，且隨著傳播距離的增加，非線性系數(shù)變化更明顯。這是由于聲波在固體中傳播時(shí)，會(huì)產(chǎn)生不同頻率的高次諧波，各階次諧波間會(huì)產(chǎn)生相互的影響，隨著聲傳播距離的增加，非線性效應(yīng)積累增多，其非線性現(xiàn)象會(huì)更為明顯。

圖2 不同聲傳播距離的非線性系數(shù)|A1x/ A0|和|A1y/A0|與入射角關(guān)系圖Fig.2 Relationships of nonlinear parameters|A1x/ A0| and |A1y/A0|with incident angle at different sound propagation distances

為研究二維縱波在固體中傳播時(shí)，其入射振幅對(duì)非線性系數(shù)|A1x/A0|和 |A1y/A0|的影響，入射振幅A0依次取1、2、3、4、5 μm進(jìn)行數(shù)值分析。

圖3為入射頻率為1 MHz時(shí)，不同入射角度下，非線性系數(shù)與入射振幅的關(guān)系圖。從圖3(a)和3(b)中可以看出，隨著入射振幅的增大，非線性系數(shù)逐漸增大，且入射角越小，非線性系數(shù)變化越明顯。這說(shuō)明了振幅大的二維縱波在固體中傳播時(shí)，其聲擾動(dòng)更強(qiáng)，聲波的非線性效應(yīng)也更為顯著。

根據(jù)圖2中非線性系數(shù)與入射角的變化關(guān)系可知，選取入射角為 30°、45°和 60°的情況，可以很好地描述非線性系數(shù)的變化情況。從圖3(c)和3(d)中可以發(fā)現(xiàn)非線性系數(shù)與入射振幅呈正比例關(guān)系，且入射角越大，圖 3(c)中所對(duì)應(yīng)的直線的斜率越大；圖3(d)中所對(duì)應(yīng)的直線的斜率越小。

圖3 非線性系數(shù)|A 1x / A0|和 |A 1y/A0|與不同入射角及入射波振幅A0的關(guān)系圖Fig.3 Relationships of nonlinear parameters |A 1x/ A0| and |A 1y/A0|with incident angle and the amplitude A0 of incident wave

為研究二維縱波在固體中傳播時(shí)，其入射波頻率對(duì)非線性系數(shù)|A1x/A0|和|A1y/A0|的影響，入射波頻率取1、2、3、4、5 MHz進(jìn)行數(shù)值分析。

圖4為入射振幅為1 μm時(shí)，不同入射角度下，非線性系數(shù)與入射頻率的關(guān)系圖。從圖4(a)和4(b)中可以看出，隨著入射頻率的增大，非線性系數(shù)逐漸增大，且入射角越小，非線性系數(shù)變化越明顯。這說(shuō)明了入射縱波的頻率越大，其在波列中的質(zhì)點(diǎn)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù)越多，即聲擾動(dòng)更強(qiáng)。此時(shí)，二維縱波在固體中傳播所產(chǎn)生的非線性效應(yīng)更為顯著。圖 4(c)和 4(d)選取了入射角 30°、45°和 60°的情況進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)非線性系數(shù)與入射頻率呈正相關(guān)，且入射角越大，圖4(c)中所對(duì)應(yīng)的曲線遞增得越慢，即非線性效應(yīng)越??；圖4(d)中所對(duì)應(yīng)的曲線遞增得越快，即非線性效應(yīng)越顯著。

圖4 非線性系數(shù)|A 1x/A0|和|A 1y/A0|與不同入射角及入射波頻率f的關(guān)系圖Fig.4 Relationships of nonlinear parameters|A 1x/A0|and|A1y/A0|with incident angle and the frequency f of incident wave

3 結(jié) 論

本文從二維縱波非線性方程出發(fā)，圍繞聲馬赫數(shù)對(duì)該方程的解進(jìn)行二階攝動(dòng)展開(kāi)，從而求解出二維縱波非線性方程的二階攝動(dòng)解。根據(jù)計(jì)算結(jié)果定義了非線性系數(shù)|A1x/A0|和 |A1y/A0|(二次諧波沿 x軸傳播分量和沿y軸傳播分量與入射基波的振幅比)，并探究二維縱波在固體中傳播時(shí)其入射振幅、入射頻率、入射角以及聲傳播距離對(duì)非線性系數(shù)的影響。結(jié)果表明，非線性系數(shù)|A1x/A0|和|A1y/A0|與入射角有關(guān)，且垂直入射時(shí)非線性效應(yīng)最為顯著；同時(shí)，二維縱波在固體中的聲傳播距離、入射振幅和入射頻率也是影響非線性系數(shù)|A1x/A0|和|A1y/A0|數(shù)值變化的因素。上述非線性系數(shù)可以用于描述二維縱波與二次諧波的傳播規(guī)律，并用于定性分析固體材料的非線性。為后續(xù)在固-固界面的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮固體材料的非線性的研究提供理論支持。

附錄Ⅰ