基于響應(yīng)估計(jì)頻域擬合的通道均衡方法

汪爭(zhēng)志, 楊志偉, 范志豪

(1. 西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071;2. 西安電子科技大學(xué)信息感知協(xié)同創(chuàng)新中心, 陜西 西安 710071)

0 引 言

隨著相控陣?yán)走_(dá)技術(shù)和直接數(shù)字合成技術(shù)的快速發(fā)展,結(jié)合寬帶雷達(dá)和數(shù)字陣列雷達(dá)優(yōu)勢(shì)的寬帶數(shù)字陣列雷達(dá)是目前有源相控陣?yán)走_(dá)所面臨的重要課題[1-3]。然而寬帶數(shù)字陣列雷達(dá)由于瞬時(shí)帶寬較大,天線及組件均要求有較大帶寬,通道鏈路中限幅器、低噪聲放大器、混頻器、模擬帶通濾波器等射頻前端和A/D(模數(shù)轉(zhuǎn)換器)器件的本身特性,其性能不可避免地隨環(huán)境和溫度變化,使得通道傳輸特性失真和通道頻率特性不一致,即通道失配[4-9]。實(shí)驗(yàn)處理結(jié)果表明,通道失配嚴(yán)重惡化自適應(yīng)波束形成、地面移動(dòng)目標(biāo)顯示、空時(shí)自適應(yīng)處理、抗干擾、旁瓣對(duì)消器、到達(dá)角估計(jì)等陣列信號(hào)處理的性能[10-15]。為了確保陣列譜估計(jì)的處理性能,需要進(jìn)行通道均衡和時(shí)延補(bǔ)償。

解決通道失配問題的方式一般分為校準(zhǔn)源均衡和盲自適應(yīng)均衡,校準(zhǔn)源方式又分為內(nèi)校準(zhǔn)和外校準(zhǔn)。內(nèi)校準(zhǔn)方式需要在接收機(jī)前端注入標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)來完成,并沒有考慮天線和饋線鏈路中的通道不一致性[16-17]。已有的外校準(zhǔn)方法在考慮全部信號(hào)傳輸通道的同時(shí),沒有考慮環(huán)境噪聲和系統(tǒng)噪聲對(duì)通道響應(yīng)的影響,從而在均衡過程中產(chǎn)生誤差。而盲自適應(yīng)均衡需要確定已知的參考信號(hào),通過學(xué)習(xí)比較得到通道的不一致性,或需要大量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)通道均衡[18-20]。通道均衡算法可分為時(shí)域均衡算法、頻域均衡算法以及傅里葉變換法[21-25]。時(shí)域均衡方法需要較高信噪比,而且隨著通道特性變化需要不斷更新均衡器權(quán)值;頻域均衡方法在沒有考慮響應(yīng)誤差的情況下,直接利用最小二乘方法可能導(dǎo)致秩虧缺的廣義逆病態(tài)問題,改進(jìn)的凸優(yōu)化方法雖然有效的解決了秩虧的問題,但也有運(yùn)算復(fù)雜和均衡效果受響應(yīng)誤差影響的問題[5]。若直接利用頻域除法方法均衡,待均衡通道頻譜每個(gè)頻點(diǎn)的值并不能保證全為非零,這樣在求解均衡器響應(yīng)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)除數(shù)為零的病態(tài)問題[26]。傅里葉變換法雖然在工程上易于實(shí)現(xiàn),但在低信噪比、帶外噪聲過大時(shí)性能嚴(yán)重惡化,其改進(jìn)方法也只考慮帶外誤差,沒有考慮過渡帶對(duì)階數(shù)選擇和均衡效果的影響[25,27]。

針對(duì)上述問題,本文提出了基于響應(yīng)估計(jì)頻域擬合的通道均衡方法。首先，利用線性調(diào)頻連續(xù)三角波信號(hào)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的特性,通過滑窗得到的協(xié)方差矩陣特征值分解和已知信源的真實(shí)導(dǎo)向矢量得到通道響應(yīng)的粗估計(jì),改善由于天線饋線等模擬電路惡化的通道不一致性。再借助于最小二乘準(zhǔn)則的諧波模型擬合,得到擬合估計(jì)后精準(zhǔn)的通道響應(yīng),從而降低了噪聲對(duì)響應(yīng)的影響。然后，再利用頻域帶外線性擴(kuò)展和多項(xiàng)式擬合求得各個(gè)通道的頻域響應(yīng),解決求解均衡器響應(yīng)時(shí)除數(shù)可能為零和帶外噪聲放大問題。最后，利用均衡器響應(yīng)函數(shù)計(jì)算均衡器響應(yīng)實(shí)現(xiàn)通道均衡。本文通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證所提均衡方法的補(bǔ)償性能,數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明,本文方法能夠有效均衡通道間的不一致性,降低譜估計(jì)對(duì)樣本數(shù)的依賴性,使得譜估計(jì)有更好的性能。

1 通道失配信號(hào)接收模型

考慮一個(gè)帶寬為B的遠(yuǎn)場(chǎng)平面波信號(hào)(波長(zhǎng)為λ0)以角度(θ,φ)入射到接收陣列,其中θ和φ分別為入射俯仰角和方位角,則第m(m=1,2,…,M)個(gè)陣元的理想接收信號(hào)可以表示為

(1)

式中：s(t)為信號(hào)源包絡(luò);τm(θ,φ)為第m個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元的時(shí)間延時(shí);nm(t)為第m個(gè)陣元上的加性噪聲。

由于通道的不一致性,使得信號(hào)在經(jīng)過各個(gè)通道時(shí)有不同的響應(yīng)函數(shù),而且不同方向來的目標(biāo)回波各個(gè)天線有不同增益時(shí),也會(huì)有方向圖失配誤差。所以,在通道失配情況下的接收信號(hào)為

xm(t)=gm(θ,φ)s(t-τm(θ,φ))*hm(t)+nm(t)

(2)

式中：gm(θ,φ)表示天線增益;*表示卷積運(yùn)算;hm(t)為通道響應(yīng)。

對(duì)式(2)進(jìn)行傅里葉變換,得到陣列失配頻域接收模型為

X(f)=G(θ,φ)°A(θ,φ)S(f)°H(f)+N(f)

(3)

式中：X(f)=[x1(f),x2(f),…,xM(f)]T表示陣列接收矢量;G(θ,φ)=[g1(θ,φ),g2(θ,φ),…,gM(θ,φ)]T為天線方向圖增益，因?yàn)橹靼陜?nèi)通道間天線方向圖增益誤差很小,所以本文不考慮通道失配的方向依賴性；A(θ,φ)=[a1,a2,…,aM]T表示已知信源的導(dǎo)向矢量;°表示Hadamard積;H(f)=[H1(f),H2(f),…,HM(f)]T為通道的頻率響應(yīng)函數(shù)。同時(shí)，A(θ,φ)可以表示為

(4)

2 本文方法

2.1 通道響應(yīng)估計(jì)

利用單一外部線性調(diào)頻連續(xù)三角波信號(hào)源進(jìn)行通道均衡時(shí),通道響應(yīng)對(duì)于不同信號(hào)頻率響應(yīng)不同,所以不能假定整個(gè)樣本周期內(nèi)響應(yīng)一致,但是可以認(rèn)為在窗大小為K的樣本數(shù)內(nèi)通道響應(yīng)Ql是一致的。同時(shí)根據(jù)子空間原理可知,對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣做特征值分解,得到的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量與信號(hào)真實(shí)導(dǎo)向矢量相差一個(gè)比例常系數(shù)。因此，本文在進(jìn)行通道響應(yīng)估計(jì)時(shí),首先借助于線性調(diào)頻連續(xù)三角波信號(hào)的周期性和對(duì)稱性,得到同一頻點(diǎn)l的I個(gè)樣本數(shù)據(jù)xI(l),再利用多樣本和相鄰頻點(diǎn)窗大小為K的樣本數(shù)據(jù)滑窗計(jì)算頻點(diǎn)l的協(xié)方差矩陣Rl。然后，根據(jù)子空間原理對(duì)此次滑窗頻點(diǎn)l數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣做特征值分解,得到最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。最后，利用已知的信源位置和陣元坐標(biāo)得到信號(hào)的理想導(dǎo)向矢量,從而計(jì)算出通道m(xù)相對(duì)于參考通道n的通道響應(yīng)的幅度比和相位差。

利用多樣本滑窗計(jì)算頻點(diǎn)l的協(xié)方差矩陣Rl為

(5)

式中：l(l=1,2,…,fsT)表示各個(gè)頻點(diǎn);fs表示采樣頻率;T表示信號(hào)周期;K表示滑窗大小;(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。

對(duì)Rl進(jìn)行特征值分解:

(6)

QlA(θ,φ)=ΓlUl_max

(7)

因此,通道m(xù)相對(duì)于參考通道n估計(jì)的通道響應(yīng)幅度比和相位差為

(8)

(9)

2.2 頻域擬合與均衡器設(shè)計(jì)

設(shè)參考通道響應(yīng)為Href(f),待均衡通道m(xù)的頻率響應(yīng)為Hm(f),均衡器響應(yīng)為Cm(f),則均衡器響應(yīng)函數(shù)為

(10)

通道均衡模型如圖1所示。在實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)中,由于噪聲的影響,不能保證通道的頻域響應(yīng)的所有頻點(diǎn)全為非零,直接利用式(10)求均衡器響應(yīng)時(shí),可能出現(xiàn)除數(shù)為零的病態(tài)問題,也可能使帶外噪聲放大。所以,先利用參考通道響應(yīng)和通道響應(yīng)通過頻域擬合得到各個(gè)通道的幅頻響應(yīng),然后再由式(10)和頻域擬合得到均衡器相頻響應(yīng),最后得到均衡器響應(yīng)。

進(jìn)行頻率響應(yīng)擬合時(shí),若直接對(duì)帶外響應(yīng)置零,過渡帶變化劇烈,低階多項(xiàng)式難以很好的擬合。本文采用帶外線性擴(kuò)展方法解決此問題。頻譜帶外[B/2,fs/2]的線性擴(kuò)展方法如下：

(11)

即保持B/2處的值不變,將fs/2處的值置零,連接兩點(diǎn)的值實(shí)現(xiàn)頻譜帶外的線性擴(kuò)展,相頻響應(yīng)同理。

再利用N階(數(shù)據(jù)處理時(shí)用十六階)多項(xiàng)式對(duì)擴(kuò)展后整個(gè)頻帶的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)進(jìn)行擬合:

(12)

最后得到均衡器的響應(yīng)為

(13)

用均衡前后剩余失配(包含幅度失配和相位失配)的均值和方差來評(píng)價(jià)均衡器的均衡效果。均衡前(Gm_pre(f))和均衡后(Gm_beh(f))的剩余失配定義為

(14)

(15)

均衡器設(shè)計(jì)整體步驟如下:

步驟 1利用多樣本滑窗得到頻點(diǎn)l的協(xié)方差矩陣Rl,再利用式(8)和已知信源的理想導(dǎo)向矢量得到通道m(xù)相對(duì)于參考通道n通道響應(yīng)的幅度比和相位差的粗估計(jì);

步驟 2利用最小二乘準(zhǔn)則的諧波模型擬合有小范圍波動(dòng)的通道響應(yīng)的幅度比和相位差,得到擬合估計(jì)后精準(zhǔn)的通道響應(yīng);

步驟 3利用參考通道響應(yīng)和各個(gè)通道擬合估計(jì)后的幅度比和相位差求得各個(gè)通道的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng),并對(duì)帶外幅頻響應(yīng)進(jìn)行線性擴(kuò)展,然后通過頻域多項(xiàng)式擬合得到各個(gè)通道擬合后的幅頻響應(yīng);

步驟 4利用各個(gè)通道相頻響應(yīng)和式(10)得到均衡器相頻響應(yīng),并對(duì)帶外相頻響應(yīng)進(jìn)行線性擴(kuò)展,再利用頻域多項(xiàng)式擬合得到擬合后均衡器的相頻響應(yīng);

步驟 5利用擬合后各個(gè)通道的幅頻響應(yīng)和均衡器相頻響應(yīng)得到均衡器響應(yīng)。

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果和性能分析

本節(jié)利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果對(duì)上述方法的性能進(jìn)行驗(yàn)證分析。本文實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用線性調(diào)頻連續(xù)三角波信號(hào),采樣值對(duì)應(yīng)頻率響應(yīng),可以用樣本數(shù)變化來比較幾種方法的性能。同時(shí)，通道失配體現(xiàn)在進(jìn)行譜估計(jì)時(shí)協(xié)方差矩陣特征值擴(kuò)散問題,最終導(dǎo)致角度估計(jì)性能下降,而且均衡器階數(shù)也會(huì)影響譜估計(jì)性能。因此，先比較均衡器階數(shù)變化對(duì)譜估計(jì)性能的影響,然后再利用協(xié)方差大特征值差、角度估計(jì)均方誤差和輸出信噪比隨樣本數(shù)變化對(duì)均衡性能進(jìn)行評(píng)估。選擇響應(yīng)一致性強(qiáng)的通道2作為參考通道,圖2～圖5給出了一個(gè)周期數(shù)據(jù)的處理結(jié)果。

實(shí)驗(yàn) 1擬合估計(jì)通道響應(yīng)

通過擬合估計(jì)通道響應(yīng)減小噪聲對(duì)均衡器設(shè)計(jì)影響。圖2和圖3為原始接收數(shù)據(jù)的幅度比和相位差響應(yīng),圖4和圖5表示利用信號(hào)對(duì)稱性、周期性和相鄰頻點(diǎn)響應(yīng)一致性擬合估計(jì)后的通道響應(yīng)。分析發(fā)現(xiàn),通道響應(yīng)隨著頻率變化而變化,并且通道間變化也不盡相同,這就是通道不一致性造成的,也是均衡過程要處理的問題。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，通道響應(yīng)估計(jì)后明顯減弱了噪聲引起的毛刺狀起伏,但是還有小范圍的波紋狀波動(dòng),所以利用最小二乘準(zhǔn)則擬合消除剩余噪聲和平滑誤差對(duì)響應(yīng)的影響,得到擬合估計(jì)的精準(zhǔn)通道響應(yīng)。

為了定量描述響應(yīng)估計(jì)和均衡器改善通道響應(yīng)的能力,利用響應(yīng)誤差和剩余失配來評(píng)估,結(jié)果如表1和表2所示。表1給出了響應(yīng)估計(jì)前后其他通道相對(duì)參考通道的幅度誤差和相位誤差,可以發(fā)現(xiàn)擬合估計(jì)過程減小了誤差,提高了響應(yīng)準(zhǔn)確度。表2給出了均衡前后各個(gè)通道的剩余失配,結(jié)果表明本文方法能有效地均衡掉剩余失配誤差,且比參考方法有更好的均衡性能。

表1 估計(jì)前后響應(yīng)誤差比較

表2 均衡前后算法剩余失配比較

實(shí)驗(yàn) 2均衡器階數(shù)變化對(duì)譜估計(jì)影響

利用上面方法設(shè)計(jì)不同階數(shù)的均衡器,得到均衡后各個(gè)通道的響應(yīng),然后利用均衡后的數(shù)據(jù)比較本文方法和對(duì)比方法(頻域最小二乘法和傅里葉變換法)的譜估計(jì)性能隨均衡器階數(shù)變化關(guān)系。頻域最小二乘法的根本目的是用一定階數(shù)的均衡器響應(yīng)最大程度的逼近期望響應(yīng)。同時(shí)，理論分析可知等階的頻域最小二乘法和傅里葉變換法等價(jià),但是大量實(shí)驗(yàn)表明,噪聲段頻譜差異大于一定閾值時(shí),頻域最小二乘法和傅里葉變換法不再等價(jià)。圖6～圖8給出了均衡器階數(shù)變化對(duì)輸出信噪比和角度估計(jì)均方誤差的影響。可以發(fā)現(xiàn),隨著均衡器階數(shù)增加本文方法的輸出信噪比增加(約4 dB)到一定程度后不再變化,頻域最小二乘法的輸出信噪比降低2 dB,傅里葉變換法增加1 dB,本文方法比對(duì)比方法分別高約11 dB和13 dB。同時(shí)，本文方法和對(duì)比方法的角度估計(jì)均方誤差都在減小后趨于穩(wěn)定。這是由于本文方法在響應(yīng)估計(jì)過程中降低了噪聲對(duì)均衡器響應(yīng)的影響,從而更高階均衡器有更好的譜估計(jì)性能。頻域最小二乘法階數(shù)越高可導(dǎo)致矩陣不能滿秩的廣義逆病態(tài)問題和放大帶外噪聲影響,使得輸出信噪比降低。傅里葉變換法隨著階數(shù)增加能更好地逼近理想均衡器的影響,從而輸出信噪比增加,但是也不會(huì)超過頻域最小二乘法。

實(shí)驗(yàn) 3樣本數(shù)變化對(duì)譜估計(jì)影響

圖9和圖10給出了譜估計(jì)時(shí)未均衡和3種均衡方法均衡后,協(xié)方差矩陣特征值分解的第一大特征值與第二大特征值的差和輸出信噪比隨樣本數(shù)的變化。

從處理結(jié)果可以看出,未均衡時(shí)、本文方法、頻域最小二乘法和傅里葉變換法的大特征值差都隨樣本數(shù)增加而變小,最后趨于穩(wěn)定。大特征值差變小,表明特征值擴(kuò)散嚴(yán)重,從而嚴(yán)重影響角度估計(jì)。未均衡時(shí)大特征值差變化最快,有11 dB的變化量,本文方法和對(duì)比方法分別有2 dB、4 dB和8 dB左右的變化量。本文方法均衡后的輸出信噪比在樣本數(shù)初始增加階段有5 dB的提高,樣本足夠大時(shí)趨于穩(wěn)定,對(duì)比方法的輸出信噪比隨樣本數(shù)變大緩慢增加(分別約3 dB和2 dB),說明本文方法減小了樣本數(shù)對(duì)譜估計(jì)性能的影響,本文方法的均衡效果優(yōu)于對(duì)比方法。同時(shí)，本文方法輸出信噪比比對(duì)比方法高約7 dB,比未均衡時(shí)高約21 dB。

隨著樣本數(shù)增加,特征值擴(kuò)散嚴(yán)重影響角度估計(jì)。因此，圖11和圖12比較了譜估計(jì)時(shí)本文方法和比較方法均衡后俯仰向和方位向角度估計(jì)均方誤差隨樣本數(shù)的變化情況?？梢钥闯?在小樣本時(shí),本文方法、頻域最小二乘法和傅里葉變換法都有較小的誤差,本文方法誤差更小。隨著樣本數(shù)增多,3種方法均衡后的角度估計(jì)均方誤差都在減小,最后趨于平穩(wěn),但是本文方法收斂更快,對(duì)樣本數(shù)的依賴性更小,也就是說本文方法均衡效果更好,減小了樣本不一致性對(duì)譜估計(jì)的影響。所以，利用本文方法均衡通道不一致性時(shí)角度估計(jì)精度更高。

4 結(jié) 論

基于內(nèi)定標(biāo)系統(tǒng)的通道均衡方法沒有考慮天線饋線等鏈路對(duì)通道響應(yīng)的影響,而天線鏈路的不一致性也會(huì)影響均衡效果,同時(shí)已有的外校準(zhǔn)方法無法通過估計(jì)寬帶通道響應(yīng)來消除噪聲影響。因此，本文提出了基于響應(yīng)估計(jì)頻域擬合的通道均衡方法,該方法不僅降低了噪聲對(duì)通道響應(yīng)的影響,而且解決了求解均衡器響應(yīng)時(shí)除數(shù)可能為零和放大帶外噪聲的問題。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明,在譜估計(jì)時(shí)利用本文方法能夠有效地均衡通道的不一致性,從而減小特征值擴(kuò)散導(dǎo)致的角度估計(jì)誤差和提高輸出信噪比。