一類(lèi)包含Smarandache函數(shù)的方程的可解性

王明軍

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 渭南 714000)

1 引言

設(shè)n為任意的正整數(shù)，Smarandache函數(shù)S(n)[1]是滿(mǎn)足n|m!的最小正整數(shù)m,即S(n)=min{m:m∈N+,n|m!}.許多學(xué)者對(duì)Smarandache函數(shù)S(n)進(jìn)行了研究，得到了一些重要的結(jié)果[2-3].著名的Euler函數(shù)φ(n)表示不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).關(guān)于Smarandache函數(shù)S(n)與Euler函數(shù)φ(n)的方程:

S(nk)=φ(n)

(*)

一些學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了研究,得出了k取一些較小值時(shí)方程的解.文獻(xiàn)[4]證明了:當(dāng)k=1時(shí),方程(*)有解n=1,8,9,12,文獻(xiàn)[5]得出了當(dāng)k=2,3,4時(shí)方程(*)的解,文獻(xiàn)[6]研究了當(dāng)k=5時(shí),方程(*)的解為n=1,64,當(dāng)k=6,7時(shí)方程(*)的解分別在文獻(xiàn)[7-8]中進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[9]研究了方程S(n2k)=φ(n)的解,也就是方程S(nk)=φ(n)在指數(shù)為偶數(shù)時(shí)的情形，對(duì)于滿(mǎn)足特定條件的k值，得到了方程解的一般形式.

研究了方程S(n2k-1)=φ(n)在n和k滿(mǎn)足特定條件時(shí)的一般解問(wèn)題,得出了方程部分解的一般形式.

2 引理

引理3[10]設(shè)p為素?cái)?shù)，α為任意的正整數(shù)，那么S(pα)的上下界有如下估計(jì)：

(p-1)α+1≤S(pα)≤(p-1)[α+1+logpα]+1.

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)k是使得4k-1為素?cái)?shù)的正整數(shù)，則n=(4k-1)2及n=2×(4k-1)2都是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

證明：若4k-1為素?cái)?shù),則(1)當(dāng)n=(4k-1)2時(shí),

S(((4k-1)2)2k-1)=S((4k-1)4k-2)=(4k-1)(4k-2),

φ((4k-1)2)=(4k-1)(4k-2).

因此,S(((4k-1)2)2k-1)=φ((4k-1)2),即當(dāng)4k-1為素?cái)?shù)時(shí),n=(4k-1)2是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

(2)當(dāng)n=2×(4k-1)2時(shí),

S((2×(4k-1)2)2k-1)=max{S(22k-1),S((4k-1)4k-2)}=(4k-1)(4k-2),

φ(2×(4k-1)2)=(4k-1)(4k-2).

因此,S((2×(4k-1)2)2k-1)=φ((4k-1)2),即當(dāng)4k-1為素?cái)?shù)時(shí),n=2×(4k-1)2也是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

由(1) (2)可知，當(dāng)4k-1為素?cái)?shù)，n=(4k-1)2及n=2×(4k-1)2都是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

證明：(1)當(dāng)n=p2(p+2)時(shí), 根據(jù)引理1有

S(n2k-1)=S((p2(p+2))2k-1)=max{S(p4k-2),S((p+2)2k-1)}.

由于4k-2=p(p+1)-2

p(p-1)(p+1).

因此，

也即是,p≥5時(shí)，S(p4k-2)>S((p+2)2k-1).

這樣，S(n2k-1)=max{S(p4k-2),S((p+2)2k-1)}=S(p4k-2)=p(p-1)(p+1).

又φ(p2(p+2))=p(p-1)(p+1).

所以當(dāng)n=p2(p+2)時(shí),S(n2k-1)=φ(n).

(2)當(dāng)n=2p2(p+2)時(shí), 按照相同的推理方法可得：

S(n2k-1)=max{S(22k-1),S(p4k-2),S((p+2)2k-1)}=S(p4k-2)=p(p-1)(p+1),

φ(n)=φ(2p2(p+2))=p(p-1)(p+1),

所以當(dāng)n=2p2(p+2)時(shí),S(n2k-1)=φ(n).

綜上可知，定理2成立

定理3 對(duì)于任意正整數(shù)k，(1)當(dāng)k=1,2時(shí)，n=22k×3是方程S(n2k-1)=φ(n)的解，(2)當(dāng)k≥3時(shí)，n=22k×3不是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

證明：(1)當(dāng)k=1時(shí)，

S(n2k-1)=S(22×3)=max{S(22),S(3)}=S(22)=4,

φ(n)=φ(22×3)=φ(22)φ(3)=4,

所以當(dāng)k=1時(shí)，n=12是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

當(dāng)k=2時(shí)，

S(n2k-1)=S((24×3)3)=max{S(212),S(33)}=S(212)=16,

φ(n)=φ(24×3)=φ(24)φ(3)=16,

所以當(dāng)k=2時(shí)，n=48是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

(2)當(dāng)k≥3時(shí)，

S((22k×3)2k-1)=max{S(22k(2k-1)),S(32k-1)}=S(22k(2k-1)),

根據(jù)引理3可得：

S(22k(2k-1))≤[2k(2k-1)+1+log22k(2k-1)]+1≤

2k(2k-1)+log22k(2k-1)+2,

又φ(22k×3)=22k,

φ(n)-S(n2k-1)=φ(22k×3)-S(22k(2k-1))≥22k-2k(2k-1)-log22k(2k-1)-2.

作f(x)=22x-2x(2x-1)-log22x(2x-1)-2，則

因此，當(dāng)x≥3時(shí),f(x)≥f(3)=32-log230>0.故當(dāng)k≥3時(shí)，

22k-2k(2k-1)-log22k(2k-1)-2>0

即當(dāng)k≥3，n=22k×3時(shí),φ(n)-S(n2k-1)>0

所以，當(dāng)k≥3時(shí)，n=22k×3不是方程S(n2k-1)=φ(n)的解.

對(duì)于滿(mǎn)足特定條件的k定理1得出了方程S(n2k-1)=φ(n)的兩個(gè)解，對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的n定理2給出了方程S(n2k-1)=φ(n)的兩個(gè)解，定理3討論了對(duì)于任意正整數(shù)k,n=22k×3是否為方程的解.以上結(jié)論對(duì)于解決方程S(nk)=φ(n)的求解問(wèn)題具有一定意義，同時(shí)根據(jù)定理1可知,k=3時(shí), 4k-1為素?cái)?shù),則n=121以及n=242都是方程S(n5)=φ(n)的解,對(duì)文獻(xiàn)[6]的結(jié)論進(jìn)行了補(bǔ)充.