讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂
——以“黃金分割”的內(nèi)涵與賞析課為例

何 丹，劉 銀

（江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212000）

教育是強(qiáng)國(guó)之基，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想鑄魂育人，踐行“立德樹人”新要求，傳播進(jìn)步與美的思想文化。依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）基本理念，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。蔡元培先生在《教育大辭書》中說：“美育者，應(yīng)用美學(xué)理論于教育，以陶養(yǎng)感情為目的者也?！鲍@得美的體驗(yàn)才會(huì)追求美、創(chuàng)造美。教學(xué)中以數(shù)學(xué)文化為載體，將數(shù)學(xué)美滲透到學(xué)生心中，激勵(lì)精神、溫潤(rùn)心靈。于是，在一次校際教研活動(dòng)中，筆者設(shè)計(jì)了黃金分割的內(nèi)涵與賞析這一節(jié)課。大膽嘗試數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的實(shí)踐研究，選定課題，經(jīng)歷了資料查閱、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)模擬、教學(xué)研討，資料再次查閱、教學(xué)再次設(shè)計(jì)、教學(xué)展示、教學(xué)評(píng)價(jià)等教學(xué)環(huán)節(jié)。旨在讓學(xué)生走近黃金分割，欣賞比例美與和諧美，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)在之和諧美，并應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中。課堂上學(xué)生積極動(dòng)手動(dòng)腦，思維飛揚(yáng)，聽課教師反響熱烈，師生陶醉于數(shù)學(xué)之美中，現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)展示如下。

一、數(shù)學(xué)文化融入新課程的重要性

數(shù)學(xué)具有文化屬性、美學(xué)屬性，學(xué)習(xí)并賞析數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。國(guó)內(nèi)最早注意數(shù)學(xué)文化的是北京大學(xué)教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數(shù)學(xué)與文化》中記錄了從自然辯證法研究的角度對(duì)數(shù)學(xué)文化的思考。齊民友先生的《數(shù)學(xué)與文化》，從非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。黃秦安教授認(rèn)為數(shù)學(xué)是超越學(xué)科范圍的觀念、意識(shí)、心理、歷史、事件、人物和數(shù)學(xué)傳播的總和。張奠宙先生指出數(shù)學(xué)教育是為了欣賞數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思維的真善美。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）指出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成與發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類活動(dòng)、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)。將數(shù)學(xué)文化融入新課程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和審美價(jià)值顯得尤為重要。

二、課例展示

環(huán)節(jié)1：認(rèn)識(shí)黃金分割

黃金分割問題的研究起源于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，畢達(dá)哥拉斯從鐵匠鋪的打鐵聲中受到啟發(fā)，反復(fù)測(cè)量比較鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)優(yōu)美和諧的聲音來源于恰當(dāng)?shù)谋壤?。歐多克索曾提出：“能否將一條線段分成不等的兩部分，使較短線段與較長(zhǎng)線段比等于較長(zhǎng)線段與原線段之比？”公元前300 年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時(shí)吸收了歐多克索的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割。黃金分割與幾何、代數(shù)、數(shù)列密不可分，因其蘊(yùn)含的美學(xué)價(jià)值，被廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域。

活動(dòng)1：探索美的比例

學(xué)生畫五角星，教師展示正五角星圖片，大家都認(rèn)為正五角星美觀。五星紅旗上有正五角星，許多國(guó)家國(guó)旗上有正五角星，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以正五角星為標(biāo)志。

問題1 人們?nèi)绱绥娗橛谡褰切牵惺裁刺厥庵帲?/p>

借助視頻指導(dǎo)學(xué)生用大小不一的正方形彩紙折出正五邊形，連接頂點(diǎn)，得到正五角星。將正五邊形中的線段交點(diǎn)做標(biāo)記，如圖1。測(cè)量并計(jì)算：____;____。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這三個(gè)比值都接近0.618。

圖1

點(diǎn)N 將線段AC 分成兩段，若較長(zhǎng)線段與原線段之比等于較短線段與較長(zhǎng)線段之比，即，則稱線段AC 被點(diǎn)N 黃金分割，點(diǎn)N 為線段AC 的黃金分割點(diǎn)，AN 與AC 的比值為黃金分割比。正五角星中因蘊(yùn)含了黃金分割比而特殊且美觀。

問題2：你能求出黃金分割比的精確值嗎？

學(xué)生小組探究，設(shè)線段AC 為1，AN 為x，由線段比值關(guān)系得到方程x2+x-1=0，求出精確解。又一小組發(fā)現(xiàn)正五角星的頂角為 36°，解三角形可得黃金比也可表示為2sin18°。

設(shè)計(jì)意圖：折紙是一項(xiàng)寓教于樂的活動(dòng)，學(xué)生積極參與，探索幾何圖形中美妙的線段比，愉快的感覺來自恰當(dāng)?shù)谋壤?，感受?shù)學(xué)代數(shù)之美。

環(huán)節(jié)2 欣賞黃金分割之幾何圖形美

正五角星因黃金比而美麗，稱為黃金五角星。連接其中間正五邊形頂點(diǎn)，得到一個(gè)較小的正五角星，在較小的正五角星內(nèi)重復(fù)上述操作得到更小的正五角星。借助GeoGebra 軟件展示這一動(dòng)態(tài)變化過程，得到更多更小的正五角星（如圖2），這種自相似性讓人為之著迷。

圖2

活動(dòng)2：尋找和諧美觀的黃金圖形

正五邊形的一條對(duì)角線上有4 組黃金分割線段，這些線段組成新的圖形。比如 ΔBED，ΔEDM，ΔDHM，底邊與腰的比值為黃金比，稱為黃金三角形（如圖3）。比如梯形ABCE，腰與下底邊的比值為黃金比，稱為黃金梯形（如圖4）。在正五邊形中這樣極具美感的梯形有5 個(gè)，三角形則多達(dá)20 個(gè)。生活中還有其他黃金圖形，如黃金矩形，其寬與長(zhǎng)之比約為0.618。黃金橢圓離心率為。這些圖形因黃金比而和諧美觀。

圖3

圖4

活動(dòng)3：應(yīng)用黃金分割比

世界各地建筑中常有黃金分割的影子，上海東方明珠電視塔的上球體到塔底距離與整個(gè)塔高之比約為0.618，古埃及金字塔地面的邊長(zhǎng)和高之比都接近于0.618。帕特農(nóng)神廟、多倫多塔、巴黎圣母院等建筑都應(yīng)用到黃金分割比，雄偉、壯闊的建筑結(jié)構(gòu)讓人賞心悅目。意大利畫家達(dá)·芬奇運(yùn)用黃金矩形構(gòu)圖，如《蒙娜麗莎》《維特魯威人》等。

世界藝術(shù)珍品維納斯女神的上半身和下半身比值接近0.618，堪稱魔鬼身材。形體優(yōu)美，動(dòng)作優(yōu)雅的芭蕾舞演員踮腳尖跳舞，是為了讓上半身和下半身的比值接近0.618。體形健美者的容貌外觀中，至少有18 個(gè)黃金分割點(diǎn)。比如肚臍是頭頂與足底的分割點(diǎn)、咽喉是頭頂與肚臍的黃金分割點(diǎn)、膝關(guān)節(jié)是肚臍與足底的黃金分割點(diǎn)。

問題3：你能讓媽媽擁有黃金比例身材嗎？

愛美之心，人皆有之，尋找自己身體中的黃金分割。設(shè)計(jì)高跟鞋給媽媽，讓她擁有迷人的黃金比例身材。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生找出正五邊形中的黃金圖形，欣賞藝術(shù)創(chuàng)作中的幾何圖形之美。由雕塑形體之美到尋找自己身體中的黃金分割，讓學(xué)生感悟美，并設(shè)計(jì)高跟鞋應(yīng)用黃金分割之美。

環(huán)節(jié)3：領(lǐng)悟黃金分割之代數(shù)美

數(shù)，美麗而玄妙，組成奇幻的數(shù)字世界。當(dāng)數(shù)與數(shù)結(jié)合，變成一列數(shù)，創(chuàng)造出浩瀚而旖旎的數(shù)字星空，在大自然的數(shù)字密碼中尋找黃金分割。

活動(dòng)4：探索黃金分割之代數(shù)美

欣賞一些花朵圖片，數(shù)一數(shù)花瓣數(shù)目：2、3、5、8、13……

問題4：這些數(shù)字讓你想到哪個(gè)數(shù)列？與黃金分割有什么關(guān)系？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列，是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤書》中提出的以兔子繁殖為背景的一個(gè)數(shù)列，從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。將這個(gè)數(shù)列前后相鄰兩項(xiàng)作比值得到一個(gè)新數(shù)列，……產(chǎn)生的新數(shù)列逐漸穩(wěn)定在0.618 處。學(xué)生大膽猜測(cè)斐波那契數(shù)列與黃金分割密不可分，其前后兩項(xiàng)的比值會(huì)趨近于。斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

由法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)給出，故又稱比內(nèi)公式。其中含有兩個(gè)與黃金分割比有關(guān)的無理數(shù)，一個(gè)是其倒數(shù)，另一個(gè)是其相反數(shù)，然而它卻表示了一個(gè)由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，這是多么神奇的數(shù)學(xué)公式，它的奇異美讓人驚嘆。

活動(dòng)5：感受斐波那契螺旋線的神奇與美妙

很多植物種子的排列也與這個(gè)神奇的數(shù)列有關(guān)，如向日葵種子（圖5）的排列由逆時(shí)針的螺旋線和順時(shí)針的螺旋線構(gòu)成。仔細(xì)觀察螺旋線數(shù)目，會(huì)驚喜地發(fā)現(xiàn)它們總是相鄰的兩個(gè)斐波那契數(shù)（圖6）。松果、菠蘿中也存在這樣的螺旋線。植物種子按這樣的規(guī)律排列，可使種子的堆積效率最高。

圖5

圖6

問題5：借助斐波那契數(shù)列你能畫出斐波那契螺旋線嗎？

自然界中對(duì)數(shù)螺線無處不在，如，鸚鵡螺外殼、蜘蛛網(wǎng)、漩渦星系的旋臂……含黃金比的螺線被看成是完美對(duì)數(shù)螺線。斐波那契螺旋線與黃金螺旋線非常近似，選取一個(gè)以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，在每個(gè)小正方形里畫一個(gè) 90° 的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺線，如圖7。

圖7

設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)自然，探索大自然的密碼，從花瓣數(shù)目、植物種子排列方式發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列，認(rèn)識(shí)它的通項(xiàng)公式，尋找黃金比。欣賞美麗的黃金螺線，畫出斐波那契螺旋線，感受數(shù)學(xué)之美。讓學(xué)生在美的體驗(yàn)中領(lǐng)悟到大自然中處處閃爍著美妙的數(shù)學(xué)智慧，從而讓學(xué)生熱愛自然、熱愛數(shù)學(xué)。

環(huán)節(jié)4：體會(huì)黃金分割之應(yīng)用美

黃金分割的比例美與和諧美被應(yīng)用到社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，它已成為創(chuàng)造和諧生活環(huán)境的一種常見方式。人體溫度是 36° 左右，使人舒適的溫度為 22 °左右，人們常將室溫調(diào)至 22°，接近于黃金分割比。主持人報(bào)幕會(huì)選擇舞臺(tái)全長(zhǎng)的0.618 處，家具外觀設(shè)計(jì)長(zhǎng)寬之比接近0.618，賞心悅目的攝影作品構(gòu)圖考慮黃金分割比，二胡為獲得最佳音色，其“千斤”需放在琴弦長(zhǎng)度的0.618 處。中國(guó)古代畫論中說“丈山尺樹，寸馬分人”，山水畫中山、樹、馬、人的大致布局接近于黃金分割比。

華羅庚先生的優(yōu)選法于20 世紀(jì)70 年代在我國(guó)進(jìn)行推廣，因其簡(jiǎn)潔高效被運(yùn)用電子、機(jī)械、化工、石油、交通運(yùn)輸、糧食加工等多個(gè)領(lǐng)域，其中包含0.618法，也稱為黃金分割法，在優(yōu)選時(shí)將嘗試點(diǎn)放在黃金分割點(diǎn)上尋找最優(yōu)選擇。0.618 法以較少的試驗(yàn)次數(shù)、找到合理的組合方案、合適的工藝條件。

尋找身邊黃金分割應(yīng)用的例子，收獲美的體驗(yàn)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)黃金分割應(yīng)用的廣泛性。讓學(xué)生拓展美、留住美，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，感受黃金分割之美，體會(huì)數(shù)學(xué)之美，用數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造更美好的世界。

環(huán)節(jié)5：數(shù)海拾遺收獲美

暢談本節(jié)課的收獲，從學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，到領(lǐng)悟了什么方法，獲得什么樣的情感體驗(yàn)，得到哪些啟發(fā)。學(xué)生暢所欲言，課堂氛圍熱烈而濃厚，在輕松愉悅的環(huán)境中收獲滿滿。

教師總結(jié)：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派崇尚美，他們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)的研究中不斷發(fā)現(xiàn)美，美表現(xiàn)在數(shù)量比例的對(duì)稱與和諧中。黃金分割古老而又神奇，總與美聯(lián)系在一起，在人們身邊隨處可見，給人以美的享受。

設(shè)計(jì)意圖：將數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值滲透到教學(xué)中，以欣賞數(shù)學(xué)文化為主線、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與自然、人文社會(huì)的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力與應(yīng)用價(jià)值。

三、小結(jié)與反思

數(shù)學(xué)與藝術(shù)、建筑、音樂等領(lǐng)域存在深刻的聯(lián)系，生活中處處演繹著數(shù)學(xué)的奇妙有趣、智慧和諧，輻射出數(shù)學(xué)文化的迷人魅力。人體結(jié)構(gòu)、建筑、繪畫、優(yōu)選法等蘊(yùn)含美的事物與黃金分割相關(guān)，植物生長(zhǎng)、動(dòng)物繁殖等具有美的規(guī)律的現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列相關(guān)。找到變化中的不變性，探究?jī)?nèi)部數(shù)學(xué)規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)價(jià)值，進(jìn)而體會(huì)其科學(xué)價(jià)值、美學(xué)價(jià)值。張奠宙先生認(rèn)為：從欣賞外部形狀的美觀，進(jìn)而領(lǐng)略內(nèi)涵智慧的美妙，欣賞數(shù)學(xué)精品，重在展示數(shù)學(xué)智慧之美妙。本節(jié)課旨在讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與美的結(jié)合，通過精美有趣的圖片、動(dòng)畫、視頻，使學(xué)生從形和數(shù)的角度感受黃金分割之美、數(shù)學(xué)之美、自然之美、生活之美，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、探索美、欣賞美、領(lǐng)悟美、應(yīng)用美、創(chuàng)造美。