基于編碼矩陣結(jié)構(gòu)特征的非刪余極化碼參數(shù)盲識(shí)別算法

王垚，王翔，楊國東，黃知濤

（1.國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073；2.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400036；3.中國人民解放軍92001 部隊(duì)，山東 青島 266023）

0 引言

為了實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定可靠的通信，信道編碼技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各類數(shù)字通信系統(tǒng)中，該技術(shù)的合理運(yùn)用可以有效提高信息傳輸?shù)馁|(zhì)量。其中，極化碼是已知的唯一一種被嚴(yán)格證明在二進(jìn)制離散無記憶信道（B-DMC,binary discrete memoryless channel）下能夠達(dá)到香農(nóng)極限的信道編碼方法[1]，并被確定為5G 增強(qiáng)型移動(dòng)寬帶（eMBB,enhanced mobile broadband）場景下的控制信道編碼方案[2]。極化碼是5G 通信中采用的新型編碼方式，對(duì)其進(jìn)行參數(shù)盲識(shí)別的研究，具有重要的研究價(jià)值。

在認(rèn)知通信和非合作通信領(lǐng)域，信道編碼盲識(shí)別受到了國內(nèi)外越來越多的關(guān)注。從編碼過程上看，極化碼屬于線性分組碼，且當(dāng)前線性分組碼盲識(shí)別課題已經(jīng)有了較多的研究成果與積累。文獻(xiàn)[3]利用接收碼字的秩特性，提出一種基于秩準(zhǔn)則的編碼類型識(shí)別算法。文獻(xiàn)[4]提出一種基于游程特征的線性分組碼與卷積碼類型識(shí)別算法，該算法可以較好地對(duì)線性分組碼與卷積碼進(jìn)行區(qū)分。針對(duì)循環(huán)碼識(shí)別問題，文獻(xiàn)[5]從循環(huán)碼定義出發(fā)，利用歐幾里得算法，完成循環(huán)碼生成多項(xiàng)式的識(shí)別。文獻(xiàn)[6-7]利用循環(huán)碼生成多項(xiàng)式為xn+1的因子這一特性，通過因式分解實(shí)現(xiàn)循環(huán)碼識(shí)別，但誤碼適應(yīng)能力不足。針對(duì)BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）碼識(shí)別問題，文獻(xiàn)[8]提出了一種利用碼根差熵和碼根統(tǒng)計(jì)的本原BCH 碼識(shí)別算法，但在高碼率情況下識(shí)別性能變差，且算法計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于伽羅華域傅里葉變換（GFFT,Galois field Fourier transform）的識(shí)別算法，通過算法的優(yōu)化避免了錯(cuò)誤碼字對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，誤碼適應(yīng)能力得到提高。文獻(xiàn)[10]首次引入軟判決序列對(duì)本原BCH碼進(jìn)行識(shí)別，通過計(jì)算碼字多項(xiàng)式的碼根 KL（Kullback-Leibler）散度，利用碼根概率分布識(shí)別出碼長、本原多項(xiàng)式以及生成多項(xiàng)式，識(shí)別性能得到較大的提高。針對(duì)RS（Reed-Solomon）碼識(shí)別問題，文獻(xiàn)[11]提出了基于伽羅華域中高斯消元的識(shí)別算法，該算法在碼長較短的情況下具有一定實(shí)用性，但是計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨著碼長增加而急劇增加，且容錯(cuò)性能較差。文獻(xiàn)[12]從提高容錯(cuò)性能出發(fā)，提出基于GFFT的識(shí)別算法，雖然算法容錯(cuò)性能得到了提升，但運(yùn)算量隨著碼長增加會(huì)急劇增加。文獻(xiàn)[13]建立了基于似然判決的二元域統(tǒng)計(jì)判決模型，引入了能夠衡量校驗(yàn)關(guān)系成立大小的平均校驗(yàn)符合度概念，通過遍歷的方式對(duì)參數(shù)進(jìn)行匹配，該算法具有較好的低信噪比適應(yīng)能力。此外，針對(duì)卷積碼[14-15]、低密度奇偶校驗(yàn)（LDPC,low density parity check）碼[16-17]、Turbo碼[18-19]等不同編碼方式的識(shí)別問題，也有大量的研究。

由于極化碼特有的編碼理論與方法，傳統(tǒng)的線性分組碼識(shí)別算法并不適用于極化碼，且目前針對(duì)極化碼識(shí)別的研究較少。其中，文獻(xiàn)[20]通過對(duì)信道刪除概率和極化碼碼長進(jìn)行遍歷，求得對(duì)應(yīng)的生成矩陣及其零空間，并利用零空間對(duì)硬判決碼字矩陣依次進(jìn)行校驗(yàn)，確定編碼參數(shù)。文獻(xiàn)[21]通過對(duì)碼長和凍結(jié)比特進(jìn)行遍歷，依次選取凍結(jié)比特求得所對(duì)應(yīng)的對(duì)偶向量，利用對(duì)偶向量對(duì)軟判決碼字矩陣進(jìn)行校驗(yàn)，判斷碼字是否選取該比特作為其凍結(jié)比特，但在對(duì)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的過程中進(jìn)行了近似處理?，F(xiàn)有算法由于未有效利用極化碼的相關(guān)性質(zhì)，均需要采用參數(shù)遍歷的方式對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行搜索，得到參數(shù)的估計(jì)值，導(dǎo)致算法過程較復(fù)雜、計(jì)算量較大，同時(shí)在計(jì)算過程中采用硬判決序列或?qū)y(tǒng)計(jì)判決量進(jìn)行近似，算法的誤碼適應(yīng)能力不足。

針對(duì)上述問題，本文同樣對(duì)標(biāo)準(zhǔn)非刪余極化碼的編碼過程展開了研究。通過對(duì)極化碼相關(guān)性質(zhì)的研究，證明了描述極化碼生成矩陣、碼長、信息比特和凍結(jié)比特之間特有關(guān)系的定理與命題；利用信息比特的分布規(guī)律，實(shí)現(xiàn)碼長的識(shí)別；引入似然差（LD,likelihood difference）作為檢驗(yàn)關(guān)系的判決統(tǒng)計(jì)量，并從理論上分析了似然差的統(tǒng)計(jì)特性，基于最大最小準(zhǔn)則對(duì)最優(yōu)判決門限進(jìn)行了求解，實(shí)現(xiàn)信息比特與凍結(jié)比特的識(shí)別，對(duì)碼率進(jìn)行估計(jì)。所提算法充分利用了極化碼生成矩陣的結(jié)構(gòu)特征，在保證識(shí)別性能的前提下，顯著降低了運(yùn)算量。仿真證明了所提算法的有效性。若無特殊說明，下文極化碼均指標(biāo)準(zhǔn)極化碼。

1 信道極化

極化碼的產(chǎn)生來源于信道極化理論。對(duì)于一個(gè)二進(jìn)制離散無記憶信道W:X→Y，其轉(zhuǎn)移概率為W(y|x)，x∈X，y∈Y。信道極化的過程包含2 個(gè)階段：信道合并和信道分裂。信道合并是指N個(gè)獨(dú)立信道經(jīng)過線性變換合并為信道W N:XN→YN，信道分裂則是將信道WN分解成N個(gè)子信道。圖1 為標(biāo)準(zhǔn)極化碼一級(jí)信道結(jié)構(gòu)，將2 個(gè)比特進(jìn)行編碼，可得

圖1 標(biāo)準(zhǔn)極化碼一級(jí)信道結(jié)構(gòu)

將0x和1x分別通過信道W進(jìn)行傳輸，得到y(tǒng)0和1y，則合并后的信道2W的轉(zhuǎn)移概率為

多級(jí)級(jí)聯(lián)進(jìn)行上述操作，最終可以實(shí)現(xiàn)多級(jí)極化。經(jīng)過n=lbN次極化后，得到的合并信道WN的轉(zhuǎn)移概率[1]為

其中，BN表示比特逆序重排矩陣，F(xiàn)N=?nF，，?表示Kronecker 積。對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)極化碼，也可采用3 ×3 或更高階次的核F。分裂后的子信道的轉(zhuǎn)移概率[1]為

1.1 極化信道可靠性估計(jì)

對(duì)于二進(jìn)制刪除信道（BEC,binary erasure channel），為描述極化信道的可靠性，可以引入巴氏參數(shù)[1]作為表征信道W質(zhì)量的參數(shù)，其定義為

當(dāng)信道W只用來發(fā)射單個(gè)比特時(shí)，巴氏參數(shù)是使用最大后驗(yàn)概率判決時(shí)錯(cuò)誤概率的上界。當(dāng)信道為BEC 時(shí)，Z(W) 可以通過式(6)計(jì)算得到[1]。

圖2 BEC 子信道巴氏參數(shù)分布

1.2 極化碼編碼

極化碼利用可靠性較高的子信道來傳輸有用的信息比特，而利用可靠性較差的子信道傳輸凍結(jié)比特。極化碼的編碼過程用生成矩陣的形式可以表示為

其中，u1×N為原始比特序列，c1×N為編碼后的比特序列，GN為生成矩陣，2n N=為碼長，n為正整數(shù)。生成矩陣表示為

容易證明，生成矩陣GN是一個(gè)N×N維的滿秩矩陣，其行向量與子信道一一對(duì)應(yīng)。假設(shè)A是一個(gè)元素個(gè)數(shù)為k的正整數(shù)的集合，A中每個(gè)元素為信息比特所對(duì)應(yīng)子信道的行標(biāo)號(hào)，則其補(bǔ)集cA中的元素為凍結(jié)比特所對(duì)應(yīng)子信道的行標(biāo)號(hào)，碼率為。uA為要傳輸?shù)男畔⒈忍?，為凍結(jié)比特，于是編碼過程可表示為

一般情況下，極化碼的凍結(jié)比特均取0，此時(shí)編碼過程可進(jìn)一步簡化為

由極化碼編碼原理可知，當(dāng)給定編碼長度，極化碼的編譯碼結(jié)構(gòu)將被唯一確定，且可以通過生成矩陣的形式表示編碼過程。由此可知，標(biāo)準(zhǔn)非刪余極化碼識(shí)別最終目的是完成對(duì)極化碼碼長、信息比特及凍結(jié)比特的識(shí)別。通常在實(shí)際通信系統(tǒng)中，采用線性分組碼的比特流序列通常有固定的幀結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的同步碼[21]，且已有相應(yīng)方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)幀同步碼的盲識(shí)別[22-23]，故本文假設(shè)已完成幀同步，集中對(duì)極化碼參數(shù)識(shí)別問題進(jìn)行討論。除特別說明外，本文矩陣運(yùn)算均在二元域F(2) 上進(jìn)行。

2 極化碼識(shí)別原理與算法

2.1 識(shí)別原理

根據(jù)極化碼編碼原理可知，標(biāo)準(zhǔn)非刪余極化碼碼長通常為2n（n＞0 ），不同碼長的極化碼對(duì)應(yīng)著不同的生成矩陣GN。在給出具體的識(shí)別算法之前，首先對(duì)矩陣GN的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究，給出相關(guān)的定理及命題，作為極化碼參數(shù)識(shí)別算法的理論基礎(chǔ)。

定理1對(duì)于矩陣F?n，具有如下性質(zhì)

定理1 利用數(shù)學(xué)歸納法易證得。根據(jù)定理1可知，對(duì)于矩陣F?n，當(dāng)剔除其第i行后，記得到的新矩陣為，矩陣的對(duì)偶向量即F?n的第i列。根據(jù)極化碼編碼性質(zhì)可知，生成矩陣GN與矩陣F?n由相同的行向量組成，只是行向量的排列順序不同，其對(duì)應(yīng)關(guān)系由矩陣BN所決定，易證得

考慮碼長為N=2n、碼率為k/N的極化碼，當(dāng)碼字(c1,c2,…,cN),…,(c(L-1)N+1,c(L-1)N+2,…,cLN)被拓展為(c1,c2,…,cN,…,c(L-1)N+1,c(L-1)N+2,…,cLN)時(shí)，拓展后的碼字等價(jià)于碼長為LN(L=2m)的新極化碼，拓展后的極化碼生成矩陣可記為=IL?GN，其中IL為維數(shù)為L×L的單位矩陣。

命題1對(duì)于拓展后碼長為LN(L=2m)的新極化碼，記其對(duì)應(yīng)的（n+m）次克羅內(nèi)克積為F?(n+m)，生成矩陣為，則有

證明

證畢。

2.2 凍結(jié)比特與信息比特識(shí)別

假設(shè)接收到的碼流序列共包含M個(gè)完整碼字，記為r，其中N滿足2n N=?？紤]命題1 中m=1 時(shí)的情況，即碼字矩陣的設(shè)定碼長與真實(shí)碼長相等，利用截獲的碼流序列r構(gòu)建碼字矩陣R

在無誤碼條件下，根據(jù)式(10)，接收到的碼字可表示為R=C=UGN(A)，其中U為對(duì)應(yīng)的信息矩陣。記碼字矩陣R與矩陣?nF相乘所得矩陣為Φ。

命題2在無誤碼條件下，矩陣Φ中零列向量的數(shù)量為n-k，零列向量的位置與凍結(jié)比特的位置一一對(duì)應(yīng)。

證明對(duì)于矩陣R與矩陣?nF，可得

其中，矩陣Pk×N為行滿秩矩陣，用于選出GN中行標(biāo)號(hào)屬于集合A的行?？紤]到矩陣BN為行置換矩陣，每行每列有且僅有一個(gè)元素為1，行與行之間、列與列之間1的位置均不同，可將式(17)化簡為

根據(jù)極化碼編碼性質(zhì)可知，生成矩陣GN與矩陣F?n中行向量所處位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系由矩陣BN決定。因此根據(jù)命題1 可知，當(dāng)剔除生成矩陣GN第i行后得到矩陣，存在由BN決定的變換π(·)，使矩陣的對(duì)偶向量為F?n的第π(i)列。則信息比特和凍結(jié)比特所對(duì)應(yīng)子信道的行標(biāo)號(hào)集合分別為A={π-1[α(1)],π-1[α(2)],…,π-1[α(k)]}和Ac={π-1[b1],π-1[b2],…,π-1[bN-k]}。證畢。

因此，根據(jù)命題2 可知，當(dāng)碼字矩陣設(shè)定的碼長與真實(shí)碼長相等時(shí)，只需要考察碼字矩陣R與矩陣F?n各列之間的校驗(yàn)關(guān)系，并利用映射關(guān)系π(·)即可求得集合A。當(dāng)矩陣F?n第i列與碼字矩陣R不滿足校驗(yàn)關(guān)系時(shí)，π-1(i)為集合Ac中的一個(gè)元素，否則π-1(i)為集合A中的一個(gè)元素。同時(shí)，碼率估計(jì)值為

2.3 碼長識(shí)別

根據(jù)2.2 節(jié)分析可知，當(dāng)碼字矩陣設(shè)定的碼長與真實(shí)碼字長度相同時(shí)，利用碼字矩陣R與矩陣F?n的運(yùn)算結(jié)果，可以實(shí)現(xiàn)信息比特和凍結(jié)比特置的識(shí)別。但實(shí)際接收中，無法事先知道極化碼碼長，因此本節(jié)將繼續(xù)對(duì)碼長識(shí)別進(jìn)行分析。

首先，考慮無誤碼情況。當(dāng)碼字矩陣設(shè)定的碼長大于真實(shí)碼長時(shí)，即N′=LN=2n+m（m＞ 1），可構(gòu)造碼字矩陣RL。此時(shí)碼長為N=2n、碼率為k/N的極化碼，被拓展為碼長為LN(L=2m)的新極化碼。接收到的碼字矩陣可表示為R L=其中UL為對(duì)應(yīng)的信息矩陣。記碼字矩陣RL與矩陣F?(n+m)相乘所得矩陣為ΦL。

命題3在無誤碼條件下，矩陣ΦL中零列向量的數(shù)量為(n-k)L，且周期性出現(xiàn)，周期為N。

證明根據(jù)命題1 與式(17)可得

根據(jù)2.2 節(jié)分析可知，矩陣Γ的任意一行γi的元素，只有在α(i)的位置為1，其他位置均為0。因此，矩陣F?m?Γ將周期性出現(xiàn)零列向量，周期為N。證畢。

根據(jù)命題3 可知，矩陣F?(n+m)中與碼字矩陣RL滿足校驗(yàn)關(guān)系的列將周期性出現(xiàn)，其周期與碼長、矩陣F?(n+m)存在嚴(yán)格約束關(guān)系。因此，當(dāng)接收碼字不存在誤碼時(shí)，選擇合適的碼長并計(jì)算矩陣ΦL，根據(jù)矩陣中零列向量的分布情況可以得到碼字矩陣設(shè)定的碼長與真實(shí)碼長之間的關(guān)系，計(jì)算出真實(shí)碼長。

但當(dāng)接收序列存在誤碼時(shí)，碼字矩陣RL與矩陣F?(n+m)之間的校驗(yàn)關(guān)系將被破壞。另一方面，對(duì)于矩陣F?(n+m)中碼重較重的列向量而言，由于碼重較大，也更容易受誤碼影響，導(dǎo)致校驗(yàn)關(guān)系失效。

根據(jù)矩陣F?n構(gòu)造原理可知，F(xiàn)?n滿足性質(zhì)

因此，將F?n的后2k列（k=2,…,n）記為Pk，則有

即碼字矩陣RL與矩陣F?(m+n)進(jìn)行校驗(yàn)關(guān)系檢測時(shí)，其后2k個(gè)校驗(yàn)值，等價(jià)于碼字矩陣與矩陣F?k進(jìn)行校驗(yàn)關(guān)系的檢驗(yàn)。因此，可將矩陣F?k中未通過正交檢驗(yàn)的列的數(shù)量與2k的比值，作為碼字矩陣碼長為2k時(shí)的等效極化碼碼率估計(jì)值，記為。根據(jù)文獻(xiàn)[21]中定理1 可知，在無誤碼情況下，當(dāng)碼字矩陣設(shè)定的碼長小于真實(shí)碼長時(shí)，等效極化碼碼率將大于真實(shí)碼率；當(dāng)碼字矩陣設(shè)定的碼長大于或等于真實(shí)碼長時(shí)，其將等于真實(shí)碼率。但又由于誤碼的影響，部分校驗(yàn)關(guān)系將被破壞，使通過檢驗(yàn)的凍結(jié)比特減少，碼率增加。因此在誤碼條件下，當(dāng)碼字矩陣設(shè)定的碼長等于真實(shí)碼長時(shí)，所求得碼率?η為最低碼率，可利用該性質(zhì)判斷極化碼碼長。

2.4 校驗(yàn)關(guān)系檢測

在實(shí)際信息傳輸過程中，碼字會(huì)受到噪聲的影響而產(chǎn)生誤碼，由于硬判決序列只包含序列判決結(jié)果，而軟判決序列不僅能提供0/1 比特?cái)?shù)據(jù)，還能額外提供判決序列的可靠性信息。因此，本文采用軟判決序列進(jìn)行處理，對(duì)編碼參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。為與前文區(qū)分，由軟判決序列構(gòu)成的碼字矩陣記為TL。

假設(shè)信號(hào)采用二進(jìn)制相移鍵控（BPSK,binary phase-shift keying）調(diào)制，在加性白高斯噪聲（AWGN,additive white Gaussian noise）信道條件下，其中ni,j為均值為0、方差為2σ的高斯白噪聲序列，si,j為BPSK 調(diào)制符號(hào)，與原始碼字ci,j之間滿足

引入對(duì)數(shù)似然比（LLR,log-likelihood ratio），定義為[24]

記矩陣F?n中第j列為fj，為了研究碼字與fj的校驗(yàn)關(guān)系，單獨(dú)取碼字矩陣TL第i行ti進(jìn)行研究，此時(shí)對(duì)應(yīng)的碼字為ci，可以將式(23)進(jìn)行推廣得到ci與fj正交的對(duì)數(shù)似然比為

其中，fj=[f1,j,f2,j,…,fN,j]T，ti=[ti,1,ti,2,…,ti,N]，ci=[ci,1,ci,2,…,ci,N]，lj,t為fj第t個(gè)非零值的索引。在計(jì)算LLR 時(shí)，需要多次進(jìn)行較復(fù)雜的雙曲正切及其反函數(shù)的運(yùn)算。為降低運(yùn)算量，引入似然差LD來替代LLR，其定義為[25]

考慮以下兩類假設(shè)檢驗(yàn)。

H1：fj與極化碼碼字構(gòu)成校驗(yàn)關(guān)系。

H0：fj與極化碼碼字不構(gòu)成校驗(yàn)關(guān)系。

設(shè)wt=weight(fj)，即向量fj中含有wt個(gè)“1”。當(dāng)校驗(yàn)關(guān)系成立時(shí)，意味著碼字ci中下標(biāo)為{lj,t}的碼元中應(yīng)有偶數(shù)個(gè)碼元為“1”，共有種可能。因此，當(dāng)H1成立時(shí)，LDj的均值和方差分別為

當(dāng)H0成立時(shí)，由于碼字與向量jf之間不存在校驗(yàn)關(guān)系，LDj的均值和方差分別為

代入式(26)可得

同理可得

式(31)～式(33)只考慮了第i個(gè)碼字的似然差，將碼字矩陣的所有行考慮進(jìn)去，則可得到平均似然差，即

設(shè)兩類假設(shè)的判決門限為Λ，由于在非合作通信系統(tǒng)中無法獲得兩類假設(shè)的先驗(yàn)信息，因此本文采用極小化極大準(zhǔn)則來求解門限Λ。同時(shí)，假定正確判斷的代價(jià)因子取值為0，錯(cuò)誤判斷代價(jià)因子取值為1。根據(jù)極小化極大準(zhǔn)則可知，門限Λ需滿足

解得門限為

根據(jù)設(shè)定的碼長，利用截獲的數(shù)據(jù)構(gòu)造出碼字矩陣，然后依次利用矩陣中列向量與碼字矩陣進(jìn)行校驗(yàn)，計(jì)算出統(tǒng)計(jì)校驗(yàn)量與對(duì)應(yīng)的門限Λ。當(dāng)統(tǒng)計(jì)校驗(yàn)量大于門限時(shí)，則認(rèn)為該位置為凍結(jié)比特，反之則為信息比特。

2.5 識(shí)別算法流程

由前文分析可知，合理設(shè)定接收碼字矩陣的碼長值，構(gòu)建碼字矩陣LR與矩陣，依次對(duì)碼字矩陣LR與矩陣后2k（k=2,3,…）列之間的校驗(yàn)關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)某一個(gè)列向量的校驗(yàn)關(guān)系成立時(shí)，矩陣GN中與其對(duì)應(yīng)的行即凍結(jié)子信道的所在行。然后計(jì)算等效極化碼碼率的估計(jì)值，對(duì)碼長、碼率進(jìn)行估計(jì)，即通過一次計(jì)算完成參數(shù)的識(shí)別，而不需要像現(xiàn)有算法需要對(duì)所有可能碼長進(jìn)行遍歷，有效降低運(yùn)算量，具體如算法1 所示。

算法1基于編碼矩陣結(jié)構(gòu)特征的極化碼參數(shù)識(shí)別算法

3 仿真分析

考慮到5G 通信中增強(qiáng)移動(dòng)寬帶場景下控制信道編碼方案，確定采用的極化碼最大母碼長度在下行控制信道中為512，在上行控制信道中為1 024，最低碼率為1/8。因此，仿真設(shè)定極化碼碼長分別為32、64、128、256、512、1 024，最大碼長為1 024。不失一般性，設(shè)噪聲環(huán)境為AWGN 信道。

3.1 統(tǒng)計(jì)模型驗(yàn)證

本節(jié)主要對(duì)前文推導(dǎo)的似然差統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行驗(yàn)證。前文在推導(dǎo)似然差分布函數(shù)的過程中進(jìn)行了一定假設(shè)，其正確性是算法有效求解判決門限的前提條件。根據(jù)矩陣的構(gòu)造規(guī)律可知，其列向量的碼重取值集合為{ 2k|k∈{1,2,…,nmax}}。仿真設(shè)定了4 種碼重值，分別為32、64、256、1 024。設(shè)定的信噪比范圍為-10～12 dB，步長為0.5 dB。利用均值與方差的定義，仿真求得在不同條件下平均似然差的均值與方差，并和理論推導(dǎo)計(jì)算得到的均值與方差進(jìn)行對(duì)比。

從圖3 中可以看出，在不同假設(shè)條件下，利用定義所求得的均值與方差和理論計(jì)算得到的值幾乎完全重合，證明了前文中對(duì)于似然差分布函數(shù)推導(dǎo)的正確性。其中，圖3(b)中的方差曲線在某信噪比下出現(xiàn)峰值，其原因是當(dāng)H1成立時(shí)，矩陣中任意列向量fj的似然差均值為ζ，其方差為ζ可由數(shù)值計(jì)算求得，其取值范圍為（0,1）。同時(shí)，對(duì)于函數(shù)f(ζ)=，當(dāng)ζ∈(0,1)時(shí)，函數(shù)f(ζ)在ζ=時(shí)取得極大值0.25。圖3(b)的橫坐標(biāo)為信噪比，而隨著信噪比的提高，ζ值逐漸趨近于1，因此方差曲線會(huì)在某一信噪比時(shí)取得峰值。圖4 為wt取不同值時(shí)函數(shù)f(ζ)=在（0,1）的取值。

圖3 似然差統(tǒng)計(jì)特性對(duì)比

圖4 wt 取不同值時(shí)函數(shù) f (ζ) 在（0,1）的取值

3.2 算法有效性驗(yàn)證

本節(jié)主要利用仿真對(duì)命題1 及算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。本節(jié)所采用極化碼碼率為1/2，碼長為64，設(shè)定的最長碼長2nmax為128。信噪比分別取5 dB 和0，設(shè)定碼字個(gè)數(shù)為2 000 個(gè)。在2 種信噪比條件下，記錄不同列的平均似然差值和門限，以及不同碼字矩陣碼長的等效碼率。不同信噪比下的平均似然差與門限及判決結(jié)果分別如圖5 和圖6 所示。

圖5(a)給出了不同列的平均似然差和對(duì)應(yīng)的判決門限。當(dāng)似然差大于門限時(shí)，判定校驗(yàn)關(guān)系成立，該列向量對(duì)應(yīng)的π-1(i)為凍結(jié)比特，否則為信息比特。圖5(b)則給出了似然差判決結(jié)果。從圖5(b)可以看出，當(dāng)信噪比為5 dB 時(shí)，接收信號(hào)的誤碼率較低，校驗(yàn)關(guān)系檢測結(jié)果的序列中存在2 個(gè)完整的周期。同時(shí)，圖5(c)中等效碼率也隨著碼字矩陣碼長的增加而降低，當(dāng)n=5 時(shí)降到最低，與仿真設(shè)定值相對(duì)應(yīng)，且與2.3 節(jié)分析結(jié)果一致。

圖5 N=64，SNR=5 dB 條件下判決結(jié)果

當(dāng)信噪比降到0 時(shí)，接收信號(hào)的質(zhì)量下降，導(dǎo)致了更多的誤判。從圖6(b)中可以看出，判決結(jié)果前后兩段已經(jīng)不同，即由于誤碼的影響，判決結(jié)果出現(xiàn)了錯(cuò)誤，周期性被破壞。從圖6(c)可以看出，當(dāng)碼字矩陣碼長小于真實(shí)碼長時(shí)，碼率大于真實(shí)碼長的碼率；當(dāng)碼字矩陣碼長大于真實(shí)碼長時(shí)，碼率同樣大于真實(shí)碼長的碼率，與2.3節(jié)的分析一致。

圖6 N=64，SNR=0 條件下判決結(jié)果

3.3 容錯(cuò)能力驗(yàn)證

本節(jié)主要考察不同碼字個(gè)數(shù)、碼率對(duì)本文算法識(shí)別性能的影響，并對(duì)算法容錯(cuò)能力進(jìn)行驗(yàn)證。

1) 碼字個(gè)數(shù)對(duì)識(shí)別性能的影響

本節(jié)主要考察累計(jì)碼字?jǐn)?shù)量對(duì)算法的影響。仿真設(shè)定極化碼碼長為64，碼率為1/2，設(shè)收到的碼字?jǐn)?shù)量分別為1 000、2 000、3 000、4 000，信噪比為-2～4 dB，間隔為0.5 dB，蒙特卡羅次數(shù)為500，統(tǒng)計(jì)不同信噪比下算法的識(shí)別率，結(jié)果如圖7 所示。從圖7 中可以看出，隨著碼字?jǐn)?shù)量的增加，算法性能也有所增加，主要是因?yàn)殡S著碼字?jǐn)?shù)量的增加，所求得的平均似然差逐漸逼近理論值，使判決結(jié)果正確率更高，算法性能也隨之提升。

圖7 N=64 時(shí)不同信噪比下算法的識(shí)別率

2) 碼率對(duì)識(shí)別性能的影響

本節(jié)主要考察碼率對(duì)算法性能的影響。仿真設(shè)定極化碼碼長為64，碼率分別設(shè)定為1/4、1/2、5/8、3/4，碼字?jǐn)?shù)量為2 000，信噪比為-2～4 dB，間隔為0.5 dB，蒙特卡羅次數(shù)為500，統(tǒng)計(jì)不同信噪比下算法的識(shí)別率，結(jié)果如圖8 所示。從圖8 可以看出，碼率對(duì)于算法的識(shí)別性能影響不大。通過對(duì)極化碼編碼過程的研究發(fā)現(xiàn)，這主要是因?yàn)殡S著碼率的變化，雖然信息比特?cái)?shù)和凍結(jié)比特?cái)?shù)隨之改變，但高碼率對(duì)應(yīng)的對(duì)偶向量是低碼率對(duì)偶向量的子集，且是低碼率對(duì)偶向量中碼重較重的部分，更易受誤碼影響。也就意味著，隨著碼率的降低，對(duì)偶向量集合元素不斷增加，但增加的對(duì)偶向量碼重較低，受誤碼影響較小，更易識(shí)別。綜上所述，對(duì)識(shí)別性能影響較大的對(duì)偶向量是不同碼率條件下對(duì)偶向量的交集，因此算法識(shí)別性能受碼率的影響也較小。

圖8 M=2 000 時(shí)不同信噪比下算法的識(shí)別率

3.4 性能對(duì)比

本節(jié)主要考察碼長對(duì)于識(shí)別性能的影響，并與現(xiàn)有算法的性能比較。仿真設(shè)定的目標(biāo)碼長為32、64、128、256、512、1 024，設(shè)定極化碼碼率為1/2，碼字?jǐn)?shù)量為2 000，信噪比范圍為-2～8 dB，間隔為1 dB，蒙特卡羅仿真次數(shù)設(shè)定為500 次，統(tǒng)計(jì)不同算法在不同信噪比下的識(shí)別率，結(jié)果如圖9 所示。

從圖9 可以看出，隨著碼長的增加，算法識(shí)別性能逐漸下降。這主要是因?yàn)楫?dāng)碼長增加時(shí)，碼重也隨之增加，同時(shí)需要識(shí)別的信息比特和凍結(jié)比特增加，更易受到誤碼的影響，單個(gè)碼字中出現(xiàn)誤碼的概率也就更高。因此在相同條件下，隨著碼長的增加，識(shí)別難度逐漸增大，誤判概率也就越大。從識(shí)別結(jié)果來看，當(dāng)信噪比為6 dB 時(shí)，對(duì)于碼長為1 024的極化碼，所提算法能夠達(dá)到接近100%的識(shí)別率，說明算法具有較好的誤碼適應(yīng)能力。

圖9 不同算法在不同信噪比下的識(shí)別率

同時(shí)，圖9 給出了與文獻(xiàn)[21]算法的仿真對(duì)比結(jié)果，文獻(xiàn)[21]算法的識(shí)別性能是現(xiàn)有最優(yōu)的。從圖9 中可以看出，本文算法在性能上有明顯的提升，尤其是在信噪比較高時(shí)，本文算法能夠較快地達(dá)到100%的識(shí)別率。文獻(xiàn)[21]同樣采用軟序列作為處理對(duì)象，并采用對(duì)數(shù)似然系數(shù)作為統(tǒng)計(jì)判決量，但在計(jì)算對(duì)數(shù)似然系數(shù)時(shí)進(jìn)行了近似處理，降低了運(yùn)算精度。本文對(duì)于似然差的計(jì)算未做近似處理，且從3.1 節(jié)可以看出，本文推導(dǎo)的統(tǒng)計(jì)特性與實(shí)際情況一致，因此具有更好的識(shí)別性能。同時(shí)，在計(jì)算量方面，本文算法在計(jì)算似然差的過程中，有效利用了極化碼生成矩陣的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，與現(xiàn)有算法相比，不需要進(jìn)行碼長、碼率等參數(shù)的遍歷，有效降低了運(yùn)算量，具體見3.5 節(jié)分析。

3.5 算法計(jì)算復(fù)雜度分析

假設(shè)接收到的軟判決序列長度為L，最大碼長為。首先，需要對(duì)每個(gè)判決值計(jì)算其似然差，在實(shí)際計(jì)算中已有多種高精度近似快速算法，其計(jì)算速度與乘法運(yùn)算處于同一數(shù)量級(jí)[26]。本文仿真采用MATLAB 2016b 軟件，在i7-9750H 處理器平臺(tái)進(jìn)行。在實(shí)際仿真平臺(tái)運(yùn)算中，測得計(jì)算似然差計(jì)算所需時(shí)間約為乘法的5 倍。在對(duì)?nF的每個(gè)列向量進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，需要進(jìn)行元素相乘和向量加法，共需要次乘法運(yùn)算和次加法運(yùn)算。同時(shí)，本文將門限計(jì)算等價(jià)為5 次乘法運(yùn)算。對(duì)于本文算法，當(dāng)真實(shí)碼長為2n時(shí)，只需要計(jì)算個(gè)統(tǒng)計(jì)量，因此本文算法最大需要5L+次乘法運(yùn)算和次加法運(yùn)算。

文獻(xiàn)[21]中所提統(tǒng)計(jì)量需要對(duì)每個(gè)判決值進(jìn)行判斷正負(fù)號(hào)和取模運(yùn)算，各等價(jià)于一次加法運(yùn)算，共需要2L次加法。計(jì)算每個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，需要進(jìn)行元素相乘、計(jì)算向量元素最小值和向量加法運(yùn)算，其中比較大小可等價(jià)為一次加法，共需要L次乘法運(yùn)算和次加法運(yùn)算。對(duì)于不同的碼長2n，均需要計(jì)算2n個(gè)統(tǒng)計(jì)量。同時(shí)，其門限計(jì)算可等價(jià)為10 次乘法運(yùn)算。最后，對(duì)不同碼長的計(jì)算量進(jìn)行求和，最終為乘法運(yùn)算和次加法運(yùn)算。不論碼長大小，所需計(jì)算量為固定值。

綜上，本文算法計(jì)算復(fù)雜度更低，尤其是在碼長較小的情況下。

4 結(jié)束語

本文對(duì)標(biāo)準(zhǔn)非刪余極化碼盲識(shí)別問題進(jìn)行了研究，推導(dǎo)證明了生成矩陣、碼字矩陣分別與克羅內(nèi)克矩陣之間的約束關(guān)系，以及不同參數(shù)對(duì)該校驗(yàn)關(guān)系的影響，并基于以上性質(zhì)提出了一種極化碼盲識(shí)別算法。所提算法選擇軟判決序列進(jìn)行處理，引入平均似然差作為判決統(tǒng)計(jì)量，能夠有效利用軟判決序列中的置信度信息，具有良好的誤碼適應(yīng)能力。同時(shí)，算法有效利用了極化碼生成矩陣的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，采用了一種新的識(shí)別策略，不需要對(duì)所有可能的碼長進(jìn)行遍歷，所需計(jì)算量低于現(xiàn)有軟判決處理算法。仿真結(jié)果表明，所提算法識(shí)別性能優(yōu)于已有算法，工程實(shí)用性更強(qiáng)。后續(xù)研究主要針對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)刪余極化碼，并考慮凍結(jié)比特不為零的場景，以完善極化碼盲識(shí)別問題的研究。