經(jīng)顱磁聲刺激下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展Hindmarsh-Rose神經(jīng)元放電特性分析

趙 松 劉 丹 羅小元 袁 毅

①(河北醫(yī)科大學(xué)第二醫(yī)院醫(yī)學(xué)影像科 石家莊 050000)

②(河北中醫(yī)學(xué)院中西醫(yī)結(jié)合學(xué)院 石家莊 050000)

③(燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院 秦皇島 066004)

1 引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的重要組成部分，是神經(jīng)系統(tǒng)進(jìn)行信息傳遞和處理的核心。神經(jīng)元的放電特性與神經(jīng)系統(tǒng)模式識別及腦信號測量息息相關(guān)。神經(jīng)元的放電特性具有混沌特性，其放電模式會隨著外部輸入電流等分岔參數(shù)的變化而表現(xiàn)為靜止、脈沖放電、簇放電和混沌放電等完全不同的形式。為此，很多無創(chuàng)的外部刺激技術(shù)被應(yīng)用于神經(jīng)系統(tǒng)疾病的治療當(dāng)中，例如，經(jīng)顱電刺激、經(jīng)顱磁刺激、經(jīng)顱超聲刺激以及經(jīng)顱磁聲刺激等[1-3]。

經(jīng)顱磁聲刺激是一種利用靜態(tài)磁場和超聲波在腦組織液中產(chǎn)生刺激電流的無創(chuàng)腦刺激技術(shù)。經(jīng)顱磁聲刺激不僅在空間分辨率和穿透深度方面具有明顯優(yōu)勢，而且可通過提高局部場電位的幅值，進(jìn)而增強(qiáng)集中超聲刺激對神經(jīng)調(diào)節(jié)的作用[4]。實(shí)驗(yàn)表明，經(jīng)顱磁聲刺激可以改變神經(jīng)元的放電節(jié)律和Ca2+離子濃度[5]。因此，經(jīng)顱磁聲刺激成為癲癇、帕金森等神經(jīng)系統(tǒng)疾病的潛在治療手段，并在近幾年得到了快速發(fā)展。經(jīng)顱磁聲刺激由磁場和超聲共同作用，其作用電流受磁感應(yīng)強(qiáng)度、超聲強(qiáng)度、超聲頻率多個磁聲參數(shù)影響，具有復(fù)雜的放電特性[6]。

迄今為止，研究者已經(jīng)提出了多種神經(jīng)元模型，用以描述神經(jīng)元的生物特性及其放電節(jié)律。最經(jīng)典的神經(jīng)元模型為Hodgkin-Huxley(HH)模型，該模型由4個非線性微分方程組成，描述了巨大軸突烏賊神經(jīng)元系統(tǒng)中的離子活動[7]。其他常用的神經(jīng)元模型有H i n d m a r s h-R o s e(H R)模型[8]、FitzHugh-Nagumo(FHN)模型[9]、Ermentrout模型[10]、Morris-Lecar模型[11]和積分-發(fā)射模型[12]等。在現(xiàn)有神經(jīng)元模型中，基于電導(dǎo)的HH神經(jīng)元模型具有較高的生物學(xué)精度，是目前最真實(shí)的神經(jīng)系統(tǒng)模型之一，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要較高的計(jì)算成本。因此，針對神經(jīng)元模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析，需要在生物精度和計(jì)算代價之間進(jìn)行權(quán)衡。為此，隨后的研究者根據(jù)其他生物神經(jīng)元的電活動，提出了一系列維數(shù)較低的簡化模型，如主要用于描述心電學(xué)上的電活動的FHN模型和本文使用的主要用于模擬大腦丘體神經(jīng)元的放電行為的HR模型?；诿}沖形態(tài)的HR模型常應(yīng)用于大腦神經(jīng)元模型的動態(tài)特性分析與同步控制研究。

隨著神經(jīng)元模型研究的深入，很多改進(jìn)的HR神經(jīng)元模型被提出，針對改進(jìn)神經(jīng)元模型動力學(xué)行為的研究就此展開。Moujahid等人[13]考慮到神經(jīng)系統(tǒng)中復(fù)雜的電磁場分布，在經(jīng)典HR神經(jīng)元模型中引入一個表示磁通量的變量，從而建立了一個4變量的HR神經(jīng)元模型?；诖四Ｐ停琇ü等人[14]不僅研究了神經(jīng)元細(xì)胞內(nèi)外電磁感應(yīng)對神經(jīng)元放電節(jié)律的影響，還考慮了外部電磁輻射對神經(jīng)元放電模式的影響。研究發(fā)現(xiàn)，考慮電磁輻射的HR神經(jīng)元模型具有更豐富的分岔參數(shù)，其表現(xiàn)的復(fù)雜放電特性符合神經(jīng)元的生物特性。為進(jìn)一步提高HR神經(jīng)元模型的生物學(xué)特性，文獻(xiàn)[15]提出了一個擴(kuò)展的HR神經(jīng)元模型，該模型也由4個變量組成，引入的變量表示細(xì)胞內(nèi)鈣離子在細(xì)胞質(zhì)與其存儲區(qū)之間的交換。通過動態(tài)特性分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，該擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型的動態(tài)特性與神經(jīng)元的生物學(xué)特性一致，相比于經(jīng)典HR神經(jīng)元模型，更符合真實(shí)神經(jīng)元的電活動特征，更適用于神經(jīng)元的放電特性分析[16,17]。針對此擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型，文獻(xiàn)[18]通過計(jì)算平衡點(diǎn)、李雅普諾夫指數(shù)以及繪制分岔圖討論了直流電刺激下擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型的動態(tài)特性，并研究了直流外部輸入對神經(jīng)元放電特性的影響。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)對其進(jìn)行的動態(tài)特性研究均基于直流電刺激，而經(jīng)顱磁聲刺激是通過無創(chuàng)經(jīng)顱刺激技術(shù)產(chǎn)生交變電流作為神經(jīng)元的外部刺激輸入，刺激電流的變化會使神經(jīng)元表現(xiàn)出完全不同的更復(fù)雜的放電特性。

此外，經(jīng)典神經(jīng)元模型由整數(shù)階微分方程表示。然而，隨著神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展，研究人員在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分更符合大鼠新皮層錐體神經(jīng)元多時間尺度適應(yīng)的放電特性[19]。Anastasio[20]發(fā)現(xiàn)腦干前庭動眼神經(jīng)細(xì)胞的電生理特征更符合分?jǐn)?shù)階動力學(xué)特性。而且，分?jǐn)?shù)階微分方程可以看作理想整數(shù)階微分方程的一般形式，能更準(zhǔn)確地描述某些物理現(xiàn)象。因此，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型在描述神經(jīng)動力學(xué)行為方面比整數(shù)階模型更有優(yōu)勢。文獻(xiàn)[21,22]以具有直流電輸入的分?jǐn)?shù)階經(jīng)典HR神經(jīng)元模型為研究對象，分別將直流外部輸入和分?jǐn)?shù)階次作為分岔參數(shù)，通過定量分析研究了分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型的分岔特性。研究發(fā)現(xiàn)，相比整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型具有更復(fù)雜的動態(tài)特性，具有不同直流外部輸入或分?jǐn)?shù)階次的神經(jīng)元模型，均可能表現(xiàn)出完全不同的放電模式或放電節(jié)律。針對改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型，文獻(xiàn)[23]通過平衡點(diǎn)計(jì)算和李雅普諾夫指數(shù)討論了此改進(jìn)HR神經(jīng)元模型的動態(tài)特性，并設(shè)計(jì)控制算法實(shí)現(xiàn)了兩個耦合神經(jīng)元的同步控制。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)對此改進(jìn)HR神經(jīng)元模型的動態(tài)特性研究均基于直流電刺激。在神經(jīng)系統(tǒng)疾病的治療中，許多非侵入性腦刺激療法，如經(jīng)顱磁聲刺激、經(jīng)顱磁刺激等，均是通過產(chǎn)生交變電流作為神經(jīng)元的外部輸入以改變其放電特性。因此，本文以更符合神經(jīng)元生物特性的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型為研究對象，考慮經(jīng)顱磁聲刺激交變電流的影響，分析其在不同磁聲參數(shù)作用下的放電模式和放電頻率，并將其放電特性與相同參數(shù)下的整數(shù)階神經(jīng)元模型對比，對經(jīng)顱磁聲刺激輸入下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的放電特性展開研究。

2 問題描述

2.1 經(jīng)顱磁聲刺激

經(jīng)顱磁聲刺激利用靜磁場和超聲波的雙重作用形成刺激電流，其原理為神經(jīng)元在經(jīng)顱磁聲刺激的作用下，其組織液中的帶電離子隨著超聲波的傳播而發(fā)生移動，同時受外加靜磁場的影響，帶正負(fù)電荷離子受到洛倫茲力的作用而向相反方向移動，形成腦刺激電流。因此，經(jīng)顱磁聲刺激對神經(jīng)元的影響可用神經(jīng)元系統(tǒng)中與超聲波、靜磁場和組織液特性有關(guān)的調(diào)制正弦交流電流來描述，其表達(dá)式為

其中，σ 為神經(jīng)元組織液的電導(dǎo)率，ρ為組織液的密度，c0為超聲波傳播速度，其典型值分別為σ =0.5 Siemens/m, ρ =1120 kg/m3以及c0=1540 m/s。此外，Bx為靜磁感應(yīng)強(qiáng)度，Γu為超聲場強(qiáng)度，fu為超聲頻率[24-27]。在仿真分析中，將以這些磁聲參數(shù)作為經(jīng)顱磁聲刺激的可調(diào)變量，分析其對神經(jīng)元動態(tài)特性的影響。本文考慮的磁聲參數(shù)取值范圍如表1所示。

2.2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型

經(jīng)典的三變量HR神經(jīng)元模型因其在計(jì)算速度方面的優(yōu)勢被廣泛地應(yīng)用于神經(jīng)元動態(tài)性能的研究。其模型可描述為

隨著神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展，典型的三變量HR模型在描述神經(jīng)元復(fù)雜的非線性和精確的行為模式方面存在局限性。因此，科研人員提出了一種改進(jìn)的擴(kuò)展HR神經(jīng)模型，該模型引入了一個新的變量x4來描述細(xì)胞內(nèi)鈣離子在細(xì)胞質(zhì)和其存儲介質(zhì)之間的緩慢交換。擴(kuò)展HR神經(jīng)元整數(shù)階模型可由式(3)微分方程表示

其中，h, p, f和g為變量x4新引入的模型參數(shù)[13,21]。

隨著神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型被發(fā)現(xiàn)相比于整數(shù)階神經(jīng)元模型更具普遍性和準(zhǔn)確性。為此，下面介紹分?jǐn)?shù)階定義，將擴(kuò)展HR神經(jīng)元改進(jìn)為分?jǐn)?shù)階形式，并對其在經(jīng)顱磁聲刺激作用下的放電模式進(jìn)行研究。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程具有多種形式，其中，Caputo定義相比其他定義具有更明確的物理意義。

定義1[29]函數(shù)x(t)的Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

在相關(guān)文獻(xiàn)中，對HR神經(jīng)元模型放電節(jié)律的研究主要以直流刺激作為外部輸入。但大多數(shù)無創(chuàng)的經(jīng)顱腦刺激方法，如經(jīng)顱磁刺激、經(jīng)顱超聲刺激和經(jīng)顱磁聲刺激均通過產(chǎn)生交變電流改變神經(jīng)元的放電節(jié)律。因此，本文以經(jīng)顱磁聲刺激作用下的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型為研究對象。其系統(tǒng)模型可由式(5)表示，式中經(jīng)顱磁聲刺激產(chǎn)生的外部輸入電流Iext可寫為式(1)形式，其值隨磁感應(yīng)強(qiáng)度、超聲場強(qiáng)度和超聲頻率的變化而變化。本文的仿真實(shí)驗(yàn)選定如下擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型參數(shù)：a=1, b=3,c=1, d=5, e=0.125, f=0.88, g=0.9, r=0.006,S=4, p=1, h=0.0002, x0=-1.56，且模型狀態(tài)變量初始值為[x1(0), x2(0), x3(0), x4(0)]=[0.1, 0.3, 3, -0.3]。

3 神經(jīng)元系統(tǒng)放電特性分析

為了研究經(jīng)顱磁聲刺激作用下的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的放電特性，本文分別以磁感應(yīng)強(qiáng)度、超聲強(qiáng)度和超聲頻率為變量，應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行仿真并對生成的膜電位曲線、x1x2x3相圖和峰峰間距分岔圖進(jìn)行定量分析。

3.1 磁感應(yīng)強(qiáng)度對神經(jīng)元放電特性的影響

為了研究磁感應(yīng)強(qiáng)度對神經(jīng)元放電特性的影響，選定磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx為變量，其變化區(qū)間為0.5 T≤Bx≤3.0 T。超聲強(qiáng)度和超聲頻率選取固定值Γu=0.5 W/cm2和fu=350 kHz。選取分?jǐn)?shù)階次q=0.98，其放電特性如圖1-圖3所示。

圖1(a)-圖1(d)分別為磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx為0.9 T,1.7 T, 2.2 T和2.5 T時分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的膜電位曲線，圖2(a)-圖2(d)為與之相對應(yīng)的不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下的神經(jīng)元模型x1x2x3相圖。如圖1、圖2所示，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，神經(jīng)元呈現(xiàn)多種不同的放電模式。當(dāng)Bx=0.9 T時，神經(jīng)元表現(xiàn)為雙周期的簇放電形式，且簇間間距較大，簇內(nèi)峰峰間距較小(如圖1(a)和圖2(a)所示)。當(dāng)Bx=1.7 T時，神經(jīng)元表現(xiàn)為6周期簇放電形式，且簇內(nèi)峰峰間距逐漸增大(如圖1(b)和圖2(b)所示)。而且，對比Bx=0.9 T與Bx=1.7 T時的神經(jīng)元放電節(jié)律可見，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，其簇間間距減小，放電頻率增大。當(dāng)Bx=2.2 T時，神經(jīng)元表現(xiàn)出混沌放電形式(如圖1(c)和圖2(c)所示)。當(dāng)Bx=2.5 T時，神經(jīng)元呈現(xiàn)高頻率單周期脈沖放電模式(如圖1(d)和圖2(d)所示)。除此之外，由圖1、圖2可見，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，神經(jīng)元的放電頻率整體呈增大趨勢，神經(jīng)元膜電位最大值基本不變，但其最小值逐漸增大，因此，神經(jīng)元膜電位的幅值呈逐漸減小趨勢。

圖1 不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下的神經(jīng)元膜電位x 1時間響應(yīng)曲線

圖3 不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階神經(jīng)元膜電位峰峰間距分岔圖

為進(jìn)一步觀察不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的放電特性，本文針對以磁感應(yīng)強(qiáng)度為分岔參數(shù)的膜電位峰峰間距分叉圖(如圖3(a)所示)進(jìn)行定量分析。在磁感應(yīng)強(qiáng)度變化范圍內(nèi)，當(dāng)0.5 T≤Bx<0.86 T時，神經(jīng)元處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)Bx≥0.86 T時，神經(jīng)元進(jìn)入雙周期簇放電形式，且隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，峰峰間隔逐漸減小，簇間間隔呈先減小后增大趨勢。之后當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度處于0.98 T≤Bx<1.74 T范圍內(nèi)時，神經(jīng)元依然表現(xiàn)為簇放電形式，但其節(jié)律從3周期逐漸增加至6周期，且在每種周期簇放電模式下，簇間間距均表現(xiàn)為隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大先減小再增大。與此同時，神經(jīng)元放電周期的遞增是隨著原有周期模式內(nèi)簇內(nèi)脈沖頻率趨于一致時產(chǎn)生一個新的脈沖而變化的。當(dāng)1.74 T≤Bx<2.18 T時，神經(jīng)元依然表現(xiàn)為周期逐個遞增的簇放電模式。但與之前階段不同的是，其簇間間距隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大而增大。當(dāng)2.18 T≤Bx<2.24 T時，神經(jīng)元處于混沌放電模式。當(dāng)Bx=2.24 T，神經(jīng)元表現(xiàn)為雙周期簇放電，之后當(dāng)Bx≥2.25 T，神經(jīng)元進(jìn)入單周期脈沖放電狀態(tài)，且放電頻率隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加而增大。

此外，為對比磁感應(yīng)強(qiáng)度變化對分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的影響，以磁感應(yīng)強(qiáng)度為變量的整數(shù)階神經(jīng)元膜電位峰峰間距分叉圖如圖3(b)所示?？芍?，分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階神經(jīng)元模型的放電模式與放電節(jié)律變化趨勢基本一致。但隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元比整數(shù)階神經(jīng)元更快進(jìn)入簇放電模式，且在以磁感應(yīng)強(qiáng)度為變量的經(jīng)顱磁聲刺激作用下的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型具有更復(fù)雜的放電特性，其具體表現(xiàn)為更多變的放電模式和更復(fù)雜的分岔特性。

3.2 超聲強(qiáng)度對神經(jīng)元放電特性的影響

選定超聲強(qiáng)度變化范圍為0.5 W/cm2≤Γu≤15 W/cm2，超聲頻率fu=350 kHz，磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx=0.5 T，擴(kuò)展HR神經(jīng)元放電特性如圖4、圖5所示。

圖4(a)-圖4(d)和圖5(a)-圖5(d)分別為超聲強(qiáng)度Γu為1.9 W/cm2, 3.0 W/cm2, 9.5 W/cm2和11.0 W/cm2時的神經(jīng)元膜電位曲線及其x1x2x3相圖。可以看出，不同超聲強(qiáng)度下的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元具有不同的放電模式。當(dāng)Γu=1.9 W/cm2時，神經(jīng)元呈現(xiàn)雙周期的簇放電模式，且簇內(nèi)峰頻率較簇間放電頻率較大(如圖4(a)和圖5(a)所示)。當(dāng)超聲場強(qiáng)度增大至Γu=3.0 W/cm2時，可觀察神經(jīng)元依然呈簇放電形式，但其放電節(jié)律變化為4周期，且簇間放電頻率增大，簇內(nèi)峰峰間隔呈增大趨勢(如圖4(b)和圖5(b)所示)。當(dāng)Γu=9.5 W/cm2時，神經(jīng)元呈現(xiàn)混沌放電模式(如圖4(c)和圖5(c)所示)。而當(dāng)Γu=11.0 W/cm2時，神經(jīng)元進(jìn)入頻率較高的單周期脈沖放電模式。對比圖4(d)和圖5(d)可知，隨著超聲強(qiáng)度增加，神經(jīng)元膜電位最小值逐漸增大，膜電位曲線幅值逐漸減小，神經(jīng)元放電頻率整體呈增大趨勢。

圖4 不同超聲強(qiáng)度下的神經(jīng)元膜電位x 1時間響應(yīng)曲線

通過繪制以超聲場強(qiáng)度為分岔參數(shù)的膜電位峰峰間距分叉圖(如圖6)，可觀察到不同超聲場強(qiáng)度下神經(jīng)元模型的放電節(jié)律，對其進(jìn)行定量分析可知超聲場強(qiáng)度對分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元放電特性的影響。不同超聲場強(qiáng)度下分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元膜電位峰峰間距分叉圖如圖6(a)所示，對其進(jìn)行定量分析可知，當(dāng)Γu≤1.5 W/cm2時，神經(jīng)元呈現(xiàn)靜止?fàn)顟B(tài)，直至進(jìn)入雙周期簇放電模式。當(dāng)1.5 W/cm2<Γu≤8.9 W/cm2時，隨著超聲場強(qiáng)度的增加，神經(jīng)元表現(xiàn)為周期個數(shù)逐漸遞增的簇放電形式，且其放電脈沖的增加均以原有放電模式中簇內(nèi)峰峰間距向較小值趨于一致為前提。因此，在同一種周期性簇放電模式中，神經(jīng)元膜電位曲線的簇內(nèi)峰峰間距呈逐漸減小趨勢。值得注意的是，隨著超聲強(qiáng)度的變化，神經(jīng)元膜電位的簇間頻率的變化趨勢有所不同。當(dāng)1.5 W/cm2<Γu≤6.0 W/cm2時，神經(jīng)元膜電位簇間間距表現(xiàn)為先減小后增大，而當(dāng)6.1 W/cm2<Γu≤8.9 W/cm2時，神經(jīng)元膜電位簇間間距呈增大趨勢。當(dāng)8.9 W/cm2<Γu≤9.9 W/cm2時，神經(jīng)元進(jìn)入混沌放電狀態(tài)，直至Γu≥9.9 W/cm2，神經(jīng)元恢復(fù)至雙周期簇放電模式。當(dāng)超聲場強(qiáng)度繼續(xù)增大至Γu>10.1 W/cm2時，神經(jīng)元進(jìn)入單周期脈沖放電模式，且隨著超聲場強(qiáng)度的增大，其放電頻率逐漸升高。

將不同超聲場強(qiáng)度下的分?jǐn)?shù)階(q=0.98)擴(kuò)展HR神經(jīng)元峰峰間距分叉圖與其整數(shù)階(q=1)分叉圖對比可得，不同超聲場強(qiáng)度經(jīng)顱磁聲刺激下的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元與整數(shù)階神經(jīng)元的放電特性變化趨勢大致相同，但在相同的超聲強(qiáng)度變化范圍內(nèi)，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元呈現(xiàn)出更多種的放電模式和更多變的放電節(jié)律。

3.3 超聲頻率對神經(jīng)元放電特性的影響

針對經(jīng)顱磁聲刺激參數(shù)，選取磁感應(yīng)強(qiáng)度及超聲場強(qiáng)度分別為Bx=0.8 T和Γu=1.0 W/cm2，分?jǐn)?shù)階次q=0.98，當(dāng)超聲頻率變化范圍為200 kHz≤fu≤700 kHz時，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的放電特性如圖7、圖8所示。

當(dāng)超聲頻率fu分別為200 kHz, 325 kHz, 440 kHz和582 kHz時，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元膜電位曲線及x1x2x3相圖如圖7、圖8所示。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度和超聲場強(qiáng)度為選取的固定值，超聲頻率fu=200 kHz時，神經(jīng)元表現(xiàn)為3周期簇放電形式(如圖7(a)和圖8(a)所示)。當(dāng)超聲頻率增大至fu=325 kHz時，神經(jīng)元依然呈現(xiàn)3周期簇放電形式，且其膜電位幅值、簇間間距和簇內(nèi)峰峰間距均變化不大。但是當(dāng)膜電勢處于負(fù)電位值時，其值出現(xiàn)了小幅度高頻率波動(如圖7(b)和圖8(b)所示)。當(dāng)超聲頻率fu=440 kHz，神經(jīng)元放電模式和放電頻率與fu=200 kHz時完全相同(如圖7(c)和圖8(c)所示）。而當(dāng)超聲頻率繼續(xù)增大到fu=582 kHz時，神經(jīng)元發(fā)生放電模式的改變，由3周期簇放電變化為4周期簇放電形式，但其電位幅值和簇間頻率不變。然而，與fu=325 kHz時放電特性相似，當(dāng)fu=582 kHz時，神經(jīng)元膜電勢同樣表現(xiàn)出低電位值高頻率波動現(xiàn)象(如圖7(d)和圖8(d)所示)。

圖5 不同超聲強(qiáng)度下的神經(jīng)元模型變量x1x2x3相圖

圖6 不同超聲強(qiáng)度下分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階神經(jīng)元膜電位峰峰間距分岔圖

圖7 不同超聲頻率下的神經(jīng)元膜電位x 1時間響應(yīng)曲線

圖8 不同超聲頻率下的神經(jīng)元模型變量x1x2x3相圖

圖9 不同超聲頻率下分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階神經(jīng)元膜電位峰峰間距分岔圖

為進(jìn)一步分析超聲頻率對分?jǐn)?shù)階(q=0.98)擴(kuò)展HR神經(jīng)元放電特性的影響，本文對如圖9(a)所示的神經(jīng)元膜電位峰峰間距曲線進(jìn)行分析。當(dāng)超聲頻率為200 kHz ≤fu≤700 kHz時，神經(jīng)元均處于簇放電模式，且其簇間頻率基本不變。當(dāng)超聲頻率為10 kHz的整數(shù)倍時，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元均呈現(xiàn)相同的放電特性。然而，當(dāng)超聲頻率為取值范圍內(nèi)的其他值時，神經(jīng)元膜電位簇內(nèi)脈沖個數(shù)和脈沖頻率均出現(xiàn)小幅度波動。

由整數(shù)階(q=1)擴(kuò)展HR神經(jīng)元膜電位峰峰間距分岔圖(如圖9(b)所示)可知，當(dāng)超聲頻率處于200 kHz ≤fu≤700 kHz時，神經(jīng)元在大多數(shù)超聲頻率取值下的放電模式和放電節(jié)律相同。然而，當(dāng)超聲頻率為100 kHz的整數(shù)倍時，神經(jīng)元的放電節(jié)律會呈現(xiàn)與其他取值不同的形式。例如，當(dāng)fu為300 kHz和700 kHz時，神經(jīng)元呈現(xiàn)6周期放電形式，而當(dāng)fu為400 kHz和500 kHz時，神經(jīng)元放電模式不變，但其放電頻率發(fā)生小幅度改變。而對比分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元膜電位峰峰間距分岔圖可得，超聲頻率對分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型放電特性的影響更明顯，不同超聲頻率下的分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元具有更復(fù)雜的放電特性。

4 結(jié)束語

本文以經(jīng)顱磁聲刺激參數(shù)為變量，討論了不同磁感應(yīng)強(qiáng)度、超聲強(qiáng)度和超聲頻率對分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元放電特性的影響。通過對基于Matlab的仿真結(jié)果進(jìn)行的定量分析可知，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度和超聲場強(qiáng)度都較小時，神經(jīng)元處于靜止?fàn)顟B(tài)，即無放電行為。隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度或超聲場強(qiáng)度的增大，由式(1)可知，經(jīng)顱磁聲刺激產(chǎn)生的交變電流幅值增大，神經(jīng)元先后呈現(xiàn)多周期簇放電、混沌放電和高頻率單周期脈沖放電形式，且伴隨神經(jīng)元膜電位幅值逐漸減小，脈沖放電頻率逐漸增高。當(dāng)神經(jīng)元處于簇放電模式時，隨著刺激交變電流幅值的增大，其簇內(nèi)脈沖個數(shù)逐漸增多，且簇內(nèi)脈沖頻率向較小值趨于一致。當(dāng)然，在相同周期的簇放電模式內(nèi)，當(dāng)刺激電流幅值在較低值范圍內(nèi)增大時，其簇間頻率逐漸增高，而當(dāng)刺激電流幅值在較高值范圍內(nèi)增大時，簇間頻率可能出現(xiàn)減小趨勢。這些結(jié)論均為經(jīng)顱磁聲刺激的臨床和實(shí)驗(yàn)研究提供了選定磁感應(yīng)強(qiáng)度和超聲強(qiáng)度調(diào)整范圍的依據(jù)。同樣由經(jīng)顱磁聲刺激表達(dá)式(1)可知，超聲頻率的變化會引起刺激交變電流頻率的變化。由分析可知，當(dāng)超聲頻率保持為10 kHz的整數(shù)倍時，無論其如何變化，均不會對分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元的放電特性產(chǎn)生影響。否則，不僅會改變神經(jīng)元的放電模式和放電節(jié)律，還會使得神經(jīng)元膜電勢在負(fù)電位值時發(fā)生高頻率波動。因此，若要避免超聲頻率引發(fā)神經(jīng)元放電特性的改變，在選取超聲頻率時，應(yīng)盡可能選擇10 kHz的整數(shù)倍為選定參數(shù)。

此外，本文對比了經(jīng)顱磁聲參數(shù)對分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元放電特性的影響，發(fā)現(xiàn)相比整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階模型在不同磁聲參數(shù)下具有更多變的放電模式和更復(fù)雜的放電特性，這也進(jìn)一步說明分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元模型在描述神經(jīng)元放電特性方面更具普遍性和適應(yīng)性。通過上述分析研究磁聲刺激參數(shù)與具有更真實(shí)生物特性的大腦神經(jīng)元模型放電特性的關(guān)系，有助于進(jìn)一步理解經(jīng)顱磁聲刺激的影響機(jī)制，豐富經(jīng)顱磁聲刺激進(jìn)入臨床實(shí)驗(yàn)的理論依據(jù)。此外，針對具有磁聲刺激輸入的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型的動態(tài)特性分析，可作為計(jì)算神經(jīng)科學(xué)和神經(jīng)形態(tài)學(xué)的準(zhǔn)備工作，為研究在人體大腦中很難識別的神經(jīng)元之間的實(shí)際相互作用提供了模型基礎(chǔ)。