基于NMPTS 模型的太陽黑子預(yù)測(cè)

馬芳 王鴻緒

（1、沈陽工業(yè)大學(xué)，遼寧 沈陽 110870 2、海南熱帶海洋學(xué)院，海南 三亞 572022）

1 概述

太陽活動(dòng)對(duì)人類、其他生物都有重大影響（Zeydin，et al.2019）. Abdel-Rahman & Marzouk.（2018）應(yīng)用的方法是一階自回歸模型AR（1）和改進(jìn)的綜合移動(dòng)平均模型ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Models）。經(jīng)過九十多年的發(fā)展，建立于二世紀(jì)七十年代的ARIMA 模型是應(yīng)用最廣泛的回歸分析方法之一，可以根據(jù)該時(shí)間序列的過去及現(xiàn)在值來預(yù)測(cè)其未來值（Li & Liu.2019）。本文在時(shí)間序列論域J 和差值論域H 上建立分式函數(shù)Ae（m，q，s）和次逆函數(shù)與預(yù)測(cè)函數(shù)Ke（m，q，s），提出并證明收斂定理，從而建立一個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)間序列的新模型（A new model of a prediction for a time series，NMPTS）。

新預(yù)測(cè)模型NMPTS 和智能優(yōu)選不動(dòng)點(diǎn)算法，共同組成NMPTS 的預(yù)測(cè)理論。本文的主要改進(jìn)有四點(diǎn)：a.直接應(yīng)用“時(shí)間序列的數(shù)據(jù)”建立預(yù)測(cè)公式，這是提高模型預(yù)測(cè)精度的主要原因之一；b.應(yīng)用演繹法和極限理論提出新模型NMPTS；c.把基于函數(shù)論和模糊控制算法（FTFCA）叫做NMPTS 的智能優(yōu)選不動(dòng)點(diǎn)的算法；d.提出“時(shí)間序列數(shù)據(jù)的差值”的概念，使得NMPTS 的基于函數(shù)論和模糊控制的建模（The function theory and a fuzzy control based the model，F(xiàn)TFCM）FTFCM1D1Ke不僅能夠預(yù)測(cè)時(shí)間序列J 的訓(xùn)練階段和測(cè)試階段的數(shù)據(jù)，而且能夠預(yù)測(cè)時(shí)間序列J 的未來階段的數(shù)據(jù)。

新模型NMPTS 和智能優(yōu)選不動(dòng)點(diǎn)的算法，共同組成NMPTS 的預(yù)測(cè)理論。并用它對(duì)于太陽黑子（未來階段）201908～201912 月的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。與現(xiàn)有的AR（1）模型和ARIMA 模型比較，預(yù)測(cè)精度有較大提高。

2 NMPTS 的基本理論

其中自變量m∈（0，1]，q∈（0，1]，s∈（0，1]。Ae（m，q，s）叫做時(shí)間序列J 或NMPTS 的第e 個(gè)分?jǐn)?shù)函數(shù)。Ke（m，q，s）叫做時(shí)間序列J 或NMPTS 第e 個(gè)分?jǐn)?shù)函數(shù)Ae（m，q，s）對(duì)應(yīng)的次逆函數(shù)或預(yù)測(cè)函數(shù)、預(yù)測(cè)公式、預(yù)測(cè)模型。

定義2 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镴={J1，J2，…，Jn}。第e-1 個(gè)差值的計(jì)算公式為

得到差值的論域?yàn)镠={H1，H2，…，Hn-1}。

定理2 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镴={J1，J2，…，Jn}，差值論域?yàn)镠={H1，H2，…，Hn-1}。根據(jù)定理1 和定理2 能夠證明：

定理3（NMPTS 的連續(xù)性定理）設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镴={J1，J2，…，Jn}，差值論域?yàn)镠={H1，H2，…，Hn-1}。則

（1）（NMPTS 的分?jǐn)?shù)函數(shù)Ae（m，q，s）的連續(xù)性定理）NMPTS 的分?jǐn)?shù)函數(shù)Ae（m，q，s）是（0，1]（0，1]（0，1]上的連續(xù)函數(shù)；

（2）（NMPTS 的預(yù)測(cè)函數(shù)Ke（m，q，s）的連續(xù)性定理）NMPTS 的預(yù)測(cè)函數(shù)Ke（m，q，s）是（0，1]（0，1]（0，1]上的連續(xù)函數(shù)。

定理4（NMPTS 的收斂定理）設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镴={J1，J2，…，Jn}，差值論域?yàn)镠={H1，H2，…，Hn-1}。對(duì)于任意取定的m∈（0，1]，q∈（0，1]，s∈（0，1]。固定q，當(dāng)m→0，s→0 時(shí)，則：

（1）（NMPTS 的分?jǐn)?shù)函數(shù)Ae（m，q，s）的收斂定理）NMPTS的分?jǐn)?shù)函數(shù)Ae（m，q，s）是收斂的，并且第e 個(gè)NMPTS 的分?jǐn)?shù)函數(shù)Ae（m，q，s）收斂于時(shí)間序列J 中第e 個(gè)元素的表達(dá)式q/Je（e=1，2，…，n）；

（2）（NMPTS 的預(yù)測(cè)函數(shù)Ke（m，q，s）的收斂定理）NMPTS的預(yù)測(cè)函數(shù)Ke（m，q，s）是收斂的，并且第e 個(gè)NMPTS 的預(yù)測(cè)函數(shù)Ke（m，q，s）收斂于時(shí)間序列J 中第e 個(gè)元素Je（e=1，2，…，n）。

定義4 設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镴={J1，J2，…，Jn}，差值論域?yàn)镠={H1，H2，…，Hn-1}。以任意點(diǎn)G（m，q，s）作為計(jì)算的起點(diǎn)，如果應(yīng)用預(yù)測(cè)公式Ke（m，q，s）（e=1，2，…，n）預(yù)測(cè)時(shí)間序列J中的第e（e=1，2，…，n）個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，當(dāng)所有得到的預(yù)測(cè)值Ke（m，q，s）（e=1，2，…，n）經(jīng)過四舍五入的近似值等于J 中的第e（e=1，2，…，n）個(gè)數(shù)據(jù)Je時(shí)，則再多保留小數(shù)點(diǎn)后1～3位，此時(shí)得到的SE 和MSE 分別叫做準(zhǔn)SE 和準(zhǔn)MSE。并稱準(zhǔn)MSE 為不動(dòng)點(diǎn)。此時(shí)得到的模型叫做實(shí)現(xiàn)NMPTS 中的建模，并記這個(gè)預(yù)測(cè)模型為基于函數(shù)論和模糊控制（FTFCM）的建模為FTFCM1D1Ke（m1，q，s1），或者NMPTS 中的建模FTFCM 11DK（em1，q，s1），或者時(shí)間序列J 中的建模FTFCM11DK（em1，q，s1）。

3 NMPTS 的智能優(yōu)選不動(dòng)點(diǎn)的算法

設(shè)時(shí)間序列論域?yàn)镴={J1，J2，…，Jn}，差值論域?yàn)镠={H1，H2，…，Hn-1}。

（1）在時(shí)間序列J 的訓(xùn)練階段，以任意點(diǎn)G（m，q，s）作為計(jì)算的起點(diǎn)，固定q，令m=s 逐漸減少，編程，搜索，用預(yù)測(cè)公式（2）進(jìn)行計(jì)算，…，預(yù)測(cè)函數(shù)值Ke（m，q，s）的收斂定理保證：一定能得到不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)MSE≈0，實(shí)現(xiàn)建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）。

檢驗(yàn)：如果在NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）中把參數(shù)m1和s1繼續(xù)減少。雖然MSE 可能繼續(xù)減少，不是不動(dòng)的，但是每個(gè)預(yù)測(cè)值Ke經(jīng)過四舍五入都能等于觀測(cè)值Je卻是不動(dòng)的。則確認(rèn)FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）是NMPTS 中的訓(xùn)練階段的建模。

（2）在時(shí)間序列J 的測(cè)試階段，應(yīng)用NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）計(jì)算時(shí)間序列J 中的測(cè)試階段的數(shù)據(jù)。用公式（3）進(jìn)行計(jì)算。如果得到不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)MSE≈0，那么NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）為時(shí)間序列的訓(xùn)練階段和測(cè)試階段的建模；否則應(yīng)用預(yù)測(cè)模型Ke（m2，q，s2）（應(yīng)當(dāng)m2

檢驗(yàn)：如果在NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）中把參數(shù)m3和s3繼續(xù)減少，雖然MSE 可能繼續(xù)減少，不是不動(dòng)的，但是每個(gè)預(yù)測(cè)值Ke經(jīng)過四舍五入都能等于觀測(cè)值Je卻是不動(dòng)的。則確認(rèn)FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）是NMPTS 中的測(cè)試階段的建模。并進(jìn)一步確認(rèn)FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）是NMPTS 中的訓(xùn)練階段和測(cè)試階段的建模。它是計(jì)算NMPTS中的未來階段數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)模型。

（3）在時(shí)間序列J 的未來階段，應(yīng)用NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）和NMPTS 的智能搜索優(yōu)選不動(dòng)點(diǎn)算法（雙樣本求法），及預(yù)測(cè)公式（6）以及虛擬預(yù)測(cè)值公式（7）進(jìn)行計(jì)算。

①在預(yù)測(cè)時(shí)間序列Y={Y1，Y2，…，Yn}的未來階段數(shù)據(jù)Hn+1時(shí)，在虛擬預(yù)測(cè)值公式

中，取σ=1，計(jì)算時(shí)間序列J 的未來階段第n+1 個(gè)數(shù)值Jn+1的虛擬預(yù)測(cè)值K*n+1。

②使用測(cè)試階段得到的Kn，要把Kn也看成未來階段的數(shù)據(jù)，并把Kn和Kn+1作為一組未來階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算，求出未來階段預(yù)測(cè)值Kn+1的數(shù)據(jù)。計(jì)算出Kn和Kn+1。

③計(jì)算的過程分別定義為：?jiǎn)?dòng)計(jì)算（微0調(diào)計(jì)算），微調(diào)計(jì)算（微1調(diào)計(jì)算），微微調(diào)計(jì)算（微2調(diào)計(jì)算），……。對(duì)應(yīng)的（微g 調(diào)計(jì)算）（g=1，2，…）的步長(zhǎng)根據(jù)參數(shù)的大小，自行設(shè)計(jì)。例如可分別取1×10-h，為微h調(diào)計(jì)算的步長(zhǎng)。計(jì)算的次數(shù)為第1 次計(jì)算，第2 次計(jì)算，…。計(jì)算預(yù)測(cè)值時(shí)，要用預(yù)測(cè)公式（3）進(jìn)行計(jì)算。類似地可計(jì)算時(shí)間序列Y 的未來階段的第n+2，n+3，…個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。

④在具體計(jì)算時(shí)，微i調(diào)計(jì)算的使用規(guī)則是：

………

第j 輪微i調(diào)計(jì)算。第j+2 次計(jì)算。如果第j+1 次計(jì)算得知MSEj+1比第j 次計(jì)算得到的MSEj小，則繼續(xù)微i調(diào)計(jì)算；如果大，出現(xiàn)拐點(diǎn)，則退回到第j 次計(jì)算，改為微i+1調(diào)計(jì)算，繼續(xù)計(jì)算。

⑤計(jì)算到（第k 輪微m調(diào)計(jì)算）第u 次計(jì)算得到的MSEu，如果與前面的（第p 輪微s調(diào)計(jì)算）第q 次計(jì)算得到的MSEq相等，則得到不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)MSEu=MSEq，此時(shí)對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值Kn+1就是本方法求出的時(shí)間序列J 的未來的第n+1 個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)MSE 是各輪各微各次計(jì)算中最小的。

⑥檢驗(yàn)。如果繼續(xù)進(jìn)行“加輪加微加次”計(jì)算，“不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)MSEn+1”不變，而且“預(yù)測(cè)值Kn+1”也不變。

⑦在預(yù)測(cè)時(shí)間序J 的未來階段數(shù)據(jù)Kn+2時(shí)，要把Kn+1看成未來階段數(shù)據(jù)，并使用已經(jīng)計(jì)算出的Kn+1的數(shù)據(jù)，把Kn+1和Kn+2作為一組未來階段數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算，類似于①～⑥各步驟，得到“不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)MSEn+2”，以及“預(yù)測(cè)值Kn+2”。

類似地可計(jì)算時(shí)間序列J 的未來階段的預(yù)測(cè)值Kn+3，Kn+4，…，各數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)-太陽黑子的預(yù)測(cè)研究

把太陽黑子201601～201712 月的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練階段，201801～201907 月的數(shù)據(jù)作為測(cè)試階段階段，201908～201912 月的數(shù)據(jù)作為未來階段，應(yīng)用NMPTS 的預(yù)測(cè)理論和NMPTS 的智能優(yōu)選不動(dòng)點(diǎn)法進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果與各模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較如表1 所示。

表1 各模型預(yù)測(cè)太陽黑子測(cè)試階段和未來階段的數(shù)據(jù)比較

表2 展示了FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，約比Abdel-Rahman & Marzouk（2018）應(yīng)用AR（1）&ARIMA prediction 的預(yù)測(cè)精度高4 倍以上；比Abdel-Rahman& Marzouk（2018）列舉出NOAA prediction 的預(yù)測(cè)精度高4倍以上。

表2 各模型預(yù)測(cè)太陽黑子的數(shù)據(jù)的比較

5 結(jié)論

提出NFMTS 的預(yù)測(cè)理論。在太陽黑子的數(shù)值試驗(yàn)中，相比Abdel-Rahman & Marzouk（2018）應(yīng)用AR（1）& ARIMA模型以及Abdel-Rahman & Marzouk（2018）提供的NOAA使用的模型預(yù)測(cè)太陽黑子的測(cè)試階段和未來階段201801～201912 的月數(shù)據(jù)，NFMTS 的建模FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的預(yù)測(cè)精度都有較大幅度的改善。表2 顯示：對(duì)于預(yù)測(cè)太陽黑子的未來階段201908～201912 的月數(shù)據(jù)，NMPTS 的建模FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)也有一定的優(yōu)勢(shì)。所以NFMTS 的預(yù)測(cè)理論對(duì)于太陽黑子數(shù)量的時(shí)間序列，補(bǔ)充了一種新的預(yù)測(cè)方法；對(duì)于一般的時(shí)間序列，提供了新的預(yù)測(cè)方法。