基于L1最小范數(shù)法的波束形成方法參數(shù)研究

毛 錦，孫 健，劉 凱，劉 江

（西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048）

波束形成方法是一種基于傳聲器陣列測量技術(shù)的聲學前沿技術(shù)，其利用陣列信號處理方法對噪聲源進行識別、定位，并對空間聲場進行可視化處理[1–2]。Donoho、Candès 及華裔數(shù)學家Tao 等提出并發(fā)展了壓縮感知理論[3–7]，其原理在對稀疏信號進行線性測量時，進行次數(shù)較少的數(shù)據(jù)測量，利用重構(gòu)算法精確恢復原始信號。將壓縮感知重構(gòu)算法應(yīng)用到波束形成領(lǐng)域，可以準確識別聲源的位置，比傳統(tǒng)波束形成技術(shù)更具優(yōu)越性。

一些基于壓縮感知的波束形成方法已經(jīng)被開發(fā)出來，用于聲源識別問題。Zhong等[8]基于采樣多變量矩陣，假設(shè)空間稀疏和非相干信號，然后使用模擬和氣動聲學測量進行檢驗，開發(fā)了一種壓抑感測波束形成方法CSB-II（Compressive sensing beamforming method）。仿真結(jié)果表明，所提出的CSB-II方法對傳感噪聲具有高魯棒性。此外對起落架模型的氣動聲學測試中分辨率和旁瓣抑制方面具有良好性能。Wei等[9]將壓縮感知擴展到陣列波束形成應(yīng)用，假設(shè)空間稀疏且稀疏的聲源，提出了兩種算法CSB-I和CSB-II。使用模擬和氣動聲學實驗來驗證兩種算法。仿真實例表明，CSB-I算法受傳感噪聲影響較大，CSB-II算法對于噪聲測量更具魯棒性。此外，飛機模型的氣動聲學測試證明了CSB-II算法在分辨率和旁瓣抑制方面具有更好的效果。時潔等[10]針對噪聲源近場定位識別問題，利用聲源分布在空間域具有稀疏性的特性，在壓縮感知理論框架下建立了新體系的矢量陣聚焦波束形成方法，用于解決同頻相干聲源的定位識別問題。新方法可在小快拍下準確獲得噪聲源的空間位置，且不損失對噪聲源貢獻相對大小的評價能力。通過詳細的理論推導、仿真分析和試驗驗證，證明了基于壓縮感知的矢量陣聚焦定位新方法本質(zhì)上實現(xiàn)了L1 范數(shù)正則化求解下的波形恢復和空間譜估計，因此具有較高的定位精度、較強的相干聲源分辨能力、準確的聲源貢獻相對大小評價能力以及較高的背景壓制能力，可應(yīng)用于水下復雜噪聲源的定位識別。

利用L1范數(shù)法求解波束形成，既提高了波束形成方法的識別精度，又縮短了算法的運行時間。但由于L1范數(shù)法中約束參數(shù)需要根據(jù)經(jīng)驗取值，選取難度大，且需經(jīng)過很長時間的試值才能取到合適的值。為解決此問題，建立聲源識別模型，對基于L1最小范數(shù)法的波束成形方法進行詳細的理論推導，分析不同聲源距，聲源頻率，信噪比和陣列孔徑對約束參數(shù)的取值影響。

1 理論分析

1.1 延時求和波束形成

延時求和波束形成就是選擇不同的加權(quán)矢量，通過延遲操作處理每個麥克風陣列元件所測量的信號，以補償每個陣列元件的傳播延遲，并且使聲源信號到達麥克風陣列方向相同，產(chǎn)生空間響應(yīng)的最大值，從而實現(xiàn)聲源的定位功能。式（1）為延時求和波束形成的表達式：

其中：B(jω)是波束成形的輸出，ωm是各個麥克風信號的一組加權(quán)系數(shù)，M是麥克風的數(shù)量，k是平面波入射的波數(shù)矢量，rm是第m號傳感器到聲源點的距離。Pm(ω)是第m號傳聲器測量聲壓：

其中：P0是聲源的聲壓，k0是入射方向與聚焦方向不同的平面波波數(shù)矢量。

將式（2）代入式（1），可得：

考慮多聲源和噪聲干擾的情況，式（3）可轉(zhuǎn)化為：

其中：Bi是第i個傳感器的測量值；Wik是第i個傳感器和第k個聲源之間的轉(zhuǎn)向矩陣；Pk是第k個聚焦點的聲源信息，Ni數(shù)據(jù)采集期間的外部干擾和電子噪聲。

簡化方程（4）可得：

其中：W∈?M×N是轉(zhuǎn)向矢量矩陣；P∈N×1是聲源信息向量；N∈M×1是噪聲信息向量。

1.2 壓縮感知重構(gòu)算法

壓縮感知理論打破了奈奎斯特采樣定理，有效地彌補了傳統(tǒng)采樣定理在現(xiàn)實中的應(yīng)用問題，使得信號在采集、傳輸及儲存方面的壓力大大減輕。壓縮感知的原理主要由3 部分組成，首先是將所采集的信號進行稀疏表示，其次是構(gòu)建出合適的感知矩陣，最后是能夠恢復稀疏信號。信號重構(gòu)算法是壓縮感知理論的核心，是指由長度為M的測量向量y重構(gòu)長度為N(M?N)的稀疏信號x的過程。目前求最優(yōu)解的常用算法包含最小L1 范數(shù)法[11–12]、貪婪算法[13–14]和迭代閾值[15–16]等。

信號的重構(gòu)過程最早采用傳統(tǒng)的L2 范數(shù)作為約束，利用此方法雖然能夠得到這個優(yōu)化問題的通解，但這個通解并不是我們所求的稀疏解。為得到優(yōu)化問題的稀疏解，采用最小L0 范數(shù)來代替L2 范數(shù)，如式（6）所示：

其中：x是所求信號；?是感知矩陣；y是測量數(shù)據(jù)；ε是約束參數(shù)；‖·‖i表示i范數(shù)。

利用L0范數(shù)法求解最優(yōu)化問題，具有一定的復雜性和不穩(wěn)定性，為避免L0范數(shù)法求解所帶來的弊端，故采用L1范數(shù)法求解來代替L0范數(shù)法求解，得到另一種最優(yōu)化方法L1 凸優(yōu)化。通過范數(shù)最小化將稀疏信號表示問題定義為一類有約束的優(yōu)化問題，進一步轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解，該方法的原理是在每一次的迭代過程中，尋找到最佳的匹配原子基。如果考慮重構(gòu)誤差，上述問題可以轉(zhuǎn)化為最小L1范數(shù)問題，如式（7）所示：

2 模型建立

建立聲源識別測量模型。如圖1所示，聲源面XOZ中分布了k個相干聲源，測量平面X′O′Z′內(nèi)分布M個傳感器測量陣列。聲源信號是自然的空間稀疏信號，將聲源面劃分為N(M?N)個空間網(wǎng)格，聲源信號與其空間位置一一對應(yīng)，實現(xiàn)聲源信號的稀疏表示。

圖1 聲源識別測量模型

將壓縮感知重構(gòu)算法的思想應(yīng)用于波束形成方法的求解，利用測量平面X′O′Z′中M個測量數(shù)據(jù)重構(gòu)出聲源面XOZ中N個空間網(wǎng)格的聲壓信號。將L1范數(shù)法應(yīng)用到延時求和波束形成方法中求解，即利用式（7）求解式（5），結(jié)果如式（8）：

本文采用CVX工具箱進行求解。

采用L1范數(shù)法求解波束形成方法，不僅能提高波束形成方法的識別精度，也能縮短算法的運行時間。

3 數(shù)值仿真

3.1 算法性能

為驗證基于L1 范數(shù)法的波束形成方法聲源識別性能，利用MATLAB軟件對函數(shù)波束形成方法和基于L1范數(shù)法的波束形成方法進行對比仿真分析。對不同頻率的單極子聲源進行仿真，聲源平面大小為1 m×1 m，將聲源平面離散成點間距為0.012 5 m大小的離散平面，在聲源平面內(nèi)布置單極子聲源，位置坐標為（-0.3，0，1）m，單極子聲源有效聲壓為100 dB。在距聲源平面1 m 處設(shè)置測量平面，測量面上布置7×7的正方形傳聲器陣列，間距為0.1 m。

分別繪制基于L1范數(shù)法的波束形成和文獻[17]提出的函數(shù)波束形成算法在聲源平面上的聲壓強度分布圖。其中函數(shù)波束形成階次取8。聲源成像結(jié)果如圖2所示。

圖2可知兩種聲源識別方法均能夠識別出目標聲源，對比圖2（a）和（b），1 500 Hz時，相對于函數(shù)波束形成，基于L1范數(shù)法的波束形成方法在抑制旁瓣的基礎(chǔ)上縮減了主瓣寬度，提高了聲源識別的精度，說明基于L1 范數(shù)法的波束形成方法在聲源識別過程中具有較高的識別精度和良好的分辨率。

圖2 聲源識仿真圖

分別統(tǒng)計函數(shù)波束形成方法和最小L1 范數(shù)法波束形成在精準定位前提下不同頻率的運行時間，如表1所示。

表1 不同頻率下兩種算法運行時間表單位：t/s

結(jié)果表明最小L1 范數(shù)法比函數(shù)波束形成求解方法可以節(jié)約45%～65%的運行時間。

3.2 信噪比與約束參數(shù)的關(guān)系

研究信噪比與基于L1 范數(shù)法波束形成方法參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)定傳感器陣列為7×7 均勻陣列，信噪比設(shè)定為0 dB、10 dB、20 dB、30 dB和40 dB，聲源距離設(shè)定為1 m，聲頻率設(shè)定為500 Hz、1 000 Hz、1 500 Hz、2 000 Hz、2 500 Hz、3 000 Hz、3 500 Hz時，研究約束參數(shù)ε在不同信噪比和不同聲源頻率取值情況下的變化趨勢。

圖3所示為在精準定位時，不同信噪比下，隨著聲源頻率的增加，約束參數(shù)的變化趨勢。在信噪比相同的情況下，約束參數(shù)隨著頻率的增加而緩慢增加；相同的源頻率下，信噪比越大，約束參數(shù)越小。信噪比在0 dB 到10 dB 之間時，聲源頻率變化導致約束參數(shù)變化范圍較大，信噪比在15 dB到40 dB范圍內(nèi)，聲源頻率變化導致約束參數(shù)變化范圍較小，取值集中，選擇難度不大。

圖3 約束參數(shù)與信噪比關(guān)系圖

3.3 聲源距離與約束參數(shù)的關(guān)系

研究聲源距離與基于L1 范數(shù)法波束形成方法參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)定傳感器陣列為7×7均勻陣列，信噪比設(shè)定為0 dB，聲源距離設(shè)定為1 m，聲源距離設(shè)定為0.2 m 到1 m，間隔為0.1 m，聲源頻率設(shè)置為500 Hz、1 500 Hz、2 500 Hz 和3 500 Hz，研究不同聲源距離和不同聲源頻率下約束參數(shù)ε之間的關(guān)系。

圖4所示為在精準定位時，不同聲源距離下，隨著聲源頻率的增加，約束參數(shù)的變化趨勢。對于相同的聲源頻率，約束參數(shù)隨著聲源距離的增加而減?。粚τ谙嗤穆曉淳嚯x，隨著聲源頻率的增加，約束參數(shù)趨于變小。當聲源距離在0.5 m以內(nèi)時，約束參數(shù)的值波動很大。使用L1 規(guī)范波束形成方法進行聲源識別時，應(yīng)將目標聲源與測量陣列之間的距離設(shè)置為大于0.5 m。聲源頻率變化導致約束參數(shù)的變化范圍較小，取值較為集中。

圖4 聲源距離與約束參數(shù)關(guān)系圖

3.4 陣列孔徑與約束參數(shù)的關(guān)系

研究陣列孔徑與基于L1 范數(shù)法波束形成方法參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)定信噪比為0 dB，聲源距離為1 m，傳聲器陣列陣元分別設(shè)置為8×8、7×7、6×6 和5×5 均勻陣列對目標聲源進行測量，研究約束參數(shù)在不同陣元數(shù)目和不同聲源頻率的變化趨勢。

圖5顯示了在精確定位過程中，不同聲源頻率下，隨著陣列數(shù)目的變化，約束參數(shù)的變化趨勢。對于相同數(shù)量的陣列，約束參數(shù)隨著聲源頻率的增加而緩慢增加，對于相同數(shù)量的聲源頻率，約束參數(shù)趨于隨著陣列數(shù)量的增加而變小。當使用L1 范數(shù)波束成形方法進行聲源識別時，應(yīng)選擇陣元數(shù)目為49的測量陣列，增加陣列的數(shù)量，約束參數(shù)變化趨勢并不明顯，增加成本；減少數(shù)陣列數(shù)量，聲源頻率變化導致約束參數(shù)變化范圍較大，難以取值。

圖5 陣列數(shù)目與約束參數(shù)變化圖

4 結(jié)語

本文建立了壓縮感測波束形成的聲源測量模型，并對該方法進行了詳細的推導，結(jié)合MATLAB數(shù)值仿真，結(jié)果表明：基于L1 最小范數(shù)的波束形成方法具有比傳統(tǒng)波束形成方法更高的識別精度、分辨率和更短的運行時間。使用L1 范數(shù)波束成形方法進行聲源識別時，信噪比選取范圍為10到40 dB，測量距離應(yīng)大于0.5 m，測量陣列選取49陣元陣列，約束參數(shù)的變化范圍小，取值較為容易。為基于L1范數(shù)法波束形成方法的參數(shù)選取提供了參考，減小了參數(shù)選取過程中的困難，為算法研究提供便利。