數(shù)控機床電機-斜齒輪齒條耦合進給系統(tǒng)動態(tài)特性分析

王 昊，龍新華，杜家楠

（上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

數(shù)控機床是制造業(yè)的基石，是表征一個國家制造業(yè)水平的重要標志，而其中進給系統(tǒng)的精度問題更是很大程度上決定了數(shù)控機床的加工精度，一直是學(xué)術(shù)界、工業(yè)界研究探索的重點。依據(jù)進給系統(tǒng)是否運行在有負載的工況，可以將進給系統(tǒng)的運行精度分為靜態(tài)精度和動態(tài)精度兩類。靜態(tài)精度反映了機床進給系統(tǒng)的固有精度屬性，其中包括了進給系統(tǒng)中各零部件的直線度、垂直度等幾何精度，國內(nèi)外眾多學(xué)者通過多剛體動力學(xué)理論，將各進給系統(tǒng)的靜態(tài)精度轉(zhuǎn)換為刀尖點的加工精度，深入分析了靜態(tài)精度對機床加工精度的影響[1]。而動態(tài)精度是指在實際運動工況下，由于機電特性及負載力等因素導(dǎo)致的進給系統(tǒng)的時變運動特性，這往往決定了待加工件的輪廓精度，具有重要的研究價值。

日本東京農(nóng)工大學(xué)的Sato 等[2]建立了交流伺服電機、滾珠絲杠的簡化數(shù)學(xué)模型，并通過部分模型分析法及頻響分析法優(yōu)化了電機的速度環(huán)、位置環(huán)參數(shù)，搭建了具有較好動態(tài)性能的絲杠進給系統(tǒng)。南京工業(yè)大學(xué)的顧華鋒等[3]完成了由同步交流電機驅(qū)動，蝸輪蝸桿執(zhí)行輸出的回轉(zhuǎn)系統(tǒng)建模工作，并從時域和頻率兩個角度分析了系統(tǒng)的動態(tài)性能。天津大學(xué)的羅茹楠等[4]在考慮絲杠柔性的基礎(chǔ)上，建立了剛?cè)狁詈系臋C電模型，分析了絲杠參數(shù)對動態(tài)性能的影響。

縱覽數(shù)控機床動態(tài)精度方面的研究，其機械傳動部分大多為絲杠或蝸輪蝸桿，齒輪齒條鮮有涉及。但是對于重量大、行程長的大型數(shù)控機床如鏡像銑床，具有承載能力強、運行平穩(wěn)的齒輪齒條機構(gòu)往往是較好的選擇，因此很有必要對齒輪齒條進給系統(tǒng)進行深入分析。

本文以斜齒輪齒條進給系統(tǒng)為分析對象，分別建立斜齒輪齒條動力學(xué)模型與交流同步伺服電機動力學(xué)模型，并以上述模型為基礎(chǔ)搭建機電耦合系統(tǒng)，結(jié)合進給實驗，從時域及頻域說明斜齒輪齒條進給系統(tǒng)的動態(tài)特性，研究過程與結(jié)果可為齒輪齒條進給系統(tǒng)的設(shè)計與改進提供參考。

1 斜齒輪齒條傳動建模

1.1 斜齒輪齒條傳動模型

大型鏡像銑床x向進給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。主要由交流同步伺服電機、減速器、負載及斜齒輪齒條構(gòu)成。電機1作為驅(qū)動源，向系統(tǒng)輸入驅(qū)動力矩，減速器2將電機力矩傳至斜齒輪，斜齒輪3因此轉(zhuǎn)動與齒條嚙合，又由于齒條固定，斜齒輪會做平移運動從而帶動負載4移動。

圖1 斜齒輪齒條進給系統(tǒng)

根據(jù)圖1結(jié)構(gòu)與上述傳動過程，采用集中參數(shù)法，可將圖1進給系統(tǒng)簡化成圖2所示的動力學(xué)模型，建立動力學(xué)方程如式(1)所示。

圖2 斜齒輪齒條進給系統(tǒng)動力學(xué)模型

式中：Tex為電機輸入機械系統(tǒng)的驅(qū)動力矩，krx為減速器的扭轉(zhuǎn)剛度，crx為減速器的扭轉(zhuǎn)阻尼，ix為減速器的減速比，fnx為斜齒輪齒條的動態(tài)嚙合力，rgx為斜齒輪的分度圓半徑，αn為法向壓力角，ksx為齒輪與負載之間軸的支撐剛度，csx為支撐阻尼，flx為負載所受阻力，Jmx為電機轉(zhuǎn)動慣量，Jgx為斜齒輪轉(zhuǎn)動慣量，mgx為斜齒輪質(zhì)量，mlx為負載質(zhì)量。

其中，斜齒輪齒條之間的動態(tài)嚙合力fnx是切向嚙合力，其表達式為：

式中：knx為斜齒輪齒條的法向嚙合剛度，cnx為法向嚙合阻尼，β為斜齒輪螺旋角，enx為斜齒輪齒條的嚙合誤差。

1.2 斜齒輪齒條嚙合剛度

斜齒輪由于螺旋角的存在，導(dǎo)致了其嚙合是逐步嚙入、逐步嚙出的時變過程。本文采用勢能法及切片積分法求解斜齒輪系統(tǒng)嚙合剛度。

由于齒條的漸開線半徑無窮大，出于求解方便，將齒條等效化為與其嚙合斜齒輪同等大小的斜齒輪。斜齒輪的彎曲剛度kb、剪切剛度ks、軸向壓縮剛度ka、赫茲接觸剛度kh求解表達式分別如式(3)、式(4)、式(5)、式(6)所示[5]：

齒輪輪體剛度kf亦是嚙合剛度的一部分，根據(jù)Sainsot等的研究[6]，由式(7)求得：

結(jié)合圖3，上述剛度求解式中：α′1即為圖中的α1(z)為每份齒輪上所受嚙合力與齒輪切向之間的夾角，α2為齒輪基圓的半基齒角，v為齒輪的泊松比，E為齒輪的楊氏模量，Lct為嚙合接觸線的長度，Δz=Lct-cosβb/N 為每片輪齒對的嚙合接觸線在齒寬方向的投影長度，βb為基圓螺旋角，N為斜齒輪被切分的份數(shù)，齒輪輪體剛度中的參數(shù)μf、sf、L、M、P、Q可查閱Sainsot 等的研究工作[6]獲得。串聯(lián)式(3)、式(4)、式(5)、式(6)和式(7)的剛度即可求得斜齒輪的嚙合剛度。

圖3 斜齒輪輪齒懸臂梁模型[5]

文中斜齒輪系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 斜齒輪參數(shù)

主動輪的移速為50 mm/s，結(jié)合表1參數(shù)，通過勢能法及切片積分法可求出斜齒輪系統(tǒng)的時變嚙合剛度，如圖4所示。圖中，時間區(qū)間是一個單齒對的嚙合周期，虛線部分是單齒對的嚙合剛度，實線部分是一個嚙合周期內(nèi)斜齒輪的綜合時變嚙合剛度。

圖4 動態(tài)嚙合剛度

為驗證上述嚙合剛度的正確性，將其平均嚙合剛度與機械設(shè)計手冊中的平均剛度[7]相比較，比較結(jié)果如表2所示。

由表2可知，本研究中求得的時變嚙和剛度均值與根據(jù)機械設(shè)計手冊求出的剛度均值的誤差率僅為1.67%，驗證了所求時變嚙合剛度的正確性。

表2 平均嚙合剛度對比表

1.3 斜齒輪齒條嚙合誤差

齒輪系統(tǒng)的嚙合誤差可表示為頻率分別是軸頻、嚙合頻率的正弦函數(shù)的疊加[8]：

式中：Fp為齒距累計總偏差，f′為一齒切向綜合偏差，ωa為軸頻，ωn為嚙合頻率，φa、φn均為初始嚙合相位，在本研究中，由于不存在初始相位差，因此均為零。查閱現(xiàn)代機械設(shè)計手冊[7]，根據(jù)齒輪系統(tǒng)的六級加工精度，可查知Fp=26 μm，f′=10.24 μm。

1.4 機械系統(tǒng)仿真

式(1)中其余各參數(shù)如表3所示，依據(jù)式(1)的斜齒輪齒條進給系統(tǒng)動力學(xué)微分方程，在Simulink 中搭建與之相應(yīng)的求解模型，同時為了加快求解速度，將已求解的時變嚙合剛度以向量值的方式加入到Simulink 中。設(shè)置輸入的電機驅(qū)動力矩為恒定力矩，值為0.64 N?m，負載所受力與驅(qū)動平衡，采用ode45 求解器進行求解，則負載位移誤差如圖5所示。

表3 機械參數(shù)

由圖5可知，當(dāng)機械系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，負載的位移誤差是幅值量為微米的周期函數(shù)，為研究負載位移中的頻率成分，對其做頻譜分析，見圖6。

圖5 機械系統(tǒng)負載位移誤差

圖6中fa是軸頻其值為0.25 Hz，fn是嚙合頻率其值為7.5 Hz，低頻段主要的頻率成分是軸頻和嚙合頻率，這與機械系統(tǒng)中的內(nèi)部激勵即時變嚙合剛度激勵、嚙合誤差激勵中的頻率成分一致，說明了內(nèi)部激勵對機械系統(tǒng)輸出有直接的影響。

圖6 機械系統(tǒng)位移頻譜

2 交流同步伺服電機建模

2.1 電機控制模型

本研究中的電機為交流同步伺服電機，該類電機擁有多變量、非線性、強耦合等特點。為便于模型控制，研究中采用矢量控制技術(shù)，通過控制同步旋轉(zhuǎn)坐標系下的二維電流矢量來控制電機實際的三項定子電流，從而進一步控制電機的轉(zhuǎn)速[9]。整體的控制模型如圖7所示。

圖7 交流同步伺服電機控制模型

上述控制過程中，較為關(guān)鍵的兩部分是升降維變換與PMSM 輸出計算[10]。由三維自然坐標系A(chǔ)B-C 向二維固定坐標系α-β的轉(zhuǎn)換被稱為Clark 變化，其變換矩陣為TClark[9]：

由于電機是旋轉(zhuǎn)的，因此二維固定坐標系需乘上以電機轉(zhuǎn)角為變量的旋轉(zhuǎn)矩陣才能得到電機的實時坐標系即二維旋轉(zhuǎn)坐標系d-q，該旋轉(zhuǎn)矩陣TPark[9]為：

式中：θe為電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角。對上述兩個變換矩陣取逆，即可得到反方向的變換，即二維旋轉(zhuǎn)坐標系d-q通過T-1Park和T-1Clark變換可得到電機的三維自然坐標系A(chǔ)-B-C。

PMSM 計算即永磁同步電機的輸出計算，取電機輸出軸為分離體，做力矩平衡分析有：

式中：J為電機輸出軸轉(zhuǎn)動慣量，ωm為電機輸出軸的轉(zhuǎn)速，Te為電機的電磁轉(zhuǎn)矩，TL為電機輸出軸上的負載力矩，B為電機的旋轉(zhuǎn)阻尼。

為簡化求解模型，基于二維旋轉(zhuǎn)坐標系d-q對電磁轉(zhuǎn)矩進行分析[9]，其求解表達式為：

式中：pn為電機極對數(shù)，id和iq分別為二維旋轉(zhuǎn)坐標系d-q下的正交電流，Ld和Lq分別為對應(yīng)的正交電感，ψf為電機磁鏈。后續(xù)只需將式(12)求得的電磁轉(zhuǎn)矩代入到式(11)中，求解該微分方程即可求得電機的輸出轉(zhuǎn)速。

2.2 電機控制模型仿真

本研究中的電機采用的是松下A6系列電機，其具體參數(shù)如表4所示。

表4 電機參數(shù)

根據(jù)電機參數(shù)及電機控制模型，搭建相應(yīng)的Simulink 仿真模塊。為測試電機性能，設(shè)置工況為初速500 r/min、初負載0.2 N?m，0.4 s 后轉(zhuǎn)速變?yōu)?50.73 r/min，0.6 s 后負載變?yōu)?.64 N?m，采用ode45求解器，電機的輸出轉(zhuǎn)速、輸出轉(zhuǎn)矩如圖8、圖9所示。

由圖8、圖9可以看出，電機在控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)下能達到預(yù)設(shè)目標值即輸出轉(zhuǎn)速750.73 r/min，輸出轉(zhuǎn)矩0.64 N?m。并且，在轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩突變時均能在0.05 s內(nèi)達到預(yù)期設(shè)定值。同時根據(jù)圖8可知，當(dāng)向電機輸入500 r/min的階躍轉(zhuǎn)速信號時，電機轉(zhuǎn)速的最大超調(diào)量Mp為2.6%，峰值時間tp為1.3 ms，上升時間tr與調(diào)整時間ts均約為20 ms，體現(xiàn)了電機控制模型響應(yīng)快速、超調(diào)量小并且穩(wěn)定準確的特點。

圖8 電機輸出轉(zhuǎn)速

圖9 電機輸出轉(zhuǎn)矩

對處于750.73 r/min 的電機轉(zhuǎn)速曲線進行頻譜分析如圖10 所示，其中fdx值為150 Hz 是電機基頻，并且由頻譜圖可知存在倍頻成分。

圖10 電機轉(zhuǎn)速頻譜

3 進給系統(tǒng)機電耦合仿真

3.1 進給系統(tǒng)機電耦合模型

結(jié)合上述齒輪齒條模型與電機動力學(xué)模型，建立機電耦合的斜齒輪齒條進給系統(tǒng)，該系統(tǒng)以電機的輸入轉(zhuǎn)速為輸入量，以負載移速為輸出量，并通過將機械系統(tǒng)中的電機轉(zhuǎn)速與電機所受負載力矩反饋回電機模塊，使其構(gòu)成完整的閉環(huán)控制系統(tǒng)，該進給系統(tǒng)模型如圖11所示。

圖11 進給系統(tǒng)模型

圖11中，Ne為電機的輸入轉(zhuǎn)速，Te為電機輸出轉(zhuǎn)矩，vload為負載移速，ωe為機械系統(tǒng)中的電機軸轉(zhuǎn)速，Tload為機械系統(tǒng)中電機軸所受的負載力矩。

3.2 進給系統(tǒng)機電耦合仿真

在Simulink 中搭建上述進給系統(tǒng)模型，設(shè)定電機的轉(zhuǎn)速為750.73 r/min，且考慮負載所受力為摩擦阻力，其大小為313.6 N，采用ode45 求解器求解模型，則負載位移曲線如圖12所示。由于電機轉(zhuǎn)速為750.73 r/min，可計算出負載的理想位移速度為50 mm/s，因此在運行10 s 后，負載移動了500 mm 即0.5 m，與圖12仿真負載位移一致。

圖12 負載位移

將負載指令位移即通過v=0.05 t 算得的位移與仿真位移做誤差比較，分別考慮齒輪系統(tǒng)中有、無嚙合誤差的情況，位移誤差曲線如圖13所示。

從圖13可以看出，由于機電慣性，負載仿真位移始終小于指令位移,且該位移誤差量較小約為10-5m。此外，當(dāng)系統(tǒng)中考慮嚙合誤差時，系統(tǒng)位移誤差的波動幅值較大，表明了嚙合誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性有較大的影響。對考慮了嚙合誤差的系統(tǒng)負載加速度、位移進行頻譜分析，如圖14、圖15所示。

圖13 負載位移誤差

圖14 負載加速度頻譜

圖15 負載位移頻譜

由圖14 可知，負載加速度頻譜中包含了軸頻、嚙合頻率及電機模型中的基頻、倍頻，同時還存在嚙合頻率與電機基頻、倍頻的調(diào)頻成分，表明了進給系統(tǒng)同時受到電機部分與機械部分的共同影響。此外，根據(jù)圖15 可知，在負載位移中機械系統(tǒng)的軸頻與嚙合頻率幅值較大，對進給系統(tǒng)的動態(tài)特性有重要影響，而電機頻率為150 Hz且其幅值在加速度頻譜中遠小于嚙合頻率幅值，故在負載位移頻譜中電機頻率不明顯，對進給系統(tǒng)的影響不大。

4 進給系統(tǒng)動態(tài)特性實驗

4.1 實驗系統(tǒng)

實驗系統(tǒng)分為三部分，第一部分是實驗的研究對象數(shù)控機床，其中x向是本文所研究的斜齒輪齒條進給系統(tǒng)，第二部分是機床的控制部分-電氣控制柜，第三部分是傳遞運動指令的上位機，整體實驗系統(tǒng)如圖16所示。

根據(jù)實驗系統(tǒng)模型，上位機指令經(jīng)編碼發(fā)送至控制器，控制器根據(jù)進給系統(tǒng)當(dāng)前的運動狀態(tài)進行運動規(guī)劃與控制，最后將驅(qū)動電信號傳輸至進給系統(tǒng)，使其按規(guī)定路徑運動。實驗實物圖如圖17所示。

圖17 實驗系統(tǒng)實物

4.2 實驗結(jié)果分析

為測試分析機床x向斜齒輪齒條進給系統(tǒng)的動態(tài)特性，實驗中向上位機輸入系統(tǒng)負載移速，同時設(shè)置運動終點坐標，使進給系統(tǒng)的負載做勻速直線運動。本實驗中，設(shè)定系統(tǒng)負載移速為50 mm/s，實驗初始坐標為100 mm，終點坐標為400 mm，則負載實驗位移與指令位移對比如圖18所示。

由圖18 可知，由于系統(tǒng)慣性等因素，實驗位移曲線落后于指令位移曲線。將指令位移曲線減去實驗位移曲線，其位移誤差如圖19所示。

圖18 負載實驗與指令位移

圖19 表明，在實驗運行平穩(wěn)階段，負載理想位移與實際位移的誤差圍繞4.04×10-4m 波動，且波動幅值逐漸減小，運行愈發(fā)平穩(wěn)。與仿真對比，仿真與實驗的負載位移均滯后于指令位移，但由于實際制造、安裝等誤差，實驗位移誤差的均值大于仿真位移誤差的均值。對實驗位移濾除直流量后，做頻譜分析，如圖20所示。

圖19 實驗位移誤差

圖20 50 mm/s負載位移頻譜

從圖20 可知，在實驗位移中低頻部分主要有：軸頻fa、嚙合頻率fn、0.5倍嚙合頻率0.5fn、2倍嚙合頻率2fn、電機轉(zhuǎn)頻fm和2倍電機轉(zhuǎn)頻2fm，其中幅值最大的兩個頻率為軸頻與嚙合頻率，這與仿真中軸頻與嚙合頻率起主要影響作用的結(jié)論一致。

考慮到由于建模中靜態(tài)嚙合誤差的軸頻幅值系數(shù)取的是齒距累計最大誤差，根據(jù)本文實驗結(jié)果將其矯正為原先的1/4，使系統(tǒng)中軸頻與嚙合頻率的幅值比與實驗結(jié)果大體一致，如圖21所示。

圖21 矯正后的負載位移頻譜

本文針對負載移速為30 mm/s、40 mm/s、50 mm/s、60 mm/s和70 mm/s共5種工況各做了10組實驗，以30 mm/s 和40 mm/s 為例，分別取其一組實驗結(jié)果進行頻譜分析，如圖22、圖23所示。

圖22 30 mm/s負載位移頻譜

圖23 40 mm/s負載位移頻譜

由圖22、圖23可知，在30 mm/s與40 mm/s工況中軸頻與嚙合頻率仍是最主要的兩個頻率成分，對系統(tǒng)的影響最大，這與前文中仿真和實驗的結(jié)論一致。將30 mm/s、40 mm/s、50 mm/s、60 mm/s 和70 mm/s 一組實驗中幅值最大的兩個頻率列出，如表5所示。

表5 實驗幅值最大的兩個頻率

根據(jù)50 mm/s工況下嚙合頻率的理論值7.5 Hz，軸頻的理論值0.25 Hz，可以算得在30 mm/s、40 mm/s、60 mm/s和70 mm/s工況下幅值最大的兩個頻率均為對應(yīng)工況下的軸頻與嚙合頻率。

5 結(jié)語

本文針對電機-斜齒輪齒條進給系統(tǒng)，考慮時變嚙合剛度和嚙合誤差兩部分內(nèi)部激勵，建立了基于矢量控制的機電耦合動力學(xué)模型，分析了其動態(tài)誤差的影響因素，并結(jié)合實驗進行了驗證，結(jié)論如下：

（1）齒輪齒條嚙合誤差是進給系統(tǒng)的動態(tài)誤差的主要來源，對系統(tǒng)的動態(tài)誤差起決定性作用；

（2）進給系統(tǒng)動態(tài)誤差主要的頻率成分為軸頻、嚙合頻率、電機的基頻、倍頻及相應(yīng)的調(diào)頻頻率，其中軸頻與嚙合頻率占比最大，是最主要的頻率成分。