熱環(huán)境對功能梯度薄壁圓柱殼模態(tài)頻率的影響

呂志鵬,劉文光,劉 超,豐霞瑤,張宇航

(南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌330063)

當高超聲速飛行器飛行馬赫數(shù)大于5 時，極易產(chǎn)生氣動加熱問題[1]。氣動熱環(huán)境下，飛行器結(jié)構(gòu)的材料屬性易受環(huán)境影響，改變結(jié)構(gòu)的強度和振動特性[2]。因此，研究者們試圖尋找一種更優(yōu)質(zhì)的熱防護材料，使其能夠?qū)篃嵴蠁栴}，以實現(xiàn)熱振動穩(wěn)定性。功能梯度材料(Functionally Graded Materials，F(xiàn)GMs)因其良好的散熱性，在高超聲速飛行器的熱防護系統(tǒng)設(shè)計中具有重要應(yīng)用價值[3–5]。

隨著功能梯度材料研究的不斷深入，研究者對功能梯度結(jié)構(gòu)的動力學問題開展了大量研究?；贔lügge殼理論，楊萌等[6]研究了功能梯度圓柱殼的自由振動響應(yīng)。應(yīng)用Sanders-Koiter 理論，Strozzi 等[7]分析了功能梯度圓柱殼的非線性振動響應(yīng)。利用Rayleigh-Ritz法，梁斌等[8]探究了功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率的影響因素?；贚ove 薄殼理論，李文達等[9]研究了旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的自由振動。結(jié)合波動法，衡星等[10]研究了無限長含裂紋功能梯度梁的振動性質(zhì)。由于功能梯度材料具有良好的散熱性能，討論熱環(huán)境對功能梯度結(jié)構(gòu)振動特性的影響引起了研究者的關(guān)注?；诰€性分層模型，劉超等[11]分析了溫度對功能梯度板模態(tài)頻率的影響?；贏iry 應(yīng)力函數(shù)，Duc 等[12]研究了Pasternak 彈性地基上的多孔功能梯度板在熱力耦合作用下的非線性動力響應(yīng)。利用非局部理論，劉旭等[13]研究了任意邊界旋轉(zhuǎn)功能梯度納米環(huán)板的橫向振動特性?？紤]熱力耦合效應(yīng)，劉文光等[14]探究了溫度對FGMs 殼模態(tài)頻率的影響?；? 階剪切變形理論，Majid 等[15]研究了線性溫度場下兩端簡支功能梯度多孔微圓柱殼的自由振動特性，Li 等[16]研究了溫度場下角速度對旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼共振的影響。考慮離心力和科里奧利力，Malekzadeh 等[17]研究了旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的自由振動行為，Shakouri[18]研究了旋轉(zhuǎn)功能梯度錐殼在非線性溫度場下的振動特性，F(xiàn)ang 等[19]研究了旋轉(zhuǎn)功能梯度納米梁在溫度場中的熱屈曲和振動行為。

分析表明，研究者針對熱環(huán)境下功能梯度結(jié)構(gòu)的振動行為開展了大量研究，但鮮有研究考慮多種溫度場，尤其是熱流溫度場對功能梯度結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響。本工作即以金屬陶瓷功能梯度薄壁圓柱殼為對象，探討多種熱環(huán)境對模態(tài)頻率的影響，為高超聲速飛行器熱防護系統(tǒng)功能梯度圓柱殼的動力學設(shè)計提供參考。

1 模型描述

1.1 FGMs圓柱殼模型

如圖1所示，F(xiàn)GMs 圓柱殼的長為L、厚為h、中面半徑為R。在殼中面建立圓柱坐標系，x，θ和z分別表示軸向、環(huán)向和徑向坐標軸，u、v和w分別對應(yīng)為軸向、環(huán)向和徑向的位移。

假設(shè)FGMs的物理屬性沿圓柱殼的厚度方向變化，有效材料屬性表達式為：

式中：Peff是FGMs 的有效材料屬性（包括彈性模量E、泊松比υ、密度ρ、熱膨脹系數(shù)α以及熱傳導系數(shù)κ）；Pe和Pi分別代表外表面和內(nèi)表面的材料屬性；N為內(nèi)表面材料體積分數(shù)指數(shù)，取值范圍為[0，+∞)；V是功能梯度殼的位置函數(shù)，V=z/h+1/2。

熱環(huán)境中，F(xiàn)GMs的屬性P關(guān)于溫度T的非線性函數(shù)為[7]：

式中：溫度T與位置z有關(guān)；P-1、P0、P1、P2和P3是材料的溫敏系數(shù)。

1.2 典型熱環(huán)境模型

考慮均勻溫度場、線性溫度場、非線性溫度場和熱流溫度場4種溫度場。

均勻溫度場的表達式為：

式中：Ti和Te為圓柱殼內(nèi)外表面溫度，ΔT=Te-Ti。

線性溫度場的表達式為：

冪律分布型圓柱殼的非線性溫度場表達式為[20]：

式中：κi和κe為圓柱殼內(nèi)外材料的熱傳導系數(shù)，Cei的表達式為：

高超聲速飛行器速度達5 馬赫以上時，飛行器表面與前方氣體間存在復雜的熱流效應(yīng)，其熱環(huán)境為熱流溫度場。

熱流溫度場的表達式為：

式中：q表示熱流密度（W/m2）。

2 圓柱殼的應(yīng)變能和動能

基于Love 薄殼理論[21]，薄壁圓柱殼的應(yīng)變幾何關(guān)系表達式為：

式中：εx和εθ分別為沿x和θ方向的應(yīng)變，εxθ表示xθ平面內(nèi)的剪應(yīng)變；應(yīng)變分量ε1、ε2和ε3為曲面應(yīng)變；l1、l2和l3為曲面曲率。應(yīng)變和曲率在圓柱坐標系的表達式分別為：

薄壁圓柱殼的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為：

式中：σx和σθ分別代表沿x和θ方向的應(yīng)力，σxθ為xθ平面內(nèi)的剪應(yīng)力；Qij(i，j=1，2，6)是簡化剛度矩陣組成元素，剛度矩陣元素定義為：

式中：E(z，T)是圓柱殼材料的彈性模量，υ(z，T)是圓柱殼材料的泊松比。

圓柱殼的合力和合力矩表達式為：

合力和合力矩陣的本構(gòu)方程為：

式中：Aij、Bij、Dij(i，j=1，2，6)分別表示拉伸、耦合以及彎曲剛度，表達式如下：

圓柱殼應(yīng)變能U的表達式為：

忽略轉(zhuǎn)動慣量，圓柱殼動能K的表達式為：

式中：ρT表示單位長度圓柱殼的質(zhì)量密度。

3 圓柱殼的模態(tài)頻率方程

假設(shè)圓柱殼的振型函數(shù)為：

式中：λ1、λ2和λ3分別表示圓柱殼在x、θ和z3個方向的振幅；f為圓柱殼的模態(tài)頻率；U(x)、V(x)和W(x)為圓柱殼的軸向模態(tài)函數(shù)；n表示圓柱殼的環(huán)向波數(shù)；t表示時間。

用梁的特征函數(shù)描述圓柱殼的軸向運動，其表達式為[22]

式中：ψi(i=1，2，3，4)、?m和ζm均與圓柱殼的邊界條件有關(guān)（本文考慮簡支邊界條件），m為圓柱殼的軸向振動波數(shù)。

圓柱殼的軸向模態(tài)函數(shù)表達式為：

由拉格朗日函數(shù)得到圓柱殼的能量函數(shù)П為：

式中：Kmax和Umax分別為圓柱殼的最大動能和最大應(yīng)變能。

利用Rayleigh-Ritz法，求能量函數(shù)П關(guān)于λ1、λ2和λ3的極值，推出圓柱殼的模態(tài)頻率方程：

式中：Cij表示矩陣元素。

令|Cij|=0，得到圓柱殼的模態(tài)頻率方程：

式中：gi(i=1，…，4)為常系數(shù)。

4 算例分析與討論

4.1 模態(tài)頻率方程的驗證

假設(shè)圓柱殼由金屬鎳制成。室溫下，鎳的彈性模量E=205.098 GPa、泊松比υ=0.3、密度ρ=8 900 kg/m3。取圓柱殼的幾何尺寸：L×h×R=20 m×0.01 m×1 m。表1結(jié)果表明，本文計算模態(tài)頻率與文獻結(jié)果、仿真結(jié)果十分吻合。

表1 金屬圓柱殼模態(tài)頻率分析/Hz

假設(shè)圓柱殼由鎳、鋼制成。內(nèi)表面（z=-h/2）是鎳，外表面（z=h/2）是鋼。室溫下，鋼的彈性模量E=207.788 GPa、泊松比υ=0.31、密度ρ=816 6 kg/m3。鎳的體積分數(shù)指數(shù)N=1。圓柱殼幾何尺寸為：L×h×R=20 m×0.05 m×1 m。表2研究了鎳鋼FGMs圓柱殼的模態(tài)頻率。結(jié)果表明，本文計算結(jié)果與文獻結(jié)果、仿真結(jié)果吻合良好，即應(yīng)用該模型分析FGMs 圓柱殼模態(tài)頻率是有效的。

表2 鎳鋼功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率分析/Hz

4.2 熱環(huán)境對模態(tài)頻率的影響

假設(shè)圓柱殼的內(nèi)表面（z=-h/2）和外表面（z=h/2）分別是純金屬Ti-6Al-4V和純陶瓷ZrO2，兩種材料的溫敏系數(shù)如表3所示。從表3可知，Ti-6Al-4V和ZrO2的密度ρ和熱傳導系數(shù)κ與溫度無關(guān)，而彈性模量E、泊松比υ和熱膨脹系數(shù)α會隨溫度的改變而改變。

表3 材料ZrO2和Ti-6Al-4V溫敏特性系數(shù)[24]

取FGMs 圓柱殼的幾何尺寸為：L×h×R=5 m×0.01 m×1 m，金屬Ti-6Al-4V的體積分數(shù)指數(shù)N=1，初始溫度Ti=300 K。圖2研究了4種溫度場下FGMs圓柱殼沿厚度方向的溫度分布。

圖2 熱環(huán)境下FGMs圓柱殼沿厚度方向的溫度分布

圖3研究了軸向波數(shù)m=1 時，不同熱環(huán)境下溫度對環(huán)向振動模態(tài)頻率的影響。結(jié)果表明，均勻溫度場下，F(xiàn)GMs 圓柱殼環(huán)向振動模態(tài)頻率隨著溫度升高不斷減小，且下降速率逐漸增大；線性溫度場下，環(huán)向振動模態(tài)頻率隨溫度梯度均勻增加時近似線性減小；非線性溫度場下，雖然溫度場不再線性變化，但是環(huán)向振動模態(tài)頻率隨著溫度梯度增加而近似線性降低，且下降速率十分平緩；熱流溫度場下，圓柱殼的環(huán)向振動模態(tài)頻率隨熱流密度q的增大幾乎不變。究其原因，F(xiàn)GMs 薄壁圓柱殼的彈性模量和泊松比兩者均受溫度影響，進一步影響圓柱殼的模態(tài)頻率。因此，在不同的熱環(huán)境下，彈性模量和泊松比對模態(tài)頻率的貢獻不同，導致出現(xiàn)圖3所示規(guī)律。不同熱環(huán)境下，環(huán)向波數(shù)n=1 時的模態(tài)頻率最大。當溫度相同時，模態(tài)頻率均隨n增大先減小后增大，且在n=3 時模態(tài)頻率最小。即熱環(huán)境只影響圓柱殼模態(tài)頻率的大小，而不影響其隨環(huán)向波數(shù)的變化趨勢。

圖3 不同溫度場下的環(huán)向振動模態(tài)頻率

圖4研究了環(huán)向波數(shù)n=1時，不同熱環(huán)境下溫度對軸向振動模態(tài)頻率的影響。結(jié)果表明，不同溫度場下，F(xiàn)GMs 圓柱殼軸向振動模態(tài)頻率隨溫度的變化規(guī)律，與環(huán)向振動模態(tài)頻率隨溫度的變化規(guī)律相同。同樣，不同熱環(huán)境下，由于FGMs圓柱殼彈性模量和泊松比的綜合作用，導致出現(xiàn)圖4所示的變化規(guī)律。不同熱環(huán)境下，軸向波數(shù)m=1 時的模態(tài)頻率最小。溫度相同時，各種熱環(huán)境下的圓柱殼模態(tài)頻率均隨著軸向波數(shù)m的增大依次增大，但模態(tài)頻率增幅逐漸減小。即溫度只影響模態(tài)頻率的大小而不影響其隨軸向波數(shù)的變化趨勢。m=5時的軸向模態(tài)頻率為m=1時的7倍，即軸向波數(shù)越大，共振越難被激發(fā)。當模態(tài)頻率為700 Hz左右時，軸向共振才出現(xiàn)5 階彎曲振型，而當模態(tài)頻率達到60 Hz 左右時，環(huán)向已出現(xiàn)5階振型。計算結(jié)果說明此時尺寸的圓柱殼，其軸向共振比環(huán)向彎曲共振更難被激發(fā)。而當溫度場溫度升高至2 100 K時，各軸向波數(shù)下模態(tài)頻率均在100 Hz附近，軸向振動容易被激發(fā)而引起共振，系統(tǒng)安全系數(shù)降低，在熱防護系統(tǒng)中需格外重視。

圖4 不同溫度場下的軸向振動模態(tài)頻率

5 結(jié)語

結(jié)合能量原理和Rayleigh-Ritz法推導了功能梯度圓柱殼的模態(tài)頻率方程。對比研究了金屬圓柱殼和功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率計算結(jié)果，分析了典型溫度場對功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率的影響。主要結(jié)論如下：

（1）隨著溫度的升高，功能梯度薄壁圓柱殼的軸向振動和環(huán)向振動模態(tài)頻率均呈下降趨勢。受均勻溫度場作用時模態(tài)頻率下降速率最快，其次是線性溫度場和非線性溫度場，而在熱流溫度場作用下幾乎無變化。

（2）熱環(huán)境變化只影響模態(tài)頻率的大小，不影響其隨波數(shù)的變化趨勢。不同熱環(huán)境下，軸向振動模態(tài)頻率均比環(huán)向振動模態(tài)頻率高很多，說明圓柱殼長徑比在一定范圍內(nèi)時，其軸向共振比環(huán)向共振更難被激發(fā)。即要使軸向振動達到共振，需要更高的外界振動激勵。