含間隙多約束碰撞振動系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

王 超，丁旺才，李得洋，丁 杰

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學 材料科學與工程學院，蘭州 730070）

含間隙的碰撞振動系統(tǒng)[1－4]，廣泛存在于車輛、機械等各類工程領域中，由于間隙和各類約束引起了剛度突變，導致系統(tǒng)向量場Jacobi矩陣不連續(xù)，從而使系統(tǒng)表現(xiàn)出復雜且豐富的非光滑動力學行為。因此，深入研究該類系統(tǒng)的運動機理，分析參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，掌握系統(tǒng)的全局性能等具有重要意義。

Lyapunov指數(shù)譜是一種判斷系統(tǒng)相鄰軌道間平均發(fā)散或收斂程度的度量工具，用于判定動力系統(tǒng)周期運動穩(wěn)定性以及混沌運動特性。目前針對Lyapunov指數(shù)譜的研究大多基于光滑動力系統(tǒng)[5－6]，但由于非光滑動力系統(tǒng)Jacobi 矩陣的不連續(xù)性，針對光滑動力系統(tǒng)的計算方法無法適用，因此近年來學者們針對特定的非光滑動力系統(tǒng)也提出了相應的計算方法。文獻[7]針對碰撞振動系統(tǒng)，在連續(xù)碰撞間引入超越映射計算得到了該系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜。文獻[8]對單自由度碰撞系統(tǒng)引入局部映射，利用Gram-Schmidt 正交化和范式歸一化計算得到了該系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜。文獻[9]介紹了n維碰振系統(tǒng)Floquet乘子與Lyapunov指數(shù)譜的解析關系，并提出了相應的判據(jù)。文獻[10]針對一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)，結合文獻[5－6]的方法討論了系統(tǒng)混沌吸引子與周期吸引子的Lyapunov 指數(shù)譜收斂序列。文獻[11]研究了一類兩自由度含間隙和預緊彈簧的力學模型，結合Lyapunov指數(shù)譜分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性，并用測試函數(shù)預測了系統(tǒng)發(fā)生擦邊現(xiàn)象時的參數(shù)范圍。文獻[12]將含間隙碰振系統(tǒng)在碰撞面處轉化為離散系統(tǒng)，構建了Poincaré 映射并通過數(shù)值仿真對照，驗證了其方法的有效性和正確性。文獻[13]研究了一種求解大型Lyapunov 矩陣，采用并行預處理的變形共軛梯度法，通過仿真比較，確認了預處理算法顯著優(yōu)于未預處理算法。文獻[14]針對兩自由度含彈性約束系統(tǒng)，結合Lyapunov 指數(shù)譜圖、單參分岔圖和相圖分析了系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性及存在的各類分岔行為。文獻[15]針對單自由度碰振系統(tǒng)，在多參數(shù)協(xié)同仿真方法的基礎上，結合胞映射法研究了系統(tǒng)在間隙(b1,b2)參數(shù)平面內各類周期運動分布及共存的特點，總結了相鄰周期運動之間的轉遷規(guī)律。

已有研究針對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析成果，大多基于同種約束碰撞振動系統(tǒng)。本文以鐵路車輛轉向架為工程背景，通過對輪對軸承與軸承止擋以及彈性約束的局部簡化，得到單自由度含不同約束碰撞振動系統(tǒng)模型，在系統(tǒng)碰撞面處離散化處理，并利用Gram-Schmidt正交化和范式歸一化計算得到該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜。通過數(shù)值模擬分析，結合系統(tǒng)相圖、單參分岔圖及Lyapunov 指數(shù)譜對照分析，討論系統(tǒng)在單個參數(shù)變化下相應的Lyapunov 指數(shù)變化情況，通過對本文所示動力系統(tǒng)的力學性能分析，可為后期機械系統(tǒng)的設計階段把握其振動特性，為全局動力學特性、混沌控制以及魯棒性等方面的研究提供重要的理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)的力學模型

考慮圖1所示的單自由度含剛性和彈性兩種不同類型約束碰撞振動系統(tǒng)。質量為M的振子由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線性阻尼器相連接，作用在振子M的上的水平力為簡諧激振力P1sin(ΩΤ+τ)，使振子沿水平方向往返運動。振子M的位移為X，振子左側固定一個剛性約束，剛性約束與振子的間隙為B1；振子右側固定一個剛度為K2的彈性約束，彈性約束面與振子的間隙為B2。由于間隙的存在和碰撞的產(chǎn)生，系統(tǒng)會表現(xiàn)出復雜的非光滑動力學行為。

圖1 單自由度含不同類型約束的碰撞振動系統(tǒng)

當振子位移-B1

當振子位移X≥B2時，將與右側彈性約束接觸，系統(tǒng)的運動微分方程為：

當振子位移為X=-B1時，將于左側剛性約束接觸，此時滿足：

是的，這是杜朗的主意，當羅恬知道趙炎想把家產(chǎn)分給他外面的女人的時候，杜朗幫她精心策劃了一場騙局。他假意和陳洋聯(lián)手謀奪羅恬的財產(chǎn)，其實是要陳洋做替罪羊。一個四處殺人的鬼，是無法結案的，他需要一個活生生的人，讓警察捉拿歸案。

經(jīng)無量綱化后，系統(tǒng)無量綱微分方程的通解為：

2 Poincaré 映射及Lyapunov 指數(shù)譜計算

通過建立Poincaré映射研究系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性，Σn，Σp+和Σq+分別代表定相位面、左側剛性碰撞截面和右側彈性碰撞截面：

定相位面用于統(tǒng)計系統(tǒng)周期運動的周期數(shù)；碰撞截面用于統(tǒng)計振子與左右兩側約束面的碰撞次數(shù)，選擇截面Σp+建立系統(tǒng)的Poincaré 映射。通過Poincaré 映射的Jacobi 矩陣在不動點的特征值研究系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性及分岔類型。

系統(tǒng)Poincaré 映射的示意圖如圖2所示。根據(jù)接觸過程可以將Poincaré映射分為四個階段：P1：物塊與右側彈性約束面脫離后瞬間到與左側剛性約束面接觸前瞬間的階段；P2：物塊與左側剛性約束面接觸后到脫離前的階段；P3：物塊與左側剛性約束面脫離后瞬間到與右側彈性約束面接觸前瞬間的階段；P4：物塊與右側彈性約束面接觸后瞬間到脫離前瞬間的階段。以上4個映射階段可以表示如下(式中正負號分別代表碰撞后與碰撞前)：

圖2 系統(tǒng)Poincaré映射示意圖

令DP1、DP2、DP3、DP4分別代表P1、P2、P3、P4映射的Jacobi矩陣。對于振子與左側剛性約束碰撞的階段，由于瞬時碰撞不改變相位，根據(jù)碰撞原理可以得到：

對于非瞬時碰撞的階段，Jacobi 矩陣DP1、DP3和DP4可按下式計算：

式中：fi表示每個映射的第i個分量；Xj表示每個階段的初始狀態(tài)0和τ0。系統(tǒng)每個階段的Poincaré 映射表示如下：

對式(9)和式(10)，利用復合函數(shù)求導法則，并運用隱函數(shù)定理，可以求得矩陣DPl(l=1,3,4)中的各元素：

系統(tǒng)n-1-1(即t1+t2+t3=2nπ/ω時)周期運動的映射及其對應的Jacobi矩陣可表示為：

Lyapunov 指數(shù)譜作為判定動力系統(tǒng)穩(wěn)定性和混沌特性的工具，是根據(jù)系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)是否大于零來判定系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期運動狀態(tài)或混沌運動狀態(tài)。計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜時，首先選擇2 個線性無關的初始擾動(δx(0)1，δx(0)2)，定義(μ(0)1，μ(20))=(δx(10)/||δx(10)||，δx(20)/||δx(20)||)，以(μ(10)，μ(20)，)為初始向量，根據(jù)式(9)所求的線性化矩陣DP，按δx( k)=DP(x(k-1))?δx(k-1)進行迭代一次，可得到一個二維向量(δx(1)1，δx(1)2)。進行下一次迭代前，對此向量采用Gram-Schmidt 正交化和范式歸一化處理，將得到的解向量(μ(1)1，μ(1)2)作為初始向量并進行下一次迭代。迭代次數(shù)為k時，Gram-Schmidt 正交化和范式歸一化處理方法為：

當?shù)藭rK足夠大時，便可得到碰撞振動系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜為：

3 系統(tǒng)周期運動仿真與分析

考慮系統(tǒng)參數(shù)(1)：R=0.8、ω=0.5、ζ=0.1、b2=1.396、μk=10，分析圖1所示碰撞振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，文中用n-p-q表示系統(tǒng)周期運動，n表示系統(tǒng)力周期數(shù)，p表示振子與左側剛性約束面碰撞次數(shù)，q表示振子與右側彈性約束面碰撞次數(shù)。當系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)小于0 時，表明相鄰軌道間的距離逐漸變小，最終演化為一個點或者一個極限環(huán)，此時系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期運動狀態(tài)。如b1=0.534 6 時，系統(tǒng)處于2-7-2穩(wěn)定周期運動，周期運動相圖如圖3(a)所示、周期吸引子分布圖如圖3(b)所示。為得到Lyapunov指數(shù)譜序列，本文采用10 000次迭代，并將前7 000次迭代略去，得到圖3(c)所示Lyapunov指數(shù)譜序列圖，從圖中可得出，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期運動狀態(tài)時，它的兩個Lyapunov指數(shù)均為負值。

圖3 2-7-2穩(wěn)定周期運動

當系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)大于0，表明從相鄰點出發(fā)的軌道迅速分離，此時系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。如b1=0.48時，此時系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)，系統(tǒng)混沌運動相圖如圖4(a)所示、混沌吸引子分布圖如圖4(b)所示。采用相同迭代方法得到圖4(c)所示Lyapunov 指數(shù)譜序列圖，結合圖4(c)可知當系統(tǒng)處于混沌運動時，系統(tǒng)兩個Lyapunov 指數(shù)有一個大于0。

圖4 混沌運動

為研究一定范圍內系統(tǒng)穩(wěn)定性，選擇系統(tǒng)參數(shù)(1)不變，取b1作為分岔參數(shù)，取值范圍b1∈[ 0.407 8,0.5712 ]。系統(tǒng)左側剛性碰撞面Σp+、定相位面Σn的單參分岔圖以及Lyapunov 指數(shù)譜圖如圖5所示，圖中GR表示擦邊分岔。

由圖5可知，在參數(shù)b1由大減小的過程中，系統(tǒng)由1-3-1 周期運動，在b1=0.555 6 處經(jīng)擦邊分岔轉遷為2-7-2 周期運動，轉遷過程中周期運動相圖分別為圖6(a)至圖6(c)，發(fā)生擦邊分岔時系統(tǒng)對應的Lyapunov 指數(shù)會發(fā)生跳躍現(xiàn)象；當b1進一步減小，經(jīng)一系列倍周期分岔進入混沌，此時系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)大于0，混沌運動相圖如圖6(d)所示；在b1=0.510 4 處系統(tǒng)由混沌運動退化為3-11-3周期運動；隨著b1的進一步減小，在b1=0.500 1處發(fā)生鞍結分岔，系統(tǒng)由3-11-3穩(wěn)定周期運動直接進入混沌，發(fā)生鞍結分岔時系統(tǒng)的雅可比矩陣特征值分別為：λ1=1.000 565 81、λ1=0.568 412 59。之后系統(tǒng)經(jīng)歷一個相同序列，由混沌經(jīng)一系列逆倍周期分岔轉遷為穩(wěn)定周期運動，再由穩(wěn)定周期運動經(jīng)鞍結分岔進入混沌,系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)一系列逆倍周期分岔分別轉遷為2-8-2周期運動、1-4-1周期運動，周期運動相圖分別為圖6(e)至圖6(f)，當系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔(逆倍周期分岔)時，系統(tǒng)對應的最大Lyapunov指數(shù)為0。參數(shù)b1由小增大的轉遷方式與b1減小時的轉遷方式相圖，該參數(shù)條件下不存在相鄰周期運動間的共存現(xiàn)象，故不再詳細說明。

圖5 系統(tǒng)單參分岔圖及Lyapunov指數(shù)譜

圖6 系統(tǒng)周期運動相圖

選取系統(tǒng)參數(shù)(2)：R=0.8、ω=0.5ζ=0.1、b1=0.328 2 、μk=10 ，取b2作為分岔參數(shù)，在b2∈[ 1.55,1.632 ]范圍內雙向變化，系統(tǒng)剛性碰撞面分岔圖及最大Lyapunov 指數(shù)圖如圖7所示。圖中SN表示鞍結分岔，BC表示邊界激變，紅色曲線表示b2由大減小時Lyapunov 最大指數(shù)值，藍色表示b2由小增大時最大Lyapunov指數(shù)值。

圖7 系統(tǒng)單參分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)譜

在相鄰周期運動相互轉遷時，由于發(fā)生不同類型分岔的參數(shù)點不在同一位置，導致轉遷過程不可逆，這樣在相鄰周期運動轉遷過程中就會形成由這兩個相鄰周期運動穩(wěn)定共存的多態(tài)共存區(qū)。當b2由大減小時，系統(tǒng)由1-3-0 周期運動在b2=1.608 3處經(jīng)鞍結分岔進入混沌，此時系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)值等于0，同時系統(tǒng)映射的Jacobi矩陣特征值λ1=1.000 035 81、λ2=0.154 598 25，之后隨著b2減小系統(tǒng)由混沌進入2-7-1 周期運動。當b2由小增大時，系統(tǒng)由2-7-1 周期運動進入混沌，在b2=1.6135 處經(jīng)邊界激變由混沌運動轉遷為1-3-0 周期運動，此時系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)值等于0。由于發(fā)生鞍結分岔和邊界激變的參數(shù)點不在同一位置，這樣在b2∈[1.608 3,1.6135]范圍內就會由混沌運動與1-3-0周期運動穩(wěn)定共存。結合Lyapunov指數(shù)譜圖加以驗證，在b2∈[1.608 3,1.6135]范圍內減小時系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)始終大于0，表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)；在該范圍內增大時系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)始終小于0，表面系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期運動狀態(tài)。同時結合系統(tǒng)運動相圖(圖8)也可得出，在同一參數(shù)條件下，系統(tǒng)同時存在穩(wěn)定周期運動(紅色曲線)和混沌運動(藍色曲線)。

圖8 周期共存相圖

4 結語

本文以單自由度含不同約束碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，通過建立系統(tǒng)的Poincaré映射，將系統(tǒng)轉換為離散系統(tǒng)，并利用Gram-Schmidt正交化和范式歸一化方法，得到了系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜，結論如下：

(1)利用Lyapunov 指數(shù)譜可精確判別系統(tǒng)的穩(wěn)定周期運動與混沌運動，還可確定發(fā)生不同類型分岔時的參數(shù)位置。

(2)由于擦邊分岔、鞍結分岔和邊界激變的出現(xiàn)，導致相鄰周期運動相互轉遷過程不可逆，從而形成多態(tài)共存區(qū)，利用Lyapunov指數(shù)譜可甄別多態(tài)共存區(qū)中的混沌運動與周期運動。

(3)在間隙b1和b2變化的過程中，兩側間隙分別增大時系統(tǒng)都會由穩(wěn)定周期運動經(jīng)歷一系列倍周期分岔進入混沌；當b1減小時系統(tǒng)會由穩(wěn)定周期運動經(jīng)一系列不穩(wěn)定擦邊分岔進入混沌，當b2減小時系統(tǒng)會由穩(wěn)定周期運動經(jīng)鞍結分岔直接進入混沌，并且會導致由穩(wěn)定周期運動與混沌運動共存的多態(tài)共存區(qū)。