一種基于高階內(nèi)模的新型自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法

張國(guó)山，李思祺

一種基于高階內(nèi)模的新型自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法

張國(guó)山，李思祺

(天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，天津 300072)

本文針對(duì)一類含多個(gè)時(shí)間迭代變化參數(shù)控制方向未知的非線性離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出跟蹤問(wèn)題，提出了一種基于高階內(nèi)模的新型自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法．假設(shè)多個(gè)時(shí)間迭代變化參數(shù)由不同的高階內(nèi)模所生成，本文所提出的算法借鑒了模型預(yù)測(cè)控制的思想，通過(guò)構(gòu)建預(yù)測(cè)輸入，將獲得的當(dāng)次迭代預(yù)測(cè)跟蹤誤差作為先驗(yàn)知識(shí)，應(yīng)用到系統(tǒng)輸入的控制律的設(shè)計(jì)中，從而在預(yù)測(cè)跟蹤誤差的基礎(chǔ)上進(jìn)一步縮小系統(tǒng)的跟蹤誤差．相較于基于高階內(nèi)模的傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)算法，大幅度縮減了系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差，明顯地提高了跟蹤精度．此外，由于預(yù)測(cè)跟蹤誤差作為先驗(yàn)知識(shí)參與了系統(tǒng)輸入控制律的設(shè)計(jì)，該方法對(duì)于系統(tǒng)擾動(dòng)和輸出噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性．通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了該方法下系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂性和所提算法的優(yōu)越性．通過(guò)兩組仿真算例，考慮在控制方向已知和未知兩種情況下，和兩種基于高階內(nèi)模的已有迭代學(xué)習(xí)算法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了理論結(jié)果．

自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制；高階內(nèi)模；非線性離散時(shí)間系統(tǒng)；時(shí)間迭代變化參數(shù)

迭代學(xué)習(xí)控制是一種解決重復(fù)環(huán)境下動(dòng)態(tài)系統(tǒng)跟蹤問(wèn)題的有效方法，當(dāng)系統(tǒng)輸出重復(fù)跟蹤參考軌跡時(shí)，利用上一次迭代的跟蹤誤差信息更新當(dāng)前迭代控制輸入[1-5]．近年來(lái)，迭代學(xué)習(xí)控制在工業(yè)過(guò)程中有很多應(yīng)用，如高速公路交通控制[6]、機(jī)器人操縱器[7]、高速火車[8]、微型飛行器(MAV)[9]和多智能體系統(tǒng)等[10-11]．

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制框架要求過(guò)程具有嚴(yán)格的可重復(fù)性，但實(shí)際應(yīng)用中很難滿足這一要求．迭代變化初始狀態(tài)[12]、迭代變化擾動(dòng)[13]和迭代變化軌跡[14]在工業(yè)過(guò)程中會(huì)經(jīng)常遇到，有時(shí)還會(huì)同時(shí)遇到多個(gè)迭代變化因子[15]．實(shí)際上，在工業(yè)過(guò)程中所遇到的一些變化方向是已知的迭代變化因子可以沿迭代軸用高階內(nèi)模來(lái)進(jìn)行描述；即當(dāng)前迭代中的迭代變化因子是前幾次迭代中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的線性組合[16]．

因此基于高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)算法對(duì)于含有時(shí)間迭代變化因子的系統(tǒng)的輸出跟蹤問(wèn)題時(shí)效果極好．文獻(xiàn)[17-18]研究了含迭代變化因子的線性離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出跟蹤問(wèn)題．文獻(xiàn)[19]考慮了含迭代變化因子的非線性離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出跟蹤問(wèn)題．在此基礎(chǔ)上，Liu等[20]針對(duì)一類具有二階內(nèi)模參數(shù)不確定性的離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，提出了一種基于最小二乘法自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法．雖然考慮了狀態(tài)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，但并未將二階內(nèi)模推廣至高階內(nèi)模．Yu等[21]針對(duì)一類同時(shí)具有參數(shù)和非參數(shù)不確定性的離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，提出了一種新的魯棒自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法，得益于良好的死區(qū)函數(shù)設(shè)計(jì)，參數(shù)和非參數(shù)不確定性可以同時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)．文獻(xiàn)[22]討論了與文獻(xiàn)[20]相同的系統(tǒng)在控制增益未知的情況下的迭代學(xué)習(xí)控制，由于控制增益也成為了學(xué)習(xí)對(duì)象，系統(tǒng)的狀態(tài)擾動(dòng)無(wú)法有效描述，導(dǎo)致該算法與文獻(xiàn)[20]所提算法均無(wú)法有效削減狀態(tài)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出造成的影響，魯棒性也無(wú)法得到保證．

本文針對(duì)一類含多個(gè)迭代變化參數(shù)的非線性離散時(shí)間系統(tǒng)，提出了一種基于高階內(nèi)模的同時(shí)適用于控制方向已知和未知兩種情況的新型迭代學(xué)習(xí)控制算法．該方法借鑒了預(yù)測(cè)控制的思想，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)預(yù)測(cè)輸入，得到當(dāng)次迭代的預(yù)測(cè)跟蹤誤差，并將其作為先驗(yàn)知識(shí)去構(gòu)建系統(tǒng)輸入控制律，進(jìn)而有效地減小了跟蹤誤差，提升了跟蹤效果．通過(guò)理論證明，該方法可以在存在多個(gè)迭代變化參數(shù)且控制方向未知的情況下實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性離散系統(tǒng)的有效輸出跟蹤．與現(xiàn)有方法相比較，本文所提方法適用于控制增益已知和未知兩種情況，在跟蹤精度和收斂速度上有明顯提升，且在存在外部擾動(dòng)的情況下具有一定的魯棒性.最后通過(guò)兩個(gè)算例驗(yàn)證了理論結(jié)果．

1?問(wèn)題描述

考慮離散時(shí)間非線性系統(tǒng)

式中為已知連續(xù)函數(shù)．

下面是后文中要用到的兩個(gè)假設(shè)．

本文所提出的兩個(gè)假設(shè)均為該類問(wèn)題所需的一般假設(shè)．

引理1[23]如果

式(4)的高階內(nèi)模可以描述為多項(xiàng)式

式(8)也可以寫作

將式(9)代入系統(tǒng)(1)得

根據(jù)式(8)可得

進(jìn)而有

式(12)可以表示為

2?算法設(shè)計(jì)

本文所提出的迭代學(xué)習(xí)算法借鑒了模型預(yù)測(cè)控制思想，以第次迭代為例，進(jìn)行控制律算法設(shè)計(jì)．

首先，構(gòu)建一個(gè)預(yù)測(cè)輸入

式中為一正常數(shù)．

然后，將得到的預(yù)測(cè)跟蹤誤差加入到系統(tǒng)輸入的控制律的設(shè)計(jì)當(dāng)中

3?收斂性分析

定理 1?對(duì)于非線性離散系統(tǒng)(1)，在假設(shè)1和2的前提下，控制律(15)、(20)和參數(shù)更新律(18)、(19)滿足：

將式(18)代入式(22)右邊第1部分可得

同理可以得到式(22)右邊的第2部分為

則式(22)可以表示為

由式(25)可得

即

由式(25)可得

根據(jù)學(xué)習(xí)律式(18)和式(19)可得

同理

由式(29)和式(31)可得

因此

由式(34)可得

由式(17)、式(32)和式(37)可得

由式(42)和式(43)可得

將式(41)和(44)代入式(40)，可得

由式(11)可以得到

進(jìn)而

綜上可得

將式(48)代入式(45)

由式(10)和式(15)可知

根據(jù)控制律(15)可知

將式(57)代入式(40)可得

4?仿真算例

例1：考慮文獻(xiàn)[20]中的非線性系統(tǒng)

圖1?時(shí)間迭代變化因子和

例2：考慮文獻(xiàn)[22]中的非線性系統(tǒng)

圖4?時(shí)間迭代變化因子

圖5?例2中輸入增益估值

圖6?例2中跟蹤誤差絕對(duì)值的最大值

本文所研究的兩個(gè)仿真實(shí)例均為離散時(shí)間系統(tǒng)，其采樣周期為0.05s．作為對(duì)比，文獻(xiàn)[20]中的方法是在控制方向已知的情況下設(shè)計(jì)的；文獻(xiàn)[22]中的方法是在控制方向未知的情況下設(shè)計(jì)的．

5?結(jié)?語(yǔ)

本文針對(duì)一類含多個(gè)迭代變化參數(shù)的非線性離散系統(tǒng)，提出了一種新的基于高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)控制方法．借鑒預(yù)測(cè)控制的思想，通過(guò)構(gòu)建預(yù)測(cè)輸入并將其代入系統(tǒng)的方式獲得預(yù)測(cè)跟蹤誤差作為先驗(yàn)知識(shí)，然后將其運(yùn)用到系統(tǒng)輸入的控制律設(shè)計(jì)中．在已有的基于高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)控制方法的基礎(chǔ)上，成功引入了當(dāng)次迭代的跟蹤信息，從而進(jìn)一步提高了跟蹤精度，縮小了跟蹤誤差，加快了跟蹤誤差的收斂速度，并分別通過(guò)理論證明和仿真對(duì)比驗(yàn)證了其有效性和優(yōu)越性．

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A New Adaptive Iterative Learning Algorithm Based on a High-Order Internal Model

Zhang Guoshan，Li Siqi

(School of Electrical and Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

In this paper，a new adaptive iterative learning algorithm based on a high-order internal model is proposed. The algorithm is applied to the output tracking problem of a class of nonlinear discrete-time systems with multiple time-iteration-varying parameters and unknown control directions. Assuming that multiple time-iteration-varying parameters are generated by different high-order internal models，the proposed algorithm draws on the idea of model predictive control. Through the construction of predictive input，the predictive tracking error obtained in the current iteration is used as a priori knowledge for system input control law design. This has the effect of further reducing the tracking error of the system on the basis of predictive tracking error. Compared with the traditional iterative learning algorithm based on a high-order internal model，the output tracking error of the system is greatly reduced，and the tracking accuracy is evidently improved. In addition，as predictive tracking error is involved in the design of the input control law as a priori knowledge，the method is robust to system disturbance and output noise. Through the Lyapunov stability theory，the convergence of the system tracking error and the superiority of the proposed method are proved. Through two groups of sample simulations，and considering the two cases of known and unknown control direction，the theoretical results are verified by comparison with two existing iterative learning algorithms based on a high-order internal model.

adaptive iterative learning control；high-order internal model；nonlinear discrete-time system；time-iteration-varying parameters

10.11784/tdxbz202103063

TK13

A

0493-2137(2022)05-0480-09

2021-03-26；

2021-08-18.

張國(guó)山（1961—??），男，博士，教授.

張國(guó)山，zhanggs@tju.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(62073237).

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No. 62073237).

(責(zé)任編輯：孫立華)