基于“導(dǎo)問(wèn)”的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)

【摘 要】“導(dǎo)問(wèn)式”教學(xué)立足新課標(biāo)，落腳課堂教學(xué)實(shí)踐，圍繞“問(wèn)題”開(kāi)展教學(xué)研究，在提升學(xué)生“四能”、培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等方面起到了積極作用。“導(dǎo)問(wèn)式”教學(xué)與變式教學(xué)課堂范式相得益彰，有利于提升高中生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)問(wèn)式教學(xué)；變式教學(xué)；融合；思維提升

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）67-0023-04

【作者簡(jiǎn)介】李健，江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（江蘇蘇州，215104）教師，高級(jí)教師。

所謂“導(dǎo)問(wèn)式”教學(xué)，指基于不同的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，以“問(wèn)題和引導(dǎo)”為基本特征的一種教學(xué)活動(dòng)形式。［1］其外部特征一般呈現(xiàn)為：教師通過(guò)設(shè)置一定的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在與學(xué)生共同解讀問(wèn)題的過(guò)程中，圍繞核心概念提出一系列問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考探究并解決問(wèn)題，最終達(dá)到把握問(wèn)題本質(zhì)的目的。其內(nèi)涵主旨為：通過(guò)動(dòng)態(tài)思辨，幫助學(xué)生啟迪思維、生成智慧。

變式教學(xué)指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化的教學(xué)方式，它主張保持問(wèn)題的本質(zhì)特征不變，將問(wèn)題的非本質(zhì)屬性不斷遷移，通過(guò)深化認(rèn)知的一系列策略與途徑，在動(dòng)態(tài)教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，這與“導(dǎo)問(wèn)”的教學(xué)目標(biāo)與實(shí)施手段高度契合。筆者著眼于提升高中生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，以高三一輪復(fù)習(xí)的課堂教學(xué)為落腳點(diǎn)，從一道課本習(xí)題出發(fā)，薄口深切，例談基于“導(dǎo)問(wèn)”的變式教學(xué)策略。

一、教學(xué)背景概述

在學(xué)習(xí)“直線(xiàn)和圓”過(guò)程中，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）要求學(xué)生“能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，并能解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題”。從整個(gè)解析幾何單元的學(xué)業(yè)要求來(lái)看，《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)了幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題間的轉(zhuǎn)化與融合。

針對(duì)高三學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與思維特點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)圍繞“直線(xiàn)和圓位置關(guān)系”的進(jìn)階微專(zhuān)題，以蘇教版教材（2019年版）選擇性必修一（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《選必一》）第62頁(yè)習(xí)題2.2第10題為研究起點(diǎn)展開(kāi)變式教學(xué)，以期引導(dǎo)學(xué)生逐步深化對(duì)直線(xiàn)和圓位置關(guān)系的認(rèn)知，“沉浸式”地感知幾何與代數(shù)的深刻關(guān)系，最終把握解析幾何（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“解幾”）的本質(zhì)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)

1.借“一題多變”導(dǎo)出問(wèn)題情境

師：很好！研究直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系需要緊緊把握?qǐng)A心到直線(xiàn)的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系。同時(shí)，直線(xiàn)l：x0x+y0y=r2似乎與圓O：x2+y2=r2有一種“神秘”的聯(lián)系，接下來(lái)我們將通過(guò)一系列問(wèn)題來(lái)進(jìn)行探討。

本環(huán)節(jié)中，問(wèn)題1最后設(shè)置“一題多變”，利用《選必一》中第62頁(yè)的習(xí)題12設(shè)置變式情境，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究。通過(guò)問(wèn)題2的兩個(gè)“非標(biāo)準(zhǔn)化”變式，突出了直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的本質(zhì)屬性，即“d與r之間的大小關(guān)系”。再利用其所包含的代數(shù)形式的共同特征，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探討。

2.由“一題多解”導(dǎo)向問(wèn)題本質(zhì)

師：大家有別的方法來(lái)證明上述這個(gè)結(jié)論嗎？

（限于版面，求解過(guò)程略）

師：?jiǎn)栴}1和問(wèn)題3的答案均為x0x+y0y=r2，這是一種巧合嗎？還是它們之間存在著一種內(nèi)在聯(lián)系？大家可交流探討。

生5：可以從圖形的角度動(dòng)態(tài)地理解“切點(diǎn)弦”和“圓上一點(diǎn)切線(xiàn)”的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)點(diǎn)M從圓的外部向圓逐步靠近時(shí)，此時(shí)A、B兩點(diǎn)也會(huì)沿著圓弧不斷向其靠近，當(dāng)點(diǎn)A、B、M無(wú)限接近“重合”狀態(tài)時(shí)，原本作為割線(xiàn)的切點(diǎn)弦AB所在直線(xiàn)也會(huì)“逼近”成為一條過(guò)圓上一點(diǎn)M的切線(xiàn)了。

師：（可配合幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）很好！根據(jù)同學(xué)們的分析，我們可以將其簡(jiǎn)單地理解為“過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)就是某割線(xiàn)的極限狀態(tài)”。在探討的過(guò)程中，我們深刻地感受到直線(xiàn)與圓的問(wèn)題可以用代數(shù)方法來(lái)解決，同時(shí)也可以從幾何角度探索、感知其內(nèi)在本質(zhì)。

本環(huán)節(jié)通過(guò)問(wèn)題3啟發(fā)學(xué)生“一題多解”，從幾何和代數(shù)兩個(gè)維度來(lái)深化教學(xué)內(nèi)容，凸顯了“解幾”本質(zhì)，隨后教師引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題1與問(wèn)題3的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)置變式追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生深度思考。最后利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示，幫助學(xué)生從抽象和具象兩個(gè)層面去理解數(shù)和形的關(guān)系，從而把握“解幾”本質(zhì)。

3.用“多題一解”導(dǎo)引問(wèn)題深化

師：不難看出，該過(guò)程體現(xiàn)的解題思路與問(wèn)題3中生5所展示的思想方法相同，都是根據(jù)解題需要將點(diǎn)進(jìn)行“動(dòng)態(tài)”與“靜態(tài)”間的切換，在解決問(wèn)題時(shí)再次利用了問(wèn)題3的相關(guān)結(jié)論，這就是所謂的“多題一解”。接下來(lái)，我們通過(guò)一道模擬題來(lái)深化對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的掌握。

師：結(jié)合解決問(wèn)題5的經(jīng)歷，大家能否推導(dǎo)出有關(guān)切點(diǎn)弦的一般性結(jié)論？

師（追問(wèn)）：能推廣出問(wèn)題1的一般性結(jié)論嗎？

師：非常好！大家在幾何的層面進(jìn)行了思考、類(lèi)比和歸納，但要得出確鑿的結(jié)論還需從代數(shù)的角度去演繹推證，請(qǐng)各位同學(xué)課后完善上述問(wèn)題的證明過(guò)程。

設(shè)置問(wèn)題4既是從思維上對(duì)問(wèn)題3中生5解法的鞏固，同時(shí)也引導(dǎo)了學(xué)生關(guān)注問(wèn)題3所衍生出的各種“副產(chǎn)品”，讓其主動(dòng)接受“多題一解”這一變式教學(xué)載體。最終利用問(wèn)題5引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合情推理深化理解這類(lèi)問(wèn)題的共性，并以演繹推理來(lái)作為教學(xué)的課后延伸，達(dá)到讓學(xué)生把握這類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)的同時(shí)，深刻感知數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的雙重目的。

三、教學(xué)策略總結(jié)

從上述的教學(xué)案例中我們不難看出，以“導(dǎo)問(wèn)”作為方法論、“變式”作為教學(xué)手段的課堂教學(xué)需要教師進(jìn)行數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化組織，在讓知識(shí)變得系統(tǒng)化的同時(shí)也要關(guān)注其可操作性。這對(duì)教師的教學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求。結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)實(shí)際，筆者對(duì)基于“導(dǎo)問(wèn)”開(kāi)展的變式教學(xué)課型總結(jié)了如下三點(diǎn)策略。

1.“導(dǎo)”中生“變”

導(dǎo)問(wèn)式教學(xué)講究教學(xué)內(nèi)容重難點(diǎn)的針對(duì)性，需要教師由淺入深、層層遞進(jìn)、呈梯度狀設(shè)問(wèn)。［2］在研究問(wèn)題1至問(wèn)題3的過(guò)程中，我們圍繞本課例的教學(xué)重點(diǎn)之一——深度研究直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，構(gòu)建了“變式問(wèn)題串”，將一系列“導(dǎo)問(wèn)”以“變式”的形態(tài)出現(xiàn)，即通過(guò)相關(guān)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化來(lái)探究相關(guān)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。

學(xué)生能夠在“變”中逐步把握住直線(xiàn)和圓位置關(guān)系的幾何本質(zhì)，并能夠用代數(shù)語(yǔ)言去刻畫(huà)其幾何關(guān)系，既完成了思維由“發(fā)散”到“匯聚”的變化過(guò)程，又強(qiáng)化了用代數(shù)方法去解決幾何問(wèn)題的“解幾意識(shí)”。

2.以“變”聯(lián)“導(dǎo)”

作為直線(xiàn)和圓位置關(guān)系中的一個(gè)“特別的存在”，聚焦“切點(diǎn)弦方程”是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，同時(shí)也是思維的一個(gè)躍升點(diǎn)。如何做到既能貼合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律又能有效地將教學(xué)內(nèi)容合理聯(lián)結(jié)，本課例中，變式起到了關(guān)鍵作用。

通過(guò)對(duì)問(wèn)題2與問(wèn)題3形式上的“統(tǒng)一化”與內(nèi)容上的“延續(xù)化”，將變式作為“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”嵌入導(dǎo)問(wèn)中，在結(jié)構(gòu)上采用了“過(guò)程性變式”即“數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)”［3］，達(dá)到了“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)效果。同時(shí)，以問(wèn)題3作為導(dǎo)問(wèn)載體，使用“一題多解”的變式途徑，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其解決方法進(jìn)行深度探究，將三種解題思路從不同維度有效地聯(lián)結(jié)在一起，從思維的層面實(shí)現(xiàn)了“匯聚”至“發(fā)散”的轉(zhuǎn)變過(guò)程。

3.“導(dǎo)”“變”相融

解析幾何是“數(shù)形結(jié)合”的典范，本課例中，“一題多變”“一題多解”及“多題一解”等變式手段，本質(zhì)上都是服務(wù)于“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法，是提高學(xué)生發(fā)散思維與形象思維的有效途徑。［4］

因此，將“導(dǎo)問(wèn)”和“變式”合而為一，能幫助學(xué)生在解決問(wèn)題中，同步實(shí)現(xiàn)思想方法的掌握和思維品質(zhì)的提升，這在問(wèn)題3的教學(xué)過(guò)程中得到了充分體現(xiàn)。同樣問(wèn)題4的導(dǎo)入既做到了對(duì)問(wèn)題3結(jié)論的“即時(shí)性學(xué)以致用”，又通過(guò)研究軌跡問(wèn)題滲透了“幾何問(wèn)題代數(shù)化”的解幾思維。將問(wèn)題5設(shè)置為真題，其目的在于用特例引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題3的結(jié)論一般化，即滲透“特殊到一般”數(shù)學(xué)思想方法，加以教師的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)行了一次躍遷。

總而言之，無(wú)論是采用“導(dǎo)問(wèn)”的漸進(jìn)式授課模式，還是借助于“變式”的動(dòng)態(tài)化教學(xué)手段，其最終目的都是指向?qū)W生思維能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。以此為引，形成更多行之有效的教學(xué)范式，是我們?cè)诮窈蠼虒W(xué)實(shí)踐中不斷求索的目標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

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［2］程漢華，劉云濤.“導(dǎo)問(wèn)式”教學(xué)方法研究［J］.高等教育研究學(xué)報(bào)，2010（3）：66-68.

［3］顧泠沅，黃榮金，費(fèi)蘭倫斯·馬頓.變式教學(xué)：促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國(guó)方式［J］.云南教育：中學(xué)教師，2007（3）：25-28.

［4］李健.例談單元教學(xué)設(shè)計(jì)下的變式教學(xué)探索［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（12）：45-48.