永磁同步電機混沌運動反步動態(tài)面控制

王明新，張樹凱，李文萍，孫 剛

（1.湖南工學院理學院，湖南 衡陽 421002；2.湖南高速鐵路職業(yè)技術學院鐵道電信學院，湖南 衡陽 421002）

引 言

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）具有結構簡單、功率效率高、調(diào)速特性平滑、運行可靠等優(yōu)點[1-2]，因而被廣泛應用于汽車工業(yè)、航空航天、船舶工程、電力工業(yè)以及機械工程等領域[3-7]。在這些應用中，電驅(qū)動系統(tǒng)是非常重要的核心部件，而永磁同步電機及其控制系統(tǒng)則是影響電驅(qū)動系統(tǒng)最為關鍵的因素。常用于永磁同步電機控制的技術有直接轉(zhuǎn)矩控制[1,5]、矢量控制[1,8]等。由于永磁同步電機系統(tǒng)存在非線性、多變量等特點，導致對其進行控制的難度大、算法復雜，有時難以達到要求的控制目標或控制精度。近年來，國內(nèi)外學者基于一些先進的控制理論與技術等，提出一系列有效的永磁同步電機控制設計方法，如自適應控制[9-10]、模糊控制[8,10]、滑?？刂芠3,9-10]等。

永磁同步電機系統(tǒng)的非線性、多變量特點還可能引起另一個不容忽視的重要問題，即電機系統(tǒng)在某些特定條件下會出現(xiàn)混沌運動狀態(tài)[11-13]，如隨機振蕩、控制性能不穩(wěn)定等。這些混沌運動狀態(tài)有時會對電機系統(tǒng)的運行產(chǎn)生不利影響，甚至可能會對系統(tǒng)產(chǎn)生損害。因此，如何避免有害混沌運動狀態(tài)的出現(xiàn)或是在混沌狀態(tài)出現(xiàn)時及時加以抑制或消除，保證系統(tǒng)運行穩(wěn)定并達到期望的目標就成為永磁同步電機系統(tǒng)控制中一個具有實際意義的問題。針對永磁同步電機運動系統(tǒng)的混沌抑制或消除問題，國內(nèi)外學者近年來提出了很多有效的控制策略和方法。2008 年，蔡明山[14]針對永磁同步電機混沌運動控制問題給出了一個具有分段二次函數(shù)形式的非線性反饋控制器設計方法。為了控制永磁同步電機動力系統(tǒng)中的不良混沌振動，范本正等[15]提出了一個基于自適應反步的滑模變結構非線性控制器設計方法。2009 年，李東等[16]針對參數(shù)不確定的永磁同步電機提出了一種基于Takagi-Sugen 模型的模糊控制設計方法。李峰磊等[17]設計了一種具有自抗擾能力的永磁同步電機混沌控制器。唐傳勝等[18]針對含有參數(shù)不確定性的永磁同步電機混沌系統(tǒng)提出了一種主動有限時間穩(wěn)定控制設計方法，設計的控制器能夠有效提高系統(tǒng)的響應能力。針對永磁同步電機系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測的情況，陳強等[19]提出了基于擴張狀態(tài)觀測器的自適應滑模控制設計方法，改善了滑模控制抖振的問題。侯利民等[20]設計了一種非奇異快速終端滑模控制器。黃俊豪等[21]針對永磁直線同步電機系統(tǒng)提出了基于粒子群算法優(yōu)化的狀態(tài)反饋滑模混沌控制器。其他一些永磁同步電機混沌控制設計方法見文獻[22-23]等。

反步（Backstepping）是由Krstic 等[24]提出的一種系統(tǒng)化的控制器設計方法，它是將一個高階非線性系統(tǒng)的控制設計問題分解為多個低階（或一階）系統(tǒng)的遞歸設計問題。文獻[15]中的工作就用到了反步設計方法。然而，反步設計存在“復雜程度顯著增長”的缺點，即隨著被控系統(tǒng)階數(shù)的增加，所設計的控制器復雜性顯著增加，從而導致高階系統(tǒng)的控制器實現(xiàn)非常困難[25]。1997 年，Swaroop 等[25]針對“復雜性問題”提出了一種動態(tài)面控制（Dynamic surface control, DSC）技術，即在控制律遞歸設計過程中加入若干一階低通濾波器對虛擬控制信號進行處理，將復雜的求導運算轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚拇鷶?shù)運算，從而有效降低基于反步設計的控制器的復雜程度。此外，傳統(tǒng)的反步設計主要適用于系統(tǒng)具有嚴格反饋結構的情況。對于不滿足嚴格反饋結構形式的非線性系統(tǒng)，基于反步設計的控制器可能會存在“控制結構循環(huán)依賴”的問題，從而無法實現(xiàn)。2011年，Wang[26]將DSC 技術與自適應反步設計相結合，解決了純反饋非線性系統(tǒng)控制設計中的“控制結構循環(huán)依賴”問題。2019年，Sun和Wang[27-28]將反步設計與動態(tài)面控制技術相結合，對具有非下三角形結構形式的非線性系統(tǒng)進行了控制器設計。

受上述工作啟發(fā)，本文對永磁同步電機混沌運動系統(tǒng)控制問題進行了研究，主要工作為：對于給定的永磁同步電機混沌運動系統(tǒng)，利用反步方法遞歸設計狀態(tài)反饋虛擬控制律和實際控制律，保證各誤差子系統(tǒng)穩(wěn)定；使用一階濾波器對虛擬控制信號進行處理，解決復雜性問題和控制結構循環(huán)依賴問題；給出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析結果；對所設計的控制器的有效性進行數(shù)值仿真驗證。

1 問題描述

取永磁同步電機運動系統(tǒng)的無量綱數(shù)學模型如下[11,23]：

其中：id、iq和ω分別為經(jīng)過線性變換后的直軸電流、交軸電流和旋轉(zhuǎn)角速度；Ud和Uq分別為d軸電壓和q軸 電 壓；Tl為 電 機 負 載 轉(zhuǎn) 矩；r和s為 電 機 系 統(tǒng)參數(shù)。

根據(jù)文獻[11]對電機運動系統(tǒng)的分析可知，當相關參數(shù)滿足一定條件時系統(tǒng)存在混沌吸引子，從而在狀態(tài)初始值為不平衡點的情況下系統(tǒng)將進入混沌運動狀態(tài)。例如，當Ud= -5、Uq= 1、Tl= 1、r=25、s= 3、初始狀態(tài)為(x1,x2,x3)=(0,0,0)（顯然為不平衡狀態(tài)）時[23]，系統(tǒng)會進入到混沌運動狀態(tài)中，其相軌跡與系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化情況分別如圖1 與圖2所示。

圖1 PMSW 系統(tǒng)混沌運動的相軌跡

圖2 PMSW 系統(tǒng)混沌運動的狀態(tài)變化

為了抑制混沌運動狀態(tài)，需要對系統(tǒng)（1）施加控制。若控制目標為使得系統(tǒng)輸出信號能夠穩(wěn)定于設定值，則可得如下形式的永磁同步電機運動控制系統(tǒng)數(shù)學模型：

其中：u為由ω-子系統(tǒng)注入的控制輸入信號；y為系統(tǒng)輸出信號。

2 反步動態(tài)面控制設計

本節(jié)將結合反步設計與動態(tài)面控制技術對系統(tǒng)（2）構造控制器，最終目標是使得系統(tǒng)輸出信號y能夠穩(wěn)定于期望輸出信號的設定值yr（常數(shù)）?？刂破魍ㄟ^反步設計遞歸實現(xiàn)，分三步完成：第一步是對第一個誤差面子系統(tǒng)設計虛擬控制律，保證該子系統(tǒng)穩(wěn)定；第二步是對第二個誤差面子系統(tǒng)設計虛擬控制律，保證該子系統(tǒng)及第一個誤差面子系統(tǒng)穩(wěn)定；第三步是對第三個誤差面子系統(tǒng)設計控制律，保證該子系統(tǒng)與前兩個誤差面子系統(tǒng)同時穩(wěn)定。通過上述過程，設計的控制器由兩個虛擬控制律和一個實際控制律構成。需要指出的是，在基于傳統(tǒng)反步設計的控制器遞歸設計過程中，前一步的虛擬控制律的導數(shù)需要進入下一步的控制設計中，這將會導致出現(xiàn)“復雜程度顯著增長”問題[25]。此外，由于系統(tǒng)（2）具有非仿射結構形式，基于傳統(tǒng)反步設計的控制律遞歸設計過程中還會出現(xiàn)“控制結構循環(huán)依賴”問題[26]，即某些虛擬控制律或?qū)嶋H控制律的設計依賴于其本身。為此，采用動態(tài)面控制技術解決復雜性問題和控制結構循環(huán)依賴問題，即令虛擬控制信號先通過一個一階低通濾波器，然后再進入下一步的設計環(huán)節(jié)中。通過使用低通濾波器對虛擬控制信號進行處理，一方面可以將復雜的求導運算用簡單的代數(shù)運算代替，解決“復雜程度顯著增長”問題；另一方面使用濾波器的輸出信號而不是原始的虛擬控制信號進入下一步的設計環(huán)節(jié)中，可以避免“控制結構循環(huán)依賴”情況的出現(xiàn)?？刂破鞯木唧w設計過程如下：

I、令S1=y-yr=id-yr（第一個誤差面）。將S1對時間t求導可得：

將iq看作S1-子系統(tǒng)（3）的輸入信號（虛擬控制輸入信號），并將子系統(tǒng)（3）變換為如下形式：

則虛擬控制輸入信號iq的期望值為：

其中k1> 0為控制參數(shù)。

令α2經(jīng)過第一個低通濾波器，可得：

II、令S2=iq-α?2（第二個誤差面）。類似地，將S2對時間t求導可得：

將ω看作S2-子系統(tǒng)（4）的輸入信號（虛擬控制輸入信號），并將子系統(tǒng)（4）變換為如下形式：

則虛擬控制輸入信號ω的期望值為：

其中k2> 0為控制參數(shù)。

令α3經(jīng)過第2個低通濾波器，可得：

III、令S3=ω-α?3（第三個誤差面），則S3對時間t的導數(shù)為：

其中u為S3-子系統(tǒng)（5）的輸入信號（即系統(tǒng)（2）的控制輸入信號）。

令控制輸入信號u為：

其中k3> 0為控制參數(shù)。

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

通過上述設計，得到由誤差面子系統(tǒng)、控制器以及濾波器子系統(tǒng)所構成的閉環(huán)系統(tǒng)，形式記為Σ ={ Σ1,Σ2,Σ3}，其中，

誤差面子系統(tǒng)為：

控制器為：

濾波器子系統(tǒng)為：

文獻[26]對一類不確定純反饋非線性系統(tǒng)設計了神經(jīng)網(wǎng)絡自適應反步動態(tài)面控制器，并利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了由誤差面子系統(tǒng)、控制器、濾波器子系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡自適應律等構成的閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致最終有界。在此基礎上，文獻[27-28]對具有非下三角形結構形式的一類非線性系統(tǒng)提出了反步動態(tài)面控制設計方法，并給出了由誤差面子系統(tǒng)、控制器和濾波器子系統(tǒng)等構成的閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致最終有界的結論。本文主要應用反步技術與動態(tài)面控制技術對具有非下三角形結構形式的3 階非線性系統(tǒng)（2）設計控制器，得到的閉環(huán)系統(tǒng)由誤差面子系統(tǒng)Σ1、控制器Σ2和濾波器子系統(tǒng)Σ3構成。因此，根據(jù)文獻[26-28]給出的穩(wěn)定性分析結果可知：對于給定的系統(tǒng)初始狀態(tài)，通過選擇控制器參數(shù)ki（i= 1,2,3）和濾波器參數(shù)τj（j= 1,2），可以保證閉環(huán)系統(tǒng)Σ ={ }Σ1,Σ2,Σ3的所有信號半全局一致最終有界，并且可以通過參數(shù)調(diào)整使得系統(tǒng)輸出誤差收斂于0的一個任意小鄰域內(nèi)。

從而，系統(tǒng)輸出信號y能夠穩(wěn)定于設定值yr。

4 仿真實驗

為了驗證所設計控制器的有效性，考慮永磁同步電機運動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2），其中的系統(tǒng)參數(shù)取值保持與前文相同，即Ud= -5、Uq= 1、Tl=1、r= 25、s= 3、系統(tǒng)初始狀態(tài)為(x1,x2,x3)=(0,0,0)。由前面的仿真結果可知，若對該系統(tǒng)不予施加控制，即控制輸入信號u恒為零，則系統(tǒng)運動進入混沌狀態(tài)（見圖1～2）。

下面，使用控制器Σ2對系統(tǒng)（2）進行控制，并利用濾波器子系統(tǒng)Σ3對Σ2中的虛擬控制信號進行濾波處理。首先利用MATLAB/SIMULINK 搭建控制系統(tǒng)的仿真模型，然后選取適當?shù)目刂破鲄?shù)和濾波器參數(shù)進行數(shù)值仿真。當相關參數(shù)取值為k1=k2=k3= 2、τ1=τ2= 1、== 0、期望輸 出信號的設定值yr= 20時，所得仿真結果如圖3～5所示。

圖3 PMSW 控制系統(tǒng)運動的相軌跡

由圖3～4 可以看出，在未對系統(tǒng)施加控制的時間內(nèi)（t:0～10 s），系統(tǒng)運動進入混沌狀態(tài)；當t= 10 s時開始施加控制，系統(tǒng)運動狀態(tài)快速地收斂于穩(wěn)定狀態(tài)（圖3中“*”點位置），即系統(tǒng)的混沌運動狀態(tài)得到了有效控制。由圖4(a)可以看出，在對系統(tǒng)施加控制后，系統(tǒng)輸出信號快速地收斂于期望輸出信號的設定值，從而驗證了所設計的控制器具有良好的控制性能。圖5 給出了控制輸入信號的變化情況。由圖5 可見，在控制施加的初始階段（t:10～12 s），控制輸入信號需要在一個相對較大的范圍內(nèi)（u:-41～44 N·m）變化才能快速抑制系統(tǒng)的混沌運動狀態(tài)；當系統(tǒng)進入穩(wěn)定運動狀態(tài)后，控制輸入信號只需在一個相對較小的范圍內(nèi)（u:-28～-27 N·m）變化即可保持系統(tǒng)輸出信號穩(wěn)定于設定值附近。

圖4 PMSW 控制系統(tǒng)的狀態(tài)變化

圖5 PMSW 控制系統(tǒng)的輸入信號

注1：在對永磁同步電機運動系統(tǒng)進行實際控制時，可以根據(jù)具體情況與性能指標要求，通過對控制器參數(shù)和濾波器參數(shù)等進行適當調(diào)整來實現(xiàn)。

注2：對于狀態(tài)變量iq和ω，也可以利用本文方法實現(xiàn)設定值穩(wěn)定調(diào)節(jié)。

5 結束語

本文對永磁同步電機混沌運動狀態(tài)的控制問題進行了研究，提出了一種基于反步設計和動態(tài)面控制技術相結合的設計方法，設計的控制器結構簡單、實現(xiàn)容易。數(shù)值仿真結果進一步驗證了所提方法的有效性。