孤立奇點(diǎn)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

張 昶，孟鳳娟

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇常州 213001)

1 教學(xué)背景

理解與掌握基本概念對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)好復(fù)變函數(shù)具有重要作用，進(jìn)而深入分析后續(xù)相關(guān)問題。非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，數(shù)學(xué)概念抽象且不易把握，數(shù)學(xué)原理脫離實(shí)際背景，不同課程之間的知識(shí)點(diǎn)難以做到很好的銜接等問題，對(duì)學(xué)生理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題造成了一定阻礙。孤立奇點(diǎn)的分類是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要組成部分和難點(diǎn)。因此，有必要對(duì)孤立奇點(diǎn)概念的引入進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解并學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用。

2 教學(xué)目標(biāo)

第一，掌握孤立奇點(diǎn)的定義，了解孤立奇點(diǎn)和非孤立奇點(diǎn)的區(qū)別。第二，理解不同類型孤立奇點(diǎn)的本質(zhì)區(qū)別。第三，能夠根據(jù)定義判斷孤立奇點(diǎn)的類型。

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

第一，學(xué)生根據(jù)孤立奇點(diǎn)的定義判斷幾個(gè)例子是否為孤立奇點(diǎn)。第二，提出問題，介紹孤立奇點(diǎn)“奇異性程度”的強(qiáng)弱。第三，通過高數(shù)中的瑕積分和本門課程的高階導(dǎo)數(shù)公式介紹“奇異性程度”的重要性。第四，歸納總結(jié)孤立奇點(diǎn)“奇異性程度”，將孤立奇點(diǎn)分為三類。第五，總結(jié)教學(xué)要點(diǎn)。

4 教學(xué)過程

4.1 引例

4.2 孤立奇點(diǎn)的“奇異性程度”

思考1：奇點(diǎn)就是奇異的點(diǎn)，那么不同函數(shù)在相同奇點(diǎn)處“奇異性程度”是否不同？如何刻畫“奇異性程度”？

例2：1都為下列三個(gè)函數(shù)的奇點(diǎn)，它們的“奇異性程度”如何？

分析：

f1=1(z-1)f2=1(z-1)2f3=1(z-1)3乘以(z-1)11(z-1)1(z-1)2乘以(z-1)2z-111(z-1)

思考2：為什么要考察孤立奇點(diǎn)的“奇異性程度”？

4.3 孤立奇點(diǎn)的分類

由上述思考題引導(dǎo)學(xué)生思考一般函數(shù)與冪函數(shù)之間的關(guān)系，回憶洛朗展開式的相關(guān)知識(shí)。根據(jù)洛朗定理，在一定條件下，一個(gè)函數(shù)在以奇點(diǎn)為圓心的圓環(huán)域內(nèi)可以展開為一些冪函數(shù)的和，而判斷這些冪函數(shù)奇點(diǎn)的“奇異性程度”是容易的，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的洛朗展開式中各項(xiàng)奇點(diǎn)的“奇異性程度”將孤立奇點(diǎn)分類。

通過討論發(fā)現(xiàn)可去奇點(diǎn)的“奇異性程度”為0，故最弱，極點(diǎn)次之(極點(diǎn)的“奇異性程度”是有限的)，本性奇點(diǎn)的“奇異性程度”是無限的，故最強(qiáng)。同為極點(diǎn)，可根據(jù)極點(diǎn)的級(jí)數(shù)判斷“奇異性程度”的強(qiáng)弱。

5 總結(jié)

本文討論的僅是一個(gè)具有代表性概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，在復(fù)變函數(shù)其他教學(xué)過程中實(shí)時(shí)地、有針對(duì)性地融入課程將有益于優(yōu)化傳統(tǒng)的教學(xué)理念和方法，提高復(fù)變函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果。