基于影響矩陣的斜拉橋成橋索力優(yōu)化方法分析

陰文蔚

（中鐵第五勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，北京 102600）

1 引言

斜拉橋具有造型優(yōu)美、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、跨越能力強(qiáng)、造價(jià)經(jīng)濟(jì)等特點(diǎn)，近年來在橋梁工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。斜拉橋是由主梁、主塔和斜拉索組成的組合體系結(jié)構(gòu)，拉索的存在使得斜拉橋成為“牽一索而動(dòng)全橋”的高次超靜定結(jié)構(gòu)。由于索力是可以調(diào)整的，不同的索力對(duì)應(yīng)斜拉橋結(jié)構(gòu)不同的受力狀態(tài)，故可以通過優(yōu)化求解找到一組索力，使得斜拉橋的各項(xiàng)受力指標(biāo)得到設(shè)計(jì)者期望的合理值，上述求解過程即為斜拉橋的索力優(yōu)化。

2 斜拉橋索力優(yōu)化方法

斜拉橋常用的索力優(yōu)化方法主要有3 種，即指定受力狀態(tài)的索力優(yōu)化、索力的無約束優(yōu)化和索力的有約束優(yōu)化。

斜拉橋索力優(yōu)化的指定受力狀態(tài)法主要包括剛性支承連續(xù)梁法和零位移法。剛性支承連續(xù)梁法就是將索梁交接點(diǎn)視為剛性連接，按常規(guī)梁求出這些剛性支承的反力，再根據(jù)斜拉索的豎向分力與剛性支點(diǎn)反力相等確定索內(nèi)力，該內(nèi)力即為優(yōu)化后的索力。零位移法以索梁交點(diǎn)處位移為零為優(yōu)化目標(biāo)，求解結(jié)構(gòu)在荷載作用下成橋狀態(tài)對(duì)應(yīng)的索力，該過程即為基于零位移法的斜拉橋成橋索力優(yōu)化。

斜拉橋索力的無約束優(yōu)化法主要包括彎曲能量最小法和彎矩最小法。彎曲能量最小法是以結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能最小作為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)梁、塔等的軸向、彎曲剛度作相應(yīng)調(diào)整后求解荷載作用下結(jié)構(gòu)的效應(yīng)，得到一組優(yōu)化索力，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)的一次分析問題。彎矩最小法是以結(jié)構(gòu)彎矩平方和最小為優(yōu)化目標(biāo)，求解荷載作用下斜拉索的索力，其缺點(diǎn)是無法考慮構(gòu)件截面特性對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

斜拉橋索力的有約束優(yōu)化法主要包括用索量最小法和最大偏差最小法[1]。用索量最小法是以斜拉索的用量最小作為優(yōu)化目標(biāo)，用設(shè)計(jì)者所關(guān)心的控制截面的內(nèi)力、位移等效應(yīng)的合理取值作為約束條件進(jìn)行優(yōu)化求解。最大偏差最小法以可行域中參量與期望值的最大偏差達(dá)到最小作為優(yōu)化目標(biāo)，作為一個(gè)隱式約束優(yōu)化問題最后可歸結(jié)為一個(gè)線性規(guī)劃問題[2]。

綜上，指定受力狀態(tài)法力學(xué)概念明確，程序?qū)崿F(xiàn)較為簡(jiǎn)單并均可歸結(jié)為求解一組線性方程組，但該方法基于梁的受力狀態(tài)建立數(shù)學(xué)模型，未考慮塔的影響，也無法對(duì)塔的受力狀態(tài)做出評(píng)判。無約束的彎曲能量最小法和彎矩最小法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)判斷成橋狀態(tài)是否合理給出了一個(gè)既明確又便于數(shù)學(xué)表達(dá)的目標(biāo)函數(shù)，但其缺點(diǎn)是缺乏必要的限制、約束條件而導(dǎo)致最終不能得到理想的結(jié)果。有約束優(yōu)化的用索量最小法其難點(diǎn)在于選擇合理的約束條件，約束條件選擇的優(yōu)劣直接決定了優(yōu)化結(jié)果的合理性。

對(duì)于一個(gè)承載結(jié)構(gòu)來說，合理的受力狀態(tài)下其內(nèi)力、應(yīng)力、位移等效應(yīng)值應(yīng)當(dāng)在由結(jié)構(gòu)體系和材料性能確定的合理的取值范圍內(nèi)，故合理的受力狀態(tài)并非由單一的指標(biāo)確定的，所以用某個(gè)單一的性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化是很難獲得合理的成橋索力的。基于此，文獻(xiàn)[2]的作者提出了基于影響矩陣的索力優(yōu)化法。

3 基于影響矩陣的索力優(yōu)化法

影響矩陣法是以斜拉橋索、梁、塔的控制截面的內(nèi)力、位移等多種效應(yīng)值作為優(yōu)化目標(biāo)，利用影響矩陣進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，求解得到成橋狀態(tài)下滿足上述優(yōu)化目標(biāo)的一組索力，該方法克服了上述優(yōu)化法目標(biāo)單一的缺點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)下優(yōu)化結(jié)果的統(tǒng)一。

3.1 基本定義

受調(diào)向量：斜拉橋索、梁、塔控制截面上m 個(gè)相互獨(dú)立的元素所組成的列向量[3]。該列向量的元素可以是截面內(nèi)力、應(yīng)力或位移。這些元素在優(yōu)化過程中接受調(diào)整，最終達(dá)到設(shè)計(jì)師期望的目標(biāo)狀態(tài)。受調(diào)向量記為：

式中，bi為第i 個(gè)獨(dú)立的受調(diào)元素。

施調(diào)向量：為使受調(diào)向量相應(yīng)發(fā)生變化而定義的可實(shí)施調(diào)整的l 個(gè)獨(dú)立元素所組成的列向量(l≤m)，記為：

式中，xi為第i 個(gè)獨(dú)立的施調(diào)元素。

施調(diào)元素一般為桿件內(nèi)力。

影響向量：施調(diào)向量中第j 個(gè)元素xj發(fā)生單位變化時(shí)引起受調(diào)向量B 相應(yīng)的變化向量，記為：

式中，c1j,c2j,…,cmj分別為第j 個(gè)施調(diào)元素xj發(fā)生單位變化時(shí)相應(yīng)m 個(gè)受調(diào)元素對(duì)應(yīng)發(fā)生的變化量。

影響矩陣：l 個(gè)施調(diào)向量分別發(fā)生單位變化，引起的l 個(gè)影響向量依次排列形成的矩陣，記為：

在影響矩陣[C]中，其元素可取為內(nèi)力、應(yīng)力或位移，影響矩陣是這些力學(xué)元素混合組成的矩陣，根據(jù)線性疊加原理，影響矩陣[C]、受調(diào)向量B 與施調(diào)向量X 之間建立如下關(guān)系：

3.2 基本思想

基于影響矩陣的斜拉橋索力優(yōu)化法取拉索的索力作為施調(diào)向量，取墩、梁、塔的截面內(nèi)力、應(yīng)力或位移作為受調(diào)向量。索力優(yōu)化結(jié)果其實(shí)質(zhì)就是當(dāng)受調(diào)向量達(dá)到目標(biāo)值時(shí)基于影響矩陣所確定的施調(diào)向量的取值，故受調(diào)向量目標(biāo)值的確定是求解合理成橋索力的關(guān)鍵[4]。前文已述，一個(gè)受力狀態(tài)的合理應(yīng)當(dāng)是在荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、應(yīng)力、位移等效應(yīng)值的合理。對(duì)于一個(gè)優(yōu)化問題來說就是受調(diào)向量目標(biāo)值的合理，因此，優(yōu)化問題的關(guān)鍵就是如何在數(shù)目繁多的效應(yīng)指標(biāo)中找到一組數(shù)值作為優(yōu)化目標(biāo)。為避免優(yōu)化目標(biāo)選擇的盲目性，提高優(yōu)化效率，該目標(biāo)約束應(yīng)具備如下幾個(gè)條件：

1）優(yōu)化目標(biāo)是該結(jié)構(gòu)受力工況下荷載效應(yīng)的真實(shí)存在，這是優(yōu)化成功的前提條件；

2）約束指標(biāo)的選取及其取值應(yīng)有利于求解，即求解過程迭代次數(shù)少；

3）施調(diào)向量的個(gè)數(shù)應(yīng)不大于受調(diào)向量的個(gè)數(shù)，這是確保數(shù)學(xué)模型有解的必要條件。

前文已述，無約束的彎曲能量最小法其優(yōu)點(diǎn)在于可以推導(dǎo)出一個(gè)既便于數(shù)學(xué)表達(dá)又符合設(shè)計(jì)師要求習(xí)慣的目標(biāo)函數(shù)，故可以通過該方法快速獲得慣性截面的一組最小彎矩值，再以此彎矩為優(yōu)化目標(biāo)利用基于影響矩陣的多約束優(yōu)化法進(jìn)行索力優(yōu)化。索力優(yōu)化完成后查看各效應(yīng)值的變化情況，根據(jù)首次優(yōu)化結(jié)果并結(jié)合優(yōu)化的側(cè)重點(diǎn)調(diào)整目標(biāo)后再次優(yōu)化，直至得到理想的結(jié)果。

4 實(shí)例分析

4.1 工程背景

某獨(dú)塔中央索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，采用墩塔梁固結(jié)體系，跨徑組合為2×98 m，橋面寬度為35.3 m。主梁采用單箱5 室箱梁，斜拉索錨固區(qū)主梁高3.4 m，主塔總高為71.4 m，結(jié)構(gòu)總體布置如圖1 所示。

圖1 橋型總體布置圖(單位：cm)

全橋共13 對(duì)、26 根拉索，結(jié)合本橋斜拉索沿順橋向?qū)ΨQ的特點(diǎn)，將模型中關(guān)于主塔中心線對(duì)稱的索合并為一組，故歸并后模型共13 組索，從邊墩向主塔方向編號(hào)依次為S1～S13。

4.2 優(yōu)化過程分析

如前文所述，首次優(yōu)化可采用成橋狀態(tài)下斜拉索錨固點(diǎn)主梁的彎矩值作為優(yōu)化目標(biāo)，該彎矩值可采用無約束的彎曲最小能量法計(jì)算得到。利用該方法求解彎矩時(shí)梁和塔的彎曲剛度不變，抗拉、壓剛度調(diào)整為無窮大[5]（一般通過放大塔、梁、索截面面積104～106倍實(shí)現(xiàn)），計(jì)算所得彎矩即為首次優(yōu)化目標(biāo)彎矩。按照上述方法修改、放大截面面積，經(jīng)計(jì)算，本橋拉索錨固點(diǎn)主梁彎矩值如表1 所示。

從表1 彎矩計(jì)算結(jié)果可以看出，受無索區(qū)的影響，兩側(cè)邊索錨固點(diǎn)主梁彎矩較大，除此之外，成橋狀態(tài)下拉索錨固點(diǎn)主梁的彎矩值在-2 500～-3 500 kN 范圍內(nèi)，以此范圍彎矩值為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行首次優(yōu)化。經(jīng)計(jì)算，優(yōu)化結(jié)果如圖2～圖3 所示。

表1 拉索錨固處主梁彎矩匯總表

圖2 第1 次優(yōu)化斜拉索索力圖

圖3 第1 次優(yōu)化后主梁彎矩圖

從圖2 中可以看出索力分布符合長(zhǎng)索索力大、短索索力小的分布原則，S1 和S13 號(hào)索受無索區(qū)及墩、塔約束的影響出現(xiàn)較大突變，故該位置采用彎矩作為優(yōu)化的目標(biāo)顯然是不合理的，修改索力突變拉索的優(yōu)化目標(biāo)為其索力期望值進(jìn)行二次優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如圖4～圖6 所示。

圖4 第2 次優(yōu)化后斜拉索索力圖

圖5 第2 次優(yōu)化后主梁彎矩圖

圖6 第2 次優(yōu)化后主梁豎向位移圖

從圖4～圖6 中可以看出，經(jīng)過二次優(yōu)化后索力分布較為均衡，主梁受力均勻且承受較小的彎矩，主梁最大位移為5 mm，各項(xiàng)受力指標(biāo)均較為合理，是一個(gè)理想的優(yōu)化方案。

5 結(jié)語

本文優(yōu)化方法概念明確、計(jì)算簡(jiǎn)便，可快速確定斜拉橋成橋索力，有效避免了索力優(yōu)化的盲目性。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證采用本文方法優(yōu)化后斜拉橋索力分布、結(jié)構(gòu)受力及變形等結(jié)果均較為理想，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

需要說明的是，上述優(yōu)化的成橋狀態(tài)只是一個(gè)初步、大致合理的成橋狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上還要考慮活載引起的彎矩可行域及預(yù)應(yīng)力的影響后繼續(xù)優(yōu)化，方能確定最終的合理成橋狀態(tài)。由于該步驟需要結(jié)合工程實(shí)際情況及優(yōu)化的側(cè)重點(diǎn)來確定，在此本文不做進(jìn)一步的闡述。