再論“聲納測向精度海上動態(tài)測量計算公式”

袁富宇，代志恒，劉 凱，崔 杰

（江蘇自動化研究所，江蘇 連云港 222061）

0 引言

聲納是水下作戰(zhàn)平臺的主要探測設備。為保持隱蔽性主要以被動方式接收（探測）目標航行噪聲信號，從中提取出目標方位等信息。為保證裝備性能，聲納在正式交付使用前都要進行海上測向精度的測量評估，以判斷聲納探測精度是否達標。聲納量測精度評估屬于量測誤差分析與處理范疇［1-3］，包含對隨機誤差、系統(tǒng)偏差和粗大誤差（跳點）的分析處理，其中已知誤差序列時隨機誤差均方根（標準差）的估計方法有Bessel 公式法、Peters 法、極差法、最大誤差法和最大殘差法。文獻［4］描述了一種誤差序列未知的隨機誤差計算公式：“聲納測向精度海上動態(tài)測量計算公式”，并對其進行了深入探討，給出了原公式完整的理論推導，提出了更加精確的計算公式。目前，聲納設備的海上測向評估仍在使用該公式。由于聲納實際測向誤差不僅含有隨機誤差，也常常含有系統(tǒng)偏差，因此，該計算公式已經(jīng)不再滿足聲納量測精度評估的需求了。

本文對該計算公式進行了較為深入的分析，給出了一種改進變形，推廣了計算公式適用的試驗態(tài)勢范圍；同時也給出一些新的測向精度（隨機誤差）評估方法，提出了一種存在系統(tǒng)偏差時測向精度評估方案。

1 測向精度計算公式描述及其原理分析

計算公式的試驗態(tài)勢要求：

1）水下觀測平臺與水面目標船同向勻速直航（平臺航向Co=目標航向CT）；

2）觀測平臺低速航行（Vo=5 kn～7 kn），目標船高速航行（VT=20 kn～25 kn）；

3）目標船起航點比觀測平臺靠后，以便其通過觀測平臺大于90°和小于90°的舷角范圍；

4）兩者航線間距DV=20～30 鏈（V：Vertical）；

5）同時起航，并確保兩者航速穩(wěn)、航向準；

6）觀測平臺每10 s 記錄一個舷角數(shù)據(jù)（Qk），共記錄n=100 個數(shù)據(jù)。如圖1 所示。

圖1 海上測量態(tài)勢示意圖

為了方便證明，作目標船的相對運動如圖2 所示。如文獻［4］的做法。

圖2 目標船相對運動圖

OP⊥AM，OP=DV，A、B、C 為目標船的相鄰量測點，Q2k-1、Q2k為相鄰的兩個量測舷角，記兩者的差為ΔQ2k-1，即

最終的測向誤差均方根為［4］：

其中，A 由式（7）迭代后求出，初值由式（5）計算。

為方便下文比較分析，由計算式（5）、式（6）生成的算法簡記為A1，由計算式（7）、式（8）生成的算法簡記為A2。

2 測向精度計算公式的分析及改進

由計算式（12）～式（13）生成的算法簡記為A3。

從計算公式的預設態(tài)勢可以看出，上述計算公式主要是針對舷側(cè)陣或拖線陣而言。對于艇艏陣（圓柱陣、球形陣或者共形陣）而言，上述態(tài)勢設置就不太合理了，因為艇艏陣的高精度探測區(qū)域位于觀測平臺航向左、右一定角度的扇形區(qū)域，最好在量測過程中讓目標船經(jīng)過艇艏，比如讓觀測平臺航向與目標船的航向垂直就可以做到了。如此一來，上述計算公式就不滿足要求了。

另一方面，在兩者平行航行中，操作者的愿望當然是保持平行，但船舶航向控制機構(gòu)總是有誤差的（航向偏航誤差），如期望船只按90°航行，實際上會沿著90.1°方向航行。如果觀測平臺和目標船的航向同時朝一個方向偏，可能還抵消一些影響，而若兩者同時朝外或同時朝內(nèi)偏，那么對精度估計肯定會有不小的影響。

因此，第2 種改進之處就是允許觀測平臺和目標船的航向可以不相同，但必須皆勻速直航。

如圖3 所示，目標船的相對航向為rCT，相對航速為rVT，觀測平臺航向為CO。過O 點作rCT的平行線，顯見，可以找出無窮多的觀測平臺、目標船運動參數(shù)：CO=rCT，CT=rCT，VT-VO=rCT，滿足兩者平行航行的要求。實際量測舷角Qk是相對真正CO方向，此時要變換舷角，讓其相對目標船的相對航向rCT。變換后的舷角記為Qk'，那么有

圖3 非同向時目標船相對態(tài)勢圖

這樣一來，就可以把{Qk'}帶入到上述系列公式中估計測向量測精度了。由此變換生成的算法簡記為A4。

不難看出，上述計算公式的中心思想就是首先估計出相鄰舷角差的期望值，之后根據(jù)樣本方差公式計算出測向精度σQ。依據(jù)此思路，還可以通過其他途徑計算測向精度σQ。

1）要素解算方法［10-11］

3 存在測向系統(tǒng)偏差時的一種計算方案

在實際應用中發(fā)現(xiàn)，聲納測向誤差中不僅有隨機誤差，還存在著不可忽視的系統(tǒng)偏差。聲納測向系統(tǒng)偏差對魚雷武器的導引效果有著影響，尤其對指控系統(tǒng)中各種目標運動要素解算算法有著“要命”的影響。因為目前指控系統(tǒng)中大多數(shù)要素解算算法都是基于極大似然估計原理推得的，對于白噪聲量測誤差往往能夠達到其最優(yōu)精度，而對于含有系統(tǒng)偏差的量測誤差其表現(xiàn)往往很差。目前數(shù)理統(tǒng)計中各種估計方法常是建議先去除掉量測中的系統(tǒng)偏差（從產(chǎn)生源頭去除、或估計出來等等），而后再套用各種估計方法去實際應用。

因此，對于聲納測向誤差，不僅要考察其隨機誤差，而且還要考察其系統(tǒng)偏差。實際裝備中不可能沒有一點系統(tǒng)偏差，而是能否限制其在一定范圍內(nèi)，以滿足指控系統(tǒng)的應用要求。

易見，第1 節(jié)、第2 節(jié)描述的測向精度計算公式（方法）估計不出系統(tǒng)偏差，因為相鄰舷角之差ΔQ2k-1中已基本不含有系統(tǒng)偏差（假定系統(tǒng)偏差光滑變化），因此，有必要考慮其他的途徑。下面給出一種方案，在目前試驗條件下是能夠做到的，大致有以下幾個步驟（都是事后處理）：

幾點說明：

1）關(guān)于“精確”方位Bk的計算

式（20）中的（xTk，yTk）和（xOk，yOk）分別表示在量測時刻tk目標船和觀測平臺的位置坐標，其值可以由兩者的北斗導航信息精確地計算出來，因為目前北斗導航信息的后期處理可以達到厘米級精度，可以認為Bk沒有誤差。

4）關(guān)于系統(tǒng)偏差的評估

可以有3 種方式，第1 種是把隨機誤差和系統(tǒng)偏差綜合起來考察，此時

第3 種方式隨機誤差和系統(tǒng)偏差分開考察，但對系統(tǒng)偏差不僅考察其最大、最小值，還要考察其變化過程，即繪制出所有有效航次的系統(tǒng)誤差曲線（隨量測時刻變化）。這是指控系統(tǒng)最為關(guān)注的一種方式。

4 仿真驗證與分析

4.1 仿真態(tài)勢選擇與誤差仿真

對于測向誤差的仿真，隨機誤差和系統(tǒng)偏差分開獨立仿真疊加到舷角真值上。對于舷側(cè)陣和拖線陣來說，系統(tǒng)偏差隨著方位線與陣垂線夾角的增大而增大，呈現(xiàn)某種非線性變化（變化系數(shù)為δ）；對于圓柱陣或球形陣來說，系統(tǒng)偏差隨舷角Qk的（絕對值）增大而增大，近似呈現(xiàn)線性變化（變化系數(shù)為ρ）。

實際上，隨機誤差也不是恒定不變的，它會隨著目標船的距離而變化，也會隨著上述兩個角度（絕對值）的增加而增加。由于變化規(guī)律復雜，為簡單起見，聲納測向精度指標按距離和角度劃分不同的區(qū)域，在每一區(qū)域內(nèi)認為隨機誤差服從相同的分布。因此，在仿真中假定隨機誤差均方根σQ是常數(shù)，隨機誤差服從高斯分布N（0，σQ2）。

對于舷側(cè)陣，取σQ=0.1°～1°；對于拖線陣，取σQ=1°～4°；對于圓柱陣，取σQ=0.1°～0.7°。

4.2 無誤差時的驗證

仿照文獻［4］，先考察沒有誤差時各計算公式/方法的表現(xiàn)，選擇文獻［4］建議的驗證態(tài)勢（針對舷側(cè)陣和拖線陣設計的態(tài)勢），總時間T=1 000 s（dt=10 s），結(jié)果單位為度（下同）。

從理論上講，當沒有任何誤差時表1 中的所有σQ=0。但由于方法的近似性使得其中的方法A1、A6、A7、A8的估計值并不接近零。

表1 無誤差時的驗證結(jié)果

4.3 隨機誤差計算驗證

當舷角疊加有隨機誤差時，對于各種計算方法的考察，不能僅觀察一個航次的結(jié)果，應該多觀察幾個航次，統(tǒng)計計算其平均值和二次原點矩。記EσQ表示估計誤差均方根均值，σσQ表示估計誤差均方根的原點矩均方根，即

N 為設定的航次數(shù)，本文取N=10 000，rσQ為舷角誤差均方根真值。

1）舷側(cè)陣驗證

DV=30 鏈，CO=CT=π/2，量測間隔取dt=10 s（量測點數(shù)n=100）和dt=1 s（（量測點數(shù)n=1 000）。當σQ=0.5°時，計算結(jié)果如下頁表2 所示。

表2 σQ=0.5°時舷側(cè)陣統(tǒng)計結(jié)果

當σQ=1°時，計算結(jié)果如表3 所示。

表3 σQ=1°時舷側(cè)陣統(tǒng)計結(jié)果

2）拖線陣驗證

取DV=300 鏈，其余量取值同上。當σQ=2°時，計算結(jié)果如表4 所示。

表4 σQ=2°時拖線陣統(tǒng)計結(jié)果

3）圓柱陣驗證

取DV=100 鏈，CT=π/2，CO=0，量測間隔取dt=10 s（量測點數(shù)n=100）和dt=1 s（量測點數(shù)n=1 000）。當σQ=0°時，計算結(jié)果如表6 所示。當然，在這種交叉航次態(tài)勢下，方法A1～A3都不再適用，其余方法理論上仍適用。仍放在一起考察，看一下A1～A3竟有多不適用。

表6 無任何誤差時dt=10 s 及dt=1 s 時圓柱陣計算結(jié)果

表7 σQ=0.3°時圓柱陣計算結(jié)果

表8 σQ=0.5°時圓柱陣計算結(jié)果

4）結(jié)果分析

先看舷側(cè)陣和拖線陣的驗證結(jié)果。從表2～表5 可以看出，文獻［4］給出的兩種計算方法A1、A2及其本文給出的改進方法A3（此時A3、A4等價），其測向隨機誤差的估計是有偏的：當量測點數(shù)n=100（dt=10 s）時，σQ=0.5°的偏差期望值約為0.016°，二階原點矩均方根約為0.05°；σQ=1°的偏差期望值約為0.031°，二階原點矩均方根約為0.099°；σQ=2°的偏差期望值約為0.062°，二階原點矩均方根約為0.198°；σQ=4°的偏差期望值約為0.13°，二階原點矩均方根約為0.397°。當量測點數(shù)n=1 000（dt=1 s，總時間不變）時，σQ=0.5°的偏差期望值約為0.014°（與0.016°相比改進不大），二階原點矩均方根約為0.016°；σQ=1°的偏差期望值約為0.028°（與0.031°相比改進不大），二階原點矩均方根約為0.032 5°；σQ=2°的偏差期望值約為0.056°（與0.062°相比改進不大），二階原點矩均方根約為0.065°；σQ=4°的偏差期望值約為0.112°（與0.13°相比改進不大），二階原點矩均方根約為0.13°。

表5 σQ=4°時拖線陣統(tǒng)計結(jié)果

本文提出的4 種新方法A5（要素解算方法，基于極大似然估計）、A6（多項式擬合方法）、A7（小波濾波方法）和A8（非參回歸法），當n=100 時，A6、A7和A8的估計誤差（包括期望值與二階原點矩均方根）都很大，A5方法估計效果最好（比A1、A2和A3），期望值接近真值，但二階原點矩均方根還不夠小。當n=1 000 時，A5～A8表現(xiàn)都比方法A1～A3好，不論是期望值或是二階原點矩，其精度都高出1～2 個數(shù)量級。其中方法A6和A8效果最好。

再看圓柱陣的驗證結(jié)果。由于選取了航線交叉態(tài)勢，從原理上方法A1～A3已經(jīng)不適用于此情形。從表6～表9 可看出，即使不迭加任何誤差（表6），A1～A3的估計結(jié)果也不為0（約為0.17°（n=100）和0.017°（n=1 000））；添加誤差時，n=100 的估計值也有0.04°～0.05°的偏差，而改進的算法A4則表現(xiàn)良好。此時本文提出的方法A5仍然表現(xiàn)優(yōu)異（相對A1～A3）。當n=1 000 時，A1～A4表現(xiàn)趨同（這倒與直觀不符）。此時A5～A8表現(xiàn)都很好，精度遠超方法A4：均值更接近真值，二階原點矩更小。

表9 σQ=0.7°時圓柱陣計算結(jié)果

從以上分析可以看出，文獻［4］的測向精度計算方法（包括本文改進的）A1～A4，原理上是正確的，但對于高精度測向誤差評估來講還是稍顯粗糙；本文提出的4 種新途徑（A5～A8）效果更好些，尤其在增加量測點的條件下。對于圓柱陣的測向誤差評估，提出了改進方法A4，在n=100 時效果好于A1～A3，而當n=1 000 時A1～A4效果也趨同，但都遜于A5～A8。因此，在進行聲納測向隨機誤差評測時建議加大量測點數(shù)（如n=1 000）以提高估計精度，同時建議選用本文提出的新方法A5～A8，因為文獻［4］的方法A1～A3有估計偏差。

4.4 系統(tǒng)偏差估計驗證

僅采用第3 節(jié)推薦的計算方案，因為上述方法只能估計隨機誤差：A1～A3方法中相鄰舷角之差已把系統(tǒng)偏差減掉，剩下的ΔQk中不含有系統(tǒng)偏差信息；A5～A8方法中系統(tǒng)偏差要么作為低頻信號也被減掉，要么被擬合入回歸系數(shù)中，最終也被減掉。觀察如下算例。

針對舷側(cè)陣，取σQ=1°，并迭加上系統(tǒng)偏差，A1～A8統(tǒng)計結(jié)果如下（n=1 000，N=10 000）：

表10 存在系統(tǒng)偏差時上述各方法的估計期望

4.4.1 舷側(cè)陣例子

取σQ=1°，系統(tǒng)偏差系數(shù)δ=0.02。隨機誤差加上系統(tǒng)偏差的綜合誤差σ=1.159 179°。

表11 說明：

表11 方法A 6～A 8 的隨機誤差估計及系統(tǒng)偏差估計誤差區(qū)間

1）隨機誤差欄目中對應每一方法的上格數(shù)值表示估計期望值，下格數(shù)值表示估計的二階原點矩均方根；

2）系統(tǒng)誤差欄目中對應每一方法的估計誤差區(qū)間，是從n×N 個差值（每一時刻系統(tǒng)偏差估計值減去仿真迭加的系統(tǒng)偏差真值）尋找出的最小值和最大值。

下面給出方法A6～A8估計的系統(tǒng)偏差過程值，每隔10 s 挑選出一個，包括首尾兩時刻的值。

圖示說明：圖4、圖6、圖8 的縱坐標表示舷角系統(tǒng)偏差差值（各方法系統(tǒng)偏差估計值與系統(tǒng)偏差真值之差）絕對值之均值（單位：°），橫坐標為量測舷角點數(shù)；圖5、圖7、圖9 的縱坐標表示舷角系統(tǒng)偏差差值的均方根（單位：°），橫坐標為量測舷角點數(shù)。

圖4 舷側(cè)陣算例舷角系統(tǒng)偏差估計誤差絕對值均值曲線

圖5 舷側(cè)陣算例舷角系統(tǒng)偏差估計誤差均方根曲線

4.4.2 拖線陣例子

取σQ=4°，系統(tǒng)偏差系數(shù)δ=0.03。隨機誤差加上系統(tǒng)偏差的綜合誤差σ=4.095 033°。如下頁表12 所示。

表12 方法A 6～A 8 的隨機誤差估計及系統(tǒng)偏差估計誤差區(qū)間

表中各項含義同表11。

方法A6～A8估計的系統(tǒng)偏差過程值（均值、均方根）如圖6、圖7 所示（每隔10 s 挑選出一個，包括首尾兩時刻的值）。

圖6 拖線陣算例舷角系統(tǒng)偏差估計誤差絕對值均值曲線

圖7 拖線陣算例舷角系統(tǒng)偏差估計誤差均方根曲線

4.4.3 圓柱陣例子

取σQ=0.7°，系統(tǒng)偏差系數(shù)ρ=0.013 33，ΔQ0=0.4°（系統(tǒng)偏差=ρ·Q+ΔQ0）。隨機誤差加上系統(tǒng)偏差的綜合誤差σ=1.150 254°。

表13 方法A 6～A 8 的隨機誤差估計及系統(tǒng)偏差估計誤差區(qū)間

表中各項含義同表11。

方法A6～A8估計的系統(tǒng)偏差過程值（均值、均方根）如圖8、圖9 所示（每隔10 s 挑選出一個，包括首尾兩時刻的值）。

圖8 圓柱陣算例舷角系統(tǒng)偏差絕對值均值曲線

圖9 圓柱陣算例舷角系統(tǒng)偏差差值均方根曲線

4.4.4 結(jié)果分析

當舷角量測次數(shù)n=100 時，三陣估計結(jié)果都不好，導致結(jié)果不太可信（因此，沒有展現(xiàn)結(jié)果）。

當n=1 000 時，3 種方法A6～A8的隨機誤差估計效果很好，表現(xiàn)在隨機誤差估計期望與真值相差很小，二階原點矩均方根也很小，精度較高符合實際需求。對于系統(tǒng)偏差估計，A8（非參回歸方法）效果最好，表現(xiàn)在誤差區(qū)間小，各時刻的估計誤差（絕對值）期望及相應二階原點矩均方根都很小，“兩頭翹”（邊界誤差偏大）的幅度很小。另外兩種方法A6（小波）和A7（多項式）效果較差（每時刻的估計誤差期望及二階原點矩均方根偏大），尤其是系統(tǒng)偏差的估計誤差區(qū)間降不下來。

也不難發(fā)現(xiàn)，隨著σQ增大，相應的估計精度，尤其是系統(tǒng)偏差的估計精度會下降。因此，對于大誤差情形，建議增加量測次數(shù)以提高估計精度。

5 結(jié)論

本文對目前工程中仍在使用的一種聲納測向精度計算公式進行了更進一步的分析討論，推廣了這種公式，使之能夠適用交叉航行試驗態(tài)勢，以滿足艇艏圓柱陣/球形陣的精度測試。同時提出了幾種新的計算方法，仿真結(jié)果表明，原有的計算公式是有偏的（即使增加量測點數(shù)也降不下來），而新方法是漸近無偏的，即量測點數(shù)越多，估計精度越高。

針對存在系統(tǒng)偏差情形，提出了一種計算途徑。仿真試驗表明上述方法僅能估計隨機誤差，而新的計算途徑不僅能精確估計隨機誤差，也能較準確地擬合出系統(tǒng)偏差。

為滿足指控系統(tǒng)對測向誤差的要求，建議聲納測向的隨機誤差和系統(tǒng)偏差各自單獨進行測試評估，同時建議增加觀測平臺在轉(zhuǎn)向機動段的這兩項誤差評估指標，因為1 min～2 min 的機動段的測向信息對于武器導引尤其是縮短目標運動要素解算時間及提高解算精度至關(guān)重要。