裂隙砂巖破壞過程中的能量耗散與破碎分形特征研究

劉享華 張科 吳文遠(yuǎn)

摘要：對不同裂隙傾角的裂隙砂巖試件進行單軸壓縮試驗，分析了試件變形破裂過程中的應(yīng)變能演化特征，基于分形理論定量描述了最終破壞后碎屑尺度分布的分形特征，初步探究了能量耗散與破碎分形維數(shù)之間的力學(xué)機制。研究結(jié)果表明：隨著裂隙傾角增加，裂隙砂巖試件的抗壓強度和耗散應(yīng)變能均呈現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律;數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明兩者之間存在正相關(guān)關(guān)系。試件破壞后的碎屑尺度分布具有分形特征，不同裂隙傾角試件的分形維數(shù)介于2.58～2.64;分形維數(shù)隨裂隙傾角的變化規(guī)律與抗壓強度類似，兩者近似呈線性相關(guān)關(guān)系。此外，試件的抗壓強度越高，破壞時釋放的耗散應(yīng)變能越多，試件破碎程度越嚴(yán)重，所產(chǎn)生的微、細(xì)粒碎屑占比增大，導(dǎo)致分形維數(shù)變大;數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明耗散應(yīng)變能和分形維數(shù)之間具有線性正相關(guān)關(guān)系。

關(guān)鍵詞：巖石力學(xué);裂隙傾角;能量;抗壓強度;破碎;分形維數(shù)

中圖分類號：TU45

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1000-582X（2022）02-041-11

Abstract： This paper aims to investigate the correlation between the energy dissipation and fractal characteristics of fragments of preflawed sandstone. First， the uniaxial compression tests on preflawed sandstone with different flaw inclinations were conducted to analyze the energy evolution characteristics of preflawed sandstone during loading. Based on fractal theory， the size distribution characteristics of fragments after final failure were quantitatively characterized. The study shows that the compressive strength and the dissipation strain energy of specimen first decrease and then increase with the increase of flaw inclination and the data fitting suggests a positive correlation between them. The fragment size distribution of fragments under the uniaxial compression tests has obvious fractal property. The fractal dimensions of specimens with different flaw inclinations are in the range of 2.58-2.64. The trend of fractal dimension changing with flaw inclination is similar to that of compressive strength， and fractal dimension and compressive strength are approximately linearly related. The higher the compressive strength of the specimen is， the more the dissipative strain energy releases during failure. At this time， the more severe failure the specimen has， the greater the proportion of micro and fine particles is， resulting in the increase of fractal dimension. The regression analysis shows the relationship between dissipation strain energy and fractal dimension is linear positive correlation.

Keywords： rock mechanics; flaw inclination; energy; compressive strength; fragmentation; fractal dimension

物質(zhì)破壞是能量轉(zhuǎn)化作用下的一種狀態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象[1]。巖體受載變形并破壞實質(zhì)上是不可逆的熱力學(xué)過程，能量的耗散和釋放至關(guān)重要[2]。因此，從能量轉(zhuǎn)化作用角度研究巖體破裂機制得到眾多學(xué)者的青睞[3-7]。

目前，不少學(xué)者從熱力學(xué)的角度研究了巖石的破壞機制，并取得了一系列的研究成果。在單軸壓縮條件下，孟慶彬等[3]研究了不同應(yīng)變率加載條件對巖石破壞過程中能量積聚和耗散的影響規(guī)律。王偉超等[4]基于能量耗散理論發(fā)現(xiàn)鹽巖破壞過程中的能量與應(yīng)變關(guān)系曲線表現(xiàn)出明顯的階段特征，可分為壓密、彈性變形、塑性變形和破壞4個階段。Chen等[5]建立了描述砂巖裂縫閉合效應(yīng)的裂縫閉合能量耗散模型，并發(fā)現(xiàn)以此計算得到的砂巖裂縫閉合等效彈性模量與高徑比呈非線性遞減關(guān)系。Zhang等[6]研究了軸向加卸載條件下含水率對紅砂巖能量演化的影響。Wang等[7]定量研究了能量對巖石損傷程度的影響，分析了巖石在循環(huán)加載和卸載過程中能量耗散和能量轉(zhuǎn)換的規(guī)律。Bańka等[8]將數(shù)值模擬和能量耗散理論相結(jié)合，闡述了巖石破裂和彈性應(yīng)變能之間的關(guān)系。

近年來，還有一些學(xué)者對巖石能量耗散和破碎特征之間的關(guān)系進行了探索。王利等[9]結(jié)合能量守恒關(guān)系以及分形理論，建立了巖石損傷能量碎塊尺寸關(guān)系，研究成果在巖石塊度分布預(yù)測中具有重要的工程應(yīng)用價值。張蓉蓉等[10]通過分離式霍普金森壓桿試驗，研究了高低溫處理后砂巖破碎分形維數(shù)和能量耗散之間的關(guān)系，認(rèn)為相同溫度下兩者之間呈線性正相關(guān)關(guān)系。Peng等[11]對600 m深的煤巖進行了三軸壓縮試驗，提出了一個新的破壞能量比指標(biāo)用以描述煤巖的破壞模式，并發(fā)現(xiàn)破壞能量比與破壞后碎屑的分形維數(shù)具有線性關(guān)系，破壞能量比越高，分形維數(shù)越大。Deng等[12]對花崗巖和砂巖在5種不同的沖擊速度下進行了動態(tài)單軸壓縮試驗，通過篩分試驗獲得了碎屑的尺度分布，并建立了巖石破碎過程能量耗散模型。

上述研究主要針對完整巖石，但是工程巖體中常孕育著不同尺度、特性的地質(zhì)結(jié)構(gòu)面，不僅控制著巖體的變形破裂行為，而且對能量耗散和釋放規(guī)律也有一定的影響。因此，筆者在不同裂隙傾角砂巖試件單軸壓縮試驗研究的基礎(chǔ)上，分析了裂隙砂巖變形破裂過程中的能量演化特征，引入分形理論定量表征了破壞后碎屑尺度分布的分形特征，初步探究了裂隙砂巖耗散應(yīng)變能、抗壓強度以及分形維數(shù)之間的相關(guān)性，從能量的角度揭示巖石破壞過程中應(yīng)力釋放和耗散的規(guī)律，對闡明巖石的破壞機理提供參考。

1 試件制備及試驗方案

1.1 試件制備

本次試驗選取紅砂巖作為研究對象，巖樣取自云南省楚雄彝族自治州，表面光滑平整，呈致密塊狀構(gòu)造。為了避免巖石各向異性的影響，選用同一塊紅砂巖板進行切割，并打磨成尺寸為120 mm×60 mm×25 mm（長×寬×厚）的長方體，如圖1所示。采用高速水刀切割技術(shù)加工長度為2l=26 mm的預(yù)制裂隙，裂隙中點與試件中心點重合，裂隙分布如圖1所示。裂隙傾角β分別設(shè)置為15°、30°、45°、60°和75°共5種情況，每種裂隙傾角制備2個試樣。在預(yù)制裂隙中插入云母片，用于模擬閉合型裂隙。制備好的裂隙砂巖試件如圖2所示。

1.2 試驗裝置及實驗方案

單軸壓縮試驗加載設(shè)備采用WAW1000型電液伺服萬能材料試驗機，具有剛度大、穩(wěn)定性好以及測量精度高等特點。試驗開始前，將砂巖試件放置于試驗機上，在試件上下端面加設(shè)剛性墊片，以減小加載過程中的摩擦效應(yīng)。本次試驗采用位移加載控制，加載速率設(shè)置為0.3 mm/min。試驗機配套軟件自動記錄試驗過程中的軸向載荷和位移數(shù)據(jù)。采用高清攝像機記錄裂紋萌生、擴展和貫通的全過程，攝像機放置于距離試件正面1 m處。試驗研究發(fā)現(xiàn)5種裂隙傾角試件的破壞模式基本一致，都表現(xiàn)為沿裂隙面發(fā)生剪切破壞。

2 能量耗散特征

能量耗散和釋放在巖石的變形破壞中起著重要的作用。從能量轉(zhuǎn)化的意義上講，巖石的破壞，包括裂隙的萌生、擴展和貫通，本質(zhì)上是一個熱力學(xué)過程，伴隨著能量的耗散和釋放。能量耗散導(dǎo)致巖石內(nèi)部發(fā)生劣化，能量釋放導(dǎo)致巖石結(jié)構(gòu)突變，而當(dāng)應(yīng)變能急劇釋放，巖石將發(fā)生破壞，在某些特定條件下，這是造成重大地質(zhì)災(zāi)害的因素之一。因此，有必要對變形和破壞過程中巖石的能量耗散和釋放規(guī)律進行研究。

2.1 應(yīng)變能計算方法

假定單軸壓縮試驗環(huán)境與外界不存在熱交換效應(yīng)，忽略巖塊彈射而轉(zhuǎn)化的動能，則外力所做功（試驗機對試件做的功）的總輸入能量U即為總應(yīng)變能，根據(jù)熱力學(xué)第一定律可以得到單軸壓縮過程中應(yīng)變能的計算公式[1]

初始壓密階段（階段Ⅰ）：試件內(nèi)部的原生微裂隙在外力作用下逐漸閉合，應(yīng)力應(yīng)變曲線OA段呈下凹型。外力對試件做功，巖石逐漸積聚能量，而由于應(yīng)力較小，總應(yīng)變能、彈性應(yīng)變能以及耗散應(yīng)變能的增加速率較小，呈非線性上升趨勢。在這個階段，巖石吸收的部分能量轉(zhuǎn)化為耗散應(yīng)變能，這說明初始壓密階段，試件內(nèi)部的微裂隙的閉合和摩擦滑移等行為消耗了一定的能量，尤其是預(yù)制裂隙的影響較大。

彈性變形階段（階段Ⅱ）：應(yīng)力應(yīng)變曲線AB段近似呈線性變化。隨著軸向應(yīng)力不斷增大，巖石試件存儲的能量不斷增加，其增長速率遠(yuǎn)大于階段Ⅰ。由于原生裂隙和預(yù)制裂隙多數(shù)被壓密閉合，試件在這個階段又不斷地發(fā)生彈性變形，因此試件吸收的應(yīng)變能絕大部分是彈性應(yīng)變能，只有少量的能量耗散，耗散應(yīng)變能曲線甚至有小量下降的趨勢。

塑性變形階段（階段Ⅲ）：在較高的應(yīng)力作用下，試件仍不斷吸收能量，總能量曲線依舊呈上升趨勢。翼裂紋開始從預(yù)制裂隙尖端起裂，在應(yīng)力應(yīng)變曲線中可以觀察到明顯的應(yīng)力下跌（B點），彈性應(yīng)變能曲線發(fā)生突降，而耗散應(yīng)變能曲線出現(xiàn)突升。巖石內(nèi)部微缺陷不斷擴展、貫通，損傷量不斷增大，導(dǎo)致耗散應(yīng)變能呈加速增長趨勢，耗散應(yīng)變能的占比也逐漸升高。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到峰值（C點）時，觀察到宏觀剪切裂紋的萌生，此時應(yīng)力、彈性應(yīng)變能和耗散應(yīng)變能出現(xiàn)更大幅度的突變。

峰后破壞階段（階段Ⅳ）：應(yīng)力達(dá)到峰值后，裂紋的快速擴展和貫通導(dǎo)致試件失去承載力并發(fā)生破壞。在應(yīng)力下跌過程中（C點到D點），彈性應(yīng)變能曲線逐漸下降，而耗散應(yīng)變能曲線快速上升。峰值點以前，外力對試件做的功被試件的自身變形轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能，少部分能量被試件損傷擴展消耗掉。隨著砂巖試件損傷逐步累積，試件慢慢發(fā)生劣化，耗散應(yīng)變能也不斷增大，達(dá)到一定程度后導(dǎo)致試件強度喪失。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到峰值強度后，大量彈性應(yīng)變能急劇釋放，其中一些能量轉(zhuǎn)化為其他形式的能量耗散掉，其形式包括裂紋擴展所需的表面能、微裂隙間相互摩擦的摩擦熱能和振動彈射碎片的機械能等。彈性應(yīng)變能釋放量越多，釋放速率越快，試件張性破壞特性越明顯，裂隙砂巖試件被破碎成更小的碎片，導(dǎo)致更嚴(yán)重的破壞。

2.3 能量耗散與抗壓強度之間的關(guān)系

峰值應(yīng)力點是裂隙砂巖試件強度喪失至整體失穩(wěn)破壞的臨界點。裂隙砂巖在達(dá)到峰值強度之前，總應(yīng)變能U和彈性應(yīng)變能Ue逐漸增加;而耗散應(yīng)變能Ud隨著應(yīng)力的增大經(jīng)歷了由緩慢增長到突然增長的變化過程。在一定荷載水平下，由于其微裂紋擴展、貫通以及破裂面摩擦錯動，使巖石的黏聚力減小，耗散應(yīng)變能增加。達(dá)到峰值強度后，彈性應(yīng)變能急劇釋放使裂紋的不穩(wěn)定擴展和貫通加劇，導(dǎo)致試件破裂面擴大直至巖石失穩(wěn)破壞。

裂隙傾角與峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能之間的關(guān)系如圖5所示。圖6為試件裂隙傾角與抗壓強度之間的關(guān)系。需要指出的是，當(dāng)裂隙傾角β = 75°時，只有1個試件的試驗結(jié)果有效，這是因為該組其余試件表面均存在明顯缺陷。隨著裂隙傾角增大，試件峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能和抗壓強度均呈現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律。當(dāng)裂隙傾角β = 30°時，試件抗壓強度和耗散應(yīng)變能均為最小值。結(jié)合圖5和6可知，試件峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能和抗壓強度之間可能存在正相關(guān)關(guān)系。為此，采用最小二乘法對峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能和抗壓強度進行線性擬合，結(jié)果如圖7所示，峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能和抗壓強度間近似呈線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)R2為0.87，擬合公式見式（6）。左建平等[16]研究發(fā)現(xiàn)煤巖峰前積蓄的能量與單軸抗壓強度大致呈正比關(guān)系。

Ud=2.77×10-3σc-6.41×10-2， ?R2=0.87。（6）

耗散應(yīng)變能的演化使裂隙砂巖的強度發(fā)生劣化，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。試件抗壓強度越高，破壞前積聚的可釋放彈性應(yīng)變能越多，破壞時轉(zhuǎn)化成的耗散應(yīng)變能越多，損傷程度越高。換句話說，能量耗散與裂隙砂巖的損傷以及強度劣化直接相關(guān)。

3 破碎分形特征

分形幾何可以定量描述自然界中復(fù)雜無序而具有某種內(nèi)在規(guī)律的對象，為人們從局部認(rèn)識整體，從無限認(rèn)識有限提供了有力的工具，因此廣泛應(yīng)用于巖石破碎學(xué)等研究領(lǐng)域[17-19]。巖石破碎是其內(nèi)部裂紋不斷起裂、擴展和最終貫通的結(jié)果，這個從細(xì)觀發(fā)展到宏觀破碎的過程具有分形特性。而巖石的宏觀斷裂是由小破裂發(fā)展聚集導(dǎo)致的，小破裂又是由微裂紋的萌生擴展而成，這種自相似行為必然導(dǎo)致破碎后碎屑尺度也具有自相似特征。另一方面，巖石破壞后的碎屑包含許多有用的信息，不僅能直接反映巖體的破壞特性，還可以間接反映巖石的加載路徑、加載應(yīng)力狀態(tài)和能量演化等[20]。因此，采用分形維數(shù)表征試件破壞后碎屑尺度分布的分形特征，對研究裂隙砂巖的破壞機制具有一定的理論意義。

3.1 分形維數(shù)計算方法

采用粒度質(zhì)量統(tǒng)計方法計算破壞后的碎屑的分形維數(shù)。根據(jù)分形理論可知，碎屑質(zhì)量與碎屑粒徑之間存在如下的關(guān)系[19]：

從圖10中還發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與裂隙傾角密切相關(guān)，隨著裂隙傾角增大，分形維數(shù)表現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律;當(dāng)裂隙傾角β = 30°時，分形維數(shù)最小，這與抗壓強度的變化規(guī)律相似。

3.3 抗壓強度與分形維數(shù)之間的關(guān)系

結(jié)合圖6和圖10分析可得，試件抗壓強度越大，破壞時斷裂次數(shù)越多，破碎程度越嚴(yán)重，細(xì)粒碎屑和微粒碎屑的質(zhì)量占比越大，導(dǎo)致分形維數(shù)越高。進一步研究抗壓強度和分形維數(shù)之間的關(guān)系，最小二乘法線性擬合結(jié)果如圖11所示，表明試件抗壓強度與分形維數(shù)呈線性關(guān)系，擬合相關(guān)系數(shù)R2為0.87，擬合公式見式（9）。陳新等[23]在含裂隙的類巖石試件單軸壓縮試驗中也發(fā)現(xiàn)了類似的規(guī)律。

D=2.43×10-3σc+2.46， ?R2=0.87。（9）

由此可見，裂隙砂巖破壞后碎屑的分形維數(shù)可以用來描述裂隙砂巖破碎程度。

需要說明的是，巖石是一種有著復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)的地質(zhì)體[24]，不可避免地導(dǎo)致本次試驗數(shù)據(jù)具有離散性，但抗壓強度、耗散應(yīng)變能和分形維數(shù)三者兩兩之間仍表現(xiàn)出明顯的總體規(guī)律，如圖7、11和12所示，相應(yīng)的擬合相關(guān)系數(shù)R2均大于0.86。在今后的研究工作中，將增加試件數(shù)量，進一步驗證和完善本文中提出的研究結(jié)論。

5 結(jié) 論

從能量角度出發(fā)，研究了含不同裂隙傾角的砂巖試件在單軸壓縮作用下的能量耗散、力學(xué)特性以及破壞后的碎屑尺度分布特征，討論了三者之間的關(guān)系，得出了以下結(jié)論。

1）不同裂隙傾角的巖體應(yīng)變能演化過程大致相同，都經(jīng)歷了初始壓密階段、彈性變形階段、塑性變形階段以及峰后破壞階段。

2）裂隙砂巖試件的抗壓強度和峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能表現(xiàn)出相似的變化規(guī)律。隨著裂隙傾角增大，兩者均表現(xiàn)為先減小后增大的趨勢。當(dāng)裂隙傾角β = 30°時，耗散應(yīng)變能和抗壓強度都最小。數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明，抗壓強度和峰值應(yīng)力點耗散應(yīng)變能近似呈正相關(guān)關(guān)系。

3）篩分試驗發(fā)現(xiàn)試件受壓破壞后的碎屑尺度分布具有分形特征，計算所得的分形維數(shù)介于2.58～2.64之間，大于完整巖石的分形維數(shù)。隨著裂隙傾角增大，分形維數(shù)表現(xiàn)為先減小后增大的變化規(guī)律，與抗壓強度的變化規(guī)律類似。試件抗壓強度與碎屑尺度分布分形維數(shù)近似呈正相關(guān)關(guān)系。

4）能量耗散與破碎分形特征之間關(guān)系的研究結(jié)果表明，裂隙巖體能量耗散與破碎分形特征之間具有較好的相關(guān)性。這是因為巖體抗壓強度越高，表明抵抗外力破壞的能力越強，所需的耗散應(yīng)變能也就越大，導(dǎo)致試件破碎程度越高，相應(yīng)的分形維數(shù)隨之增大。

參考文獻(xiàn)：

[1] Xie H P， Li L Y， Peng R D， et al. Energy analysis and criteria for structural failure of rocks[J]. Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering， 2009， 1（1）： 11-20.

[2] Xie H P， Li L Y， Ju Y， et al. Energy analysis for damage and catastrophic failure of rocks[J]. Science China Technological Sciences， 2011， 54（S1）： 199-209.

[3] 孟慶彬， 韓立軍， 浦海， 等. 應(yīng)變速率和尺寸效應(yīng)對巖石能量積聚與耗散影響的試驗[J]. 煤炭學(xué)報， 2015， 40（10）： 2386-2398.

Meng Q B， Han L J， Pu H， et al. Experimental on the effect of strain rate and size on the energy accumulation and dissipation of rock[J]. Journal of China Coal Society， 2015， 40（10）： 2386-2398.（in Chinese）

[4] 王偉超， 劉希亮， 王利， 等. 預(yù)制裂紋鹽巖單軸力學(xué)特性及能量機制試驗[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報， 2016， 39（5）： 103-113.

Wang W C， Liu X L， Wang L， et al. Mechanical behavior and energy mechanism of salt rock with prefab fissures under uniaxial compression[J]. Journal of Chongqing University， 2016， 39（5）： 103-113.（in Chinese）

[5] Chen Y， Guo B H. Crack closure effect and energy dissipation model for rocks under uniaxial compression[J]. Geotechnical and Geological Engineering， 2020， 38（1）： 621-629.

[6] Zhang Z Z， Gao F. Experimental investigation on the energy evolution of dry and water-saturated red sandstones[J]. International Journal of Mining Science and Technology， 2015， 25（3）： 383-388.

[7] Wang C L， He B B， Hou X L， et al. Stress-energy mechanism for rock failure evolution based on damage mechanics in hard rock[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2020， 53： 1021-1037.

[8] Bańka P， Chmiela A， Menéndez Fernández M， et al. Predicting changes in induced seismicity on the basis of estimated rock mass energy states[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences， 2017， 95： 79-86.

[9] 王利， 高謙. 基于損傷能量耗散的巖體塊度分布預(yù)測[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2007， 26（6）： 1202-1211.

Wang L， Gao Q. Fragmentation distribution prediction of rock based on damage energy dissipation[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26（6）： 1202-1211. （in Chinese）

[10] 張蓉蓉， 經(jīng)來旺. SHPB試驗中高低溫作用后深部砂巖破碎程度與能量耗散關(guān)系分析[J]. 煤炭學(xué)報， 2018， 43（7）： 1884-1892.

Zhang R R， Jing L W. Analysis on the fragment and energy dissipation of deep sandstone after high/low temperature treatment in SHPB tests[J]. Journal of China Coal Society， 2018， 43（7）： 1884-1892. （in Chinese）

[11] Peng R D， Ju Y， Wang J G， et al. Energy dissipation and release during coal failure under conventional triaxial compression[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2015， 48（2）： 509-526.

[12] Deng Y， Chen M， Jin Y， et al. Theoretical analysis and experimental research on the energy dissipation of rock crushing based on fractal theory[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering， 2016， 33： 231-239.

[13] 梁昌玉， 李曉， 王聲星， 等. 巖石單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變特征的率相關(guān)性及能量機制試驗研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2012， 31（9）： 1830-1838.

Liang C Y， Li X， Wang S X， et al. Experimental investigations on rate-dependent stress-strain characteristics and energy mechanism of rock under uniaxial compression[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2012， 31（9）： 1830-1838. （in Chinese）

[14] 李樹剛， 陳高峰， 雙海清， 等. 加載速率和初始損傷對砂巖能量演化影響的試驗研究[J]. 采礦與安全工程學(xué)報， 2019， 36（2）： 373-380.

Li S G， Chen G F， Shuang H Q， et al. Experimental study on effect of loading rate and initial damage on energy evolution of sandstone[J]. Journal of Mining & Safety Engineering， 2019， 36（2）： 373-380. （in Chinese）

[15] Jaeger J C， Cook N G W， Zimmerman R W. Fundamentals of rock mechanics[M]. 4th ed. Blackwell， Oxford： Wiley， 2007.

[16] 左建平， 陳巖， 崔凡. 不同煤巖組合體力學(xué)特性差異及沖擊傾向性分析[J]. 中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2018， 47（1）： 81-87.

Zuo J P， Chen Y， Cui F. Investigation on mechanical properties and rock burst tendency of different coal-rock combined bodies[J]. Journal of China University of Mining & Technology， 2018， 47（1）： 81-87.（in Chinese）

[17] Zhang K， Chen Y L， Fan W C， et al. Influence of intermittent artificial crack density on shear fracturing and fractal behavior of rock bridges： experimental and numerical studies[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2020， 53（2）： 553-568.

[18] Mahdevari S， Moarefvand P. Experimental investigation of fractal dimension effect on deformation modulus of an artificial bimrock[J]. Bulletin of Engineering Geology and the Environment， 2018， 77（4）： 1729-1737.

[19] 謝和平. 分形巖石力學(xué)導(dǎo)論[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2005： 228-234.

Xie H P. Fractal-rock mechanics induction[M]. Beijing： Science Press， 2005： 228-234. （in Chinese）

[20] 黃達(dá)， 譚清， 黃潤秋. 高圍壓卸荷條件下大理巖破碎塊度分形特征及其與能量相關(guān)性研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2012， 31（7）： 1379-1389.

Huang a， Tan Q， Huang R Q. Fractal characteristics of fragmentation and correlation with energy of marble under unloading with high confining pressure[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2012， 31（7）： 1379-1389.（in Chinese）

[21] 姚璐， 張學(xué)民， 余濤. 中國區(qū)域電離層TEC與月均值偏差的空間相關(guān)性研究[J]. 地球物理學(xué)報， 2014， 57（11）： 3600-3610.

Yao L， Zhang X M， Yu T. A study of spacial correlation of monthly mean deviation of ionospheric TEC over China[J]. Chinese Journal of Geophysics， 2014， 57（11）： 3600-3610. （in Chinese）

[22] 高峰， 謝和平， 趙鵬. 巖石塊度分布的分形性質(zhì)及細(xì)觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 1994， 13（3）： 240-246.

Gao F， Xie H P， Zhao P. Fractal properties of size frequency distribution of rock fragments and the influence of meso-structure[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 1994， 13（3）： 240-246. （in Chinese）

[23] 陳新， 王仕志， 李磊. 節(jié)理巖體模型單軸壓縮破碎規(guī)律研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2012， 31（5）： 898-907.

Chen X， Wang S Z， Li L. Characteristics of fragments of jointed rock mass model under uniaxial compression[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2012， 31（5）： 898-907.（in Chinese）

[24] 鐘志彬， Hu X Z， 鄧榮貴， 等. 含裂隙充填節(jié)理巖體的壓剪斷裂機制研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2018， 37（S1）： 3320-3331.

Zhong Z B， Hu X Z， Deng R G， et al. Study on the compression-shear fracture mechanism of infilled jointed rock mass with pre-crack[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2018， 37（S1）： 3320-3331.（in Chinese）

（編輯 羅 敏）