求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的三種常用方法

常海廷

求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題，需根據(jù)題目中的幾何條件，建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.對(duì)此，同學(xué)們需熟練掌握常見曲線如橢圓、圓、直線、拋物線、雙曲線等的形狀、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)會(huì)根據(jù)已知條件或者幾何關(guān)系建立關(guān)系式或方程.本文主要談一談三種求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法.

一、建系法

動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程通常是用關(guān)于x、y的方程表示出來(lái)的.而有些求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題中并未給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)，我們需采用建系法來(lái)解題：根據(jù)圖形的位置、性質(zhì)建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式或方程.在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，要充分關(guān)注垂直、平行關(guān)系以及圖形的對(duì)稱性，這樣能簡(jiǎn)化計(jì)算以及解題的過(guò)程.

例1.已知A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，||AB =3，∠PBA= 2∠PAB，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)、射線AB為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，

解答這道題主要運(yùn)用建系法，以AB為軸、A點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.建系后，設(shè)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可將題中的幾何條件轉(zhuǎn)為代數(shù)條件，建立數(shù)量關(guān)系式，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

二、定義法

運(yùn)用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，需先根據(jù)已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，如橢圓、圓、直線、拋物線、雙曲線等，然后根據(jù)橢圓、圓、直線、拋物線、雙曲線等曲線的定義，求得參數(shù)的值，進(jìn)而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

交軌法的實(shí)質(zhì)是根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩曲線的方程來(lái)建立關(guān)系式.一般只要求得兩曲線的方程，通過(guò)消參即可解題.

可見，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵在于建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，利用已知的點(diǎn)的坐標(biāo)及其幾何關(guān)系、曲線的定義，去尋求關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式或方程.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）