彈性板中柱面Lamb波問題的哈密頓體系方法

吳仕榮，賴安迪，周 凱，周震寰，徐新生

（大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 工程力學(xué)系，遼寧 大連 116023）

0 引言

工程設(shè)備和結(jié)構(gòu)的精密化、輕型化對安全性和可靠性提出了更高的要求，因而結(jié)構(gòu)健康檢測的方法和技術(shù)受到了更多關(guān)注.Lamb波[1]是結(jié)構(gòu)健康無損檢測方面的有效工具.該方法根據(jù)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)確定損傷程度、位置、類型等信息，因此基于Lamb波的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用.對于平面Lamb波問題，根據(jù)板結(jié)構(gòu)的自由邊界條件，可得到Lamb波頻率方程（Rayleigh-Lamb方程）[2-3]，并由此導(dǎo)出Lamb波解的表達(dá)式.由于將哈密頓體系引入到平面Lamb波問題中，辛本征值和本征解可表述平面Lamb波，并得到表面載荷激勵下的解析解[4].在關(guān)于彈性板中的柱面Lamb波問題的研究中，其波頻率方程[5]被分析，并討論和推導(dǎo)[6-7]了軸對稱情況下柱面Lamb波的解析解.非軸對稱柱面Lamb波問題作為目前關(guān)注的重點[8-9]，研究工作局限在拉格朗日體系下開展.本文在哈密頓體系下研究一般性的柱面Lamb波問題，利用辛共軛正交關(guān)系，將波結(jié)構(gòu)進(jìn)行分解，從而實現(xiàn)多模態(tài)Lamb波模態(tài)信號[10]重構(gòu)以及激勵問題的解析表述.

1 基本問題

對于板中柱面Lamb波的傳播問題，考慮一塊較大的板，見圖1，板厚為2h，在板上表面施加外載荷，激勵產(chǎn)生柱面Lamb波.選取柱坐標(biāo)系(,,)rzθ，原點位于板中面，位移向量記為u=(u,v,w)T，其分量分別表示r向、θ向和z向的位移.

圖1 板的形狀、載荷及坐標(biāo)系 Fig.1 plate shape, load and coordinate system

在柱坐標(biāo)系下，以應(yīng)力σ、應(yīng)變ε和位移表示應(yīng)變能和動能的拉格朗日函數(shù)為

式中，ρ為密度，kg/m3.

根據(jù)哈密頓原理，由拉格朗日函數(shù)

可得相空間的Navier運(yùn)動方程為

式中，λ和μ為拉梅系數(shù).

設(shè)板上下表面為自由邊界條件，則

2 導(dǎo)入哈密頓體系

為導(dǎo)入板中柱面Lamb波問題的哈密頓體系，令r坐標(biāo)模擬時間，為任意函數(shù)，此時拉格朗日函數(shù)為

式中，對偶變量[11]分量為p1=rσr，p2=rσrθ，p3=rσrz.哈密頓函數(shù)可以寫成通過對哈密頓函數(shù)的變分，可得和，即哈密頓正則方程組為

式中，

3 辛本征值和本征解

采用廣義分離變量法對式（8）求解，解為

為縱波波速；sc為橫波波速；kmd為待定常數(shù)；Jn(kr)為n階貝塞爾函數(shù).可見徑向函數(shù)是由貝塞爾函數(shù)表示的.

式中，k為波數(shù)，可由式（11）、式（12）解出，并且可確定待定常數(shù)之間的關(guān)系.式（10）和式（11）分別對應(yīng)板厚度方向?qū)ΨQ和反對稱柱面Lamb波的頻率方程，波數(shù)可分別記為和，m為波數(shù)k對應(yīng)的模數(shù)，n為柱面Lamb波所對應(yīng)的周向階數(shù).與其相對應(yīng)的對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)分別為和 ,mnA，所對應(yīng)的本征解可統(tǒng)一寫成

式中，

4 辛共軛正交關(guān)系

記本征解12,ψψ，定義辛內(nèi)積

式中，J為單位旋轉(zhuǎn)矩陣.經(jīng)過正交化歸一后，本征解之間存在辛共軛正交關(guān)系為

問題的解可由本征解疊加為

5 載荷激勵下的柱面Lamb波

考慮在板自由表面（z=±h）上作用激勵載荷為

可以通過變換將該非齊次側(cè)邊條件轉(zhuǎn)化為齊次側(cè)邊條件，而哈密頓正則方程組變換為非齊次方程，不妨記為

式中，非齊次項分量為

求解式（18）時，只需給出一特解即可.將非齊次f按辛本征解展開為

式中，

可以得到特解為

問題的解由式（16）和式（20）疊加組成.

6 數(shù)值結(jié)果

Lamb波沿厚度方向可分解為對稱和反對稱兩種模態(tài).為了數(shù)值計算，以鋁板為例，彈性模量E取70 GPa，密度ρ取2700 kg/m3，泊松比υ取0.3，板厚2h取 1 mm.在不同頻厚積下，Lamb波沿厚度方向的模態(tài)見圖2，圖中“▲”、“■”為文獻(xiàn)[8]結(jié)果，可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[8]相符.

圖2 不同頻厚積下沿厚度方向的模態(tài)對比Fig.2 modal comparison along thickness direction under different frequency - thickness product

考慮矩形壓電陶瓷傳感器激發(fā)Lamb波時，可簡化為圖3模型[8-9].圖中傳感器尺寸2a和2b的比由θ0表示.傳感器貼于原點處.根據(jù)該模型，矩形傳感器的作用可等效為在該區(qū)域施加均勻剪應(yīng)力.為了分析模態(tài)，設(shè)為單位剪應(yīng)力.

圖3 傳感器模型Fig.3 sensor struggle model

根據(jù)辛共軛正交關(guān)系，柱面Lamb波的模態(tài)可按辛本征解分解.在計算中，級數(shù)從第10項截斷，并考察矩形激發(fā)器θ0對模態(tài)的影響.為了展示環(huán)向模態(tài)特征，考慮位移u在板上表面（z=h）的模態(tài)，并取r為單位長度.θ0取π/18時，圖4給出級數(shù)解主項（第一項m=1）沿厚度的對稱和反對稱本征解模態(tài)（分別簡稱S0和A0）圖像（數(shù)據(jù)點為文獻(xiàn)[9]試驗結(jié)果）.圖4表明數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果吻合.

圖4 Lamb波周向模態(tài)對比Fig.4 lamb wave circumferential mode comparison

當(dāng)θ0分別為π/12、π/6和π/4時，得到級數(shù)解的主項（第一項m=1）沿厚度對稱和反對稱本征解模態(tài)（分別簡稱S0和A0）圖像，見圖5.由圖5可以看出，隨著長寬比θ0的增加，最大幅值也隨之沿激發(fā)器矩形長度方向變化.當(dāng)θ0= π/4時，激發(fā)器為正方形，最大幅值在兩個方向均衡.

圖5 Lamb波周向模態(tài)Fig.5 circumferential modes of Lamb wave

針對矩形傳感器長寬比θ0為π/6，考察其他階數(shù)模態(tài)變化規(guī)律.沿厚度對稱和反對稱本征解模態(tài)記kS和kA（k=1,2,3），分別對應(yīng)級數(shù)解m=2,3,4，計算后模態(tài)見圖6，各階模態(tài)具有不同的形式，各模態(tài)可利用辛共軛正交關(guān)系分解.

圖6 不同階Lamb波周向模態(tài)Fig.6 circumferential modes of lamb wave for different orders

7 結(jié)論

在柱坐標(biāo)哈密頓體系下，柱面Lamb波的解可由辛本征解表示，研究得出以下結(jié)論.

（1）本征解的解析表達(dá)式表明，位移沿徑向衰減，其規(guī)律與貝塞爾函數(shù)有關(guān).

（2）柱面Lamb波沿環(huán)向可分為軸對稱波和非軸對稱波兩類，分別對應(yīng)零本征解和非零本征解.

（3）由激勵載荷激發(fā)的柱面Lamb波可分解為沿厚度方向的對稱波和反對稱波.

（4）位移的最大幅值隨著矩形激發(fā)器長寬比而變化，總是沿激發(fā)器矩形長度方向.

（5）由于哈密頓體系下的本征解具有辛共軛正交關(guān)系，因此柱面Lamb波的模態(tài)可由辛本征解分解或疊加得到.辛本征解分解方法對結(jié)構(gòu)的健康檢測提供一種工具和依據(jù).