多面函數(shù)法擬合GPS高程及其程序?qū)崿F(xiàn)

黃書華

(1.成都市勘察測繪研究院，四川 成都 610081； 2.四川省城市信息化測繪工程技術(shù)研究中心，四川 成都 610081)

1 引 言

多面函數(shù)擬合法最早由美國Hardy教授于1971年提出[1]，其基本思想是任何一個圓滑的數(shù)學(xué)表面總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近。1977年美國將此法應(yīng)用于大地測量、擬合重力異常、求大地水準(zhǔn)面差距、計算垂線偏差等研究工作，1978年又將此法用于地殼形變分析[2]。隨著研究的不斷深入，國內(nèi)很多學(xué)者也開始了相關(guān)研究并將該方法應(yīng)用到了其他相關(guān)領(lǐng)域[3～7]。隨著GPS以及我國北斗衛(wèi)星系統(tǒng)的不斷完善，衛(wèi)星定位技術(shù)引發(fā)了平面定位改革，實(shí)現(xiàn)了平面位置的高效、高精度測定。但是使用衛(wèi)星定位技術(shù)測得的大地高(H)并不能取代各類工程建設(shè)所需的正常高(h)，正常高的獲取仍然需采用費(fèi)時、費(fèi)力的古老水準(zhǔn)測量方法獲得。如何將大地高轉(zhuǎn)換為正常高，很多測繪工作者對此做了大量研究。其中一種行之有效的方法就是通過測量均勻分布點(diǎn)位的大地高和正常高，由公式ξ=H-h求得這些點(diǎn)位的高程異常值，然后通過數(shù)學(xué)模型擬合其他未知點(diǎn)的高程異常值，再結(jié)合這些未知點(diǎn)的大地高求得需要的正常高。由于精度有限，目前此法一般只能達(dá)到四等水準(zhǔn)測量的精度要求[8，9]，但這仍然可以避免許多繁重的外業(yè)水準(zhǔn)測量工作。

本文首先結(jié)合GPS高程擬合介紹了多面函數(shù)擬合的原理及方法，然后通過具體的實(shí)例，結(jié)合自己編制的應(yīng)用程序，對比分析了不同核函數(shù)及光滑因子對多面函數(shù)GPS高程擬合結(jié)果的影響。

2 多面函數(shù)擬合GPS高程原理及方法

多面函數(shù)的一般形式可表示為：

(1)

其中：αj為待求參數(shù)，Q(x，y，xj，yj)是核函數(shù)，n為核函數(shù)的個數(shù)。核函數(shù)Q(x，y，xj，yj)是關(guān)于x、y的二次函數(shù)，其中(xj，yj)為已知點(diǎn)坐標(biāo)。使用多面函數(shù)擬合法兩個最重要的問題是核函數(shù)和光滑因子的選取，從理論上來說任何核函數(shù)只要其解唯一都可以應(yīng)用[2]，但是在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)對于具體的模型，核函數(shù)選取是否合理對多面函數(shù)的擬合效果有較大的影響；另一個影響多面函數(shù)擬合效果的因素是核函數(shù)中光滑因子的選取，文獻(xiàn)[9]建議光滑因子宜選取一小正數(shù)或零，而馬洪濱等提出了一種距離相關(guān)的光滑因子求解方法，即認(rèn)為光滑因子宜取已知點(diǎn)集合與未知點(diǎn)集合中距離最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的距離值[10]。常用的核函數(shù)有以下3種類型：

正雙曲面函數(shù)：

Q(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]1/2

(2)

反雙曲面函數(shù)：

Q(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]-1/2

(3)

三次曲面函數(shù)：

Q(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]3/2

(4)

以上三式中δ即為光滑因子，起到調(diào)節(jié)核函數(shù)大小的作用。

采用GPS測量所獲得的高程坐標(biāo)是在WGS-84橢球下的大地高，然而我國采用的是正常高系統(tǒng)[8]，因此由GPS測得的大地高并不能直接應(yīng)用于工程實(shí)踐中，然而兩者之間存在如下轉(zhuǎn)換公式：

h=H-ξ

(5)

其中h表示正常高，H表示大地高，ξ表示高程異常。若想由大地高求得每個待求點(diǎn)的正常高，就必須知道該點(diǎn)對應(yīng)的ξ值，實(shí)際情況下是不可能實(shí)地測量每一點(diǎn)的ξ值。實(shí)際生產(chǎn)中的做法是在測區(qū)選取一定數(shù)量均勻分布的水準(zhǔn)重合點(diǎn)，采用GPS測量獲得這些點(diǎn)大地高的同時，對這些點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)精度的水準(zhǔn)測量得到正常高，這樣就可以求得這些點(diǎn)的高程異常值。利用這些公共點(diǎn)的ξ值，可以采用擬合的方法求得其他未知點(diǎn)的高程異常值。

假設(shè)有m個公共點(diǎn)，選擇其中n(m≥n)個均勻分布的公共點(diǎn)作為核函數(shù)的中心點(diǎn)，利用以求得公共點(diǎn)的ξ值，可以構(gòu)造如下方程式：

(6)

寫成矩陣形式可表示為：

(7)

至此，可以采用最小二乘法求得上式中的待求參數(shù)X：

X=(ATA)-1(ATy)

(8)

對于其他只有大地高(H)的點(diǎn)，同樣可以夠造核函數(shù)矩陣，利用求得的參數(shù)值求出這些點(diǎn)對應(yīng)的高程異常值ξ，利用式(5)就可以求出這些點(diǎn)的正常高h(yuǎn)。

3 實(shí)例程序分析

由上述分析可知，采用多面函數(shù)法擬合GPS高程的關(guān)鍵是核函數(shù)及光滑因子的選取，在這兩者確立了之后，可采用聯(lián)測的公共點(diǎn)構(gòu)造形如式(6)的方程式求得參數(shù)值，進(jìn)而求取未知點(diǎn)的高程異常值ξ。為了更全面的分析核函數(shù)及光滑因子對擬合效果的影響，采用C#語言編制了多面函數(shù)法擬合GPS高程的程序，其界面如圖1所示。

該程序可手動輸入已知點(diǎn)、待擬合點(diǎn)數(shù)據(jù)，也可以自通過文件形式讀入。中心點(diǎn)即可以通過文件的形式讀入，也可以在已有的已知點(diǎn)列表中選擇。在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備好之后，可選擇相應(yīng)的核函數(shù)并輸入光滑因子，點(diǎn)擊“計算”按鈕可實(shí)現(xiàn)自動擬合計算，結(jié)果將增加到待擬合點(diǎn)列表之后。為了驗(yàn)證采用多面函數(shù)法擬合GPS高程的可行性以及自編程序的高效性，現(xiàn)采用一組工程實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，這些點(diǎn)都進(jìn)行了GPS測量及水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如表1所示。

圖1 多面函數(shù)法擬合GPS高程程序界面

GPS測量及水準(zhǔn)測量數(shù)據(jù) 表1

選取其中均勻分布的7個點(diǎn)作為已知點(diǎn)，剩下的7個點(diǎn)作為待擬合點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)。由于已知點(diǎn)是在所有點(diǎn)位中均勻選取的，可將其全部作為中心點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)的求解，具體的點(diǎn)位選擇及分布如圖2所示。

圖2 中心點(diǎn)及待擬合點(diǎn)分布示意圖

應(yīng)用編制的程序可采用不同的核函數(shù)、不同的光滑因子，對實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。在本例應(yīng)用中選擇某一核函數(shù)后，不斷調(diào)整光滑因子的值，總體情況來看選擇正雙曲面函數(shù)時擬合效果最佳，三次曲面函數(shù)次之，反雙曲面函數(shù)結(jié)果最差。在確定使用正雙曲面函數(shù)作為核函數(shù)之后，光滑因子取不同值對擬合結(jié)果影響如表2所示。

不同光滑因子值對正雙曲面函數(shù)擬合影響 表2

注：δ=3062是文獻(xiàn)[10]方法計算的已知點(diǎn)集合與未知點(diǎn)集合中距離最大的數(shù)值。

從擬合效果來看，選取δ=0時效果最佳，隨著δ的不斷增大，每個點(diǎn)的擬合效果都呈現(xiàn)出一定的趨勢，其中3、4、5、13、14呈減小趨勢，而6、10呈增大趨勢。本算例中結(jié)果與文獻(xiàn)[9]建議取δ=0相符，擬合值與實(shí)測值相比在mm級，可滿足四等水準(zhǔn)測量的要求。雖然在本例中取δ=0效果最佳，但是并不能得出一般性的結(jié)論，在使用該程序驗(yàn)證其他文獻(xiàn)的實(shí)例時，并不是每次光滑因子取零都能獲得最佳擬合效果，如文獻(xiàn)[10]中建議取已知點(diǎn)集合與未知點(diǎn)集合中距離最大的值。建議在采用多面函數(shù)法進(jìn)行GPS高程擬合時，先通過比較幾種常用的核函數(shù)確定出適合的核函數(shù)，而后不斷調(diào)整光滑因子，直到兩者匹配達(dá)到最好的擬合效果。

4 結(jié) 論

(1)GPS測量技術(shù)的快速發(fā)展帶來了平面位置測量方式的改革，想要充分利用GPS測量技術(shù)獲得的大地高，可利用多面函數(shù)擬合法等將其轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)實(shí)踐需要的正常高，可代替外業(yè)四等水準(zhǔn)測量，從而降低生產(chǎn)成本；

(2)在采用多面函數(shù)法擬合GPS高程時，已知點(diǎn)及中心點(diǎn)的選取至關(guān)重要，選取均勻分布的已知點(diǎn)及中心點(diǎn)有利于提高擬合精度；

(3)在選擇光滑因子之前，宜先確定一個適合的核函數(shù)。在GPS高程擬合時，結(jié)合本文及相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)論，核函數(shù)應(yīng)采用正雙曲面函數(shù)。對于光滑因子的選取，應(yīng)該在核函數(shù)確定后進(jìn)行不斷調(diào)整試算，以期達(dá)到最佳擬合效果。